MATHÉMATIQUE ET PHYSIQUE, PUBLIÉE Par A. Quetelet, Directeur de l'observatoire et secrétaire perpétuel de l'académie royale de Bruxelles, CORRESPONDANCE MATHÉMATIQUE ET PHYSIQUE. Sur la doctrine des porismes d'Euclide, par M. CHASLES, ancien élève de l'école polytechnique. Le t. XI des Mémoires couronnés par l'Académie de Bruxelles, qui vient de paraître, est tout entier consacré à un ouvrage de M. Chasles, qui a pour titre : Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie, particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne; suivi d'un Mémoire de Géométrie sur deux principes généraux de la science, la Dualité et l'Homographie (in-4°, 850 pages) ('. 1) Cet ouvrage important renferme, sans contredit, l'exposition la plus complète et la plus approfondie de l'histoire de la géométrie ancienne et moderne. Les différentes méthodes qui ont été successivement employées en géométrie, y sont examinées et discutées sous un point de vue philosophique qui répand un nouveau jour sur cette branche aujourd'hui trop négligée des mathématiques, malgré les heureux efforts de quelques savans d'un haut mérite, parmi lesquels M. Chasles a su se placer depuis long-temps. L'auteur a présenté, à la fin de son travail, la démonstration de deux principes généraux que l'on peut considérer comme la base de la géométrie actuelle, ou plutôt comme les sources d'où l'on déduirait en général ce que nous connaissons relativement aux propriétés de l'étendue. TOM. X. 1 Cet ouvrage contient, à la suite de la partie historique, plusieurs notes, dont les unes sont destinées au développement de certains passages que l'auteur a dû traiter brièvement dans le cours du discours, et dont les autres sont le fruit de ses propres recherches sur différentes parties de la géométrie. L'une de ces notes est consacrée à la doctrine des porismes d'Euclide. M. Chasles nous paraît y avoir émis des idées nouvelles, et avoir répandu quelque jour sur cette grande question qui n'a point été complétement résolue par R. Simson, et qui occupe encore les géomètres de nos jours. Nous allons extraire de son ouvrage ce qui s'y rapporte; le point de vue sous lequel il envisage le Traité d'Euclide, et dont il promet de faire l'application aux énoncés de porismes laissés par Pappus, pour en rétablir le sens, pourra provoquer d'autres travaux qui hâteront la solution de cette question énigmatique. " Sur les Porismes. D'après la préface du 7 livre des collections mathématiques de Pappus, il paraît que ce traité des porismes brillait d'un génie pénétrant et profond ; et qu'il était éminemment utile pour la résolution des problèmes les plus compliqués. (Collectio artificiosissima multarum rerum, quæ spectant ad analysin difficiliorum et generalium problematum.) Trente-huit lemmes, que ce savant commentateur nous a laissés pour l'intelligence de ces porismes, nous prouvent qu'ils formaient un ensemble de propriétés de la ligne droite et du cercle, de la nature de celles que nous fournit, dans la géométrie récente, la théorie des transversales. Pappus et Proclus sont les seuls géomètres de l'antiquité qui aient fait mention des porismes; mais déjà, au temps du premier, la signification de ce mot s'était altérée, et les définitions qu'il nous en donne sont obscures. Celle de Proclus n'est pas propre à éclaircir les premières. Aussi, ça été une grande question parmi les modernes, de savoir la nuance précise que les anciens avaient établie entre les théorèmes et les problèmes d'une part, et ce troisième genre de propositions, appelées porismes, qui participaient, à ce qu'il paraît, des uns et des autres; et de savoir particulièrement ce qu'étaient les porismes d'Euclide. Pappus, il est vrai, nous a transmis les énoncés de trente propositions appartenant à ces porismes, mais ces énoncés sont si succincts, et sont devenus si défectueux par des lacunes et l'absence des figures qui s'y rapportaient, que le célèbre Halley, si profondément versé dans la géométrie ancienne, a confessé n'y rien comprendre (1, et que, jusque vers le milieu du siècle dernier, bien que des géomètres d'un grand mérite aient fait de cette matière l'objet de leurs méditations, aucun énoncé n'avait encore été rétabli. Ce fut R. Simson, qui eut la gloire de découvrir la signification de plusieurs de ces énigmes, ainsi que la forme des énoncés qui était propre à ce genre de propositions. Voici le sens de la définition que ce géomètre a donnée des porismes : Le porisme est une proposition dans laquelle on annonce pou· voir déterminer, et où l'on détermine effectivement certaines choses, ayant une relation indiquée, avec des choses fixes et connues et avec d'autres choses variables à l'infini; celles-ci étant liées entre elles par une ou plusieurs relations connues, qui établissent la loi de variation à laquelle elles sont soumises. Exemple: Étant donnés deux axes fixes, si de chaque point d'une droite on abaisse des perpendiculaires p, q, sur ces deux axes, on pourra trouver une longueur de ligne a, et une raison a telles que l'on ait entre ces deux perpendiculaires la relation constante p-a =α. (Ou, suivant le style ancien, la première perpendiculaire sera plus grande à l'égard de la seconde d'une donnée qu'en raison.) Ici, les choses fixes données sont les deux axes; les choses variables sont les perpendiculaires p, q; la loi commune à la 1) Note de Halley, à la suite du texte de Pappus sur les porismes, reproduit avec la préface du 7e livre des collections mathématiques, au commencement du traité d Apollonius DE SECTIONE RATIONIS, in-4, 1706. |