Fig. 38,

50. Deux lignes parallèles coupées par une autre ligne, forment ensemble huit angles; ceux qui font dans l'efpace parallèle fe nomment angles internes, & ceux de dehors s'appellent angles externes. Les angles internes pris haut & bas, & de part & d'autre de la fécante, fe nomment angles alternes-internes : les angles externes pris haut & bas, & auffi de différents côtés de la fécante, s'appellent angles alternesexternes ; & les angles alternes font égaux.

Suppofons les deux parallèles AB, CD croifées par une ligne droite EF. Pour prouver que l'angle AGE eft égal à fon alterne-externe FHD, confidérez que l'angle AGE eft égal à fon oppofé au fommet BGH (46), & que l'angle BGH est égal fon correfpondant DHF (49); conféquemment l'angle DHF eft égal à l'angle AGE. Ainfi les angles alternes font égaux pris dedans ou hors l'espace parallèle.

Des articles 49 & 50, on peut donc conclure, 1°. que fi fur la droite, oụ fur la gauche d'une ligne droite & vers la même extrêmité on fait des angles égaux, le fecond côté de l'un de ces angles fera parallèle au second côté de l'autre (49); 2°. que fi de part & d'autre d'une ligne droite on fait des angles alternes égaux, les lignes qui formeront ces angles feront auffi parallèles (50).

Ufage des Lignes parallèles dans l'attaque des places,

Lorfque l'on affiège une fortereffe, on fait enforte de placer les batteries de canons qui doivent faire breche, parallélement aux faces des pièces de fortification que l'on veut ouvrir, afin que ces batteries faffent plus d'effet: pour parvenir à placer une batterie dans ce parallélifme, prolongez les côtés BA, CA de l'angle faillant A Fig. 391 de l'ouvrage que nous fuppofons, fig. 39, pour avoir l'ouverture de cet angle ou de fon oppofé au fommet DAE qui lui est égal (46), que vous trouverez, comme on l'a dit (47 & 48), fur le prolongement qui eft du côté de la face que l'on veut renverfer; faites un angle ADF de même ouverture que l'angle A; vous aurez pour fon fecond côté une ligne DF qui fera parallèle à la face AB de l'ouvrage, puifque l'angle interne FDA eft fait égal à l'angle externe BAC (49), ou que cet angle FDA eft fait égal à l'alterne DAE (50).

51. Si du centre C d'une circulaire on Fig. 40 mene un rayon CD perpendiculaire fur une corde AB, ce rayon divisera cette corde & l'arc qu'elle fouftend en deux parties égales EA, EB; DA, DB, CD ne penchant point fur AB, & CA étant égal

à CB, parce qu'ils font rayons, tous les points E, E, D de ce rayon feront chacun en particulier également éloignés des extrêmités A & B de la corde AB: cette corde est donc divifée en deux parties égales EA, ED; l'arc ADB eft donc auffi divisé en deux portions égales DA, DB; mais puif que l'arc DA eft égal à l'arc DB, l'arc AA & l'arc BB compris entre deux parallèles font égaux entre eux. De plus fi par le point D on mene une parallèle FG à la corde AB, cette parallèle fera tangente à la circulaire au point D; & comme CDne penche pas fur AB, il ne penchera pas fur fa parallèle FC: donc un rayon mené au point de contact d'une tangente, fait avec elle un angle droit, ou de 90 degrés d'ou

verture.

De la valeur générale des Angles qui ont leur fommet différemment fitué à l'égard d'une circulaire, & dont les côtés renfer ment une portion concave de cette courbe, vis-à-vis leur fommet.

Jufqu'ici on a parlé des différentes efpèces d'angles, de leur dénomination par rapport à leurs côtés, à leur ouverture, à leur fituation les uns à l'égard des autres, & à l'égard des lignes; il refte à confidérer

leur grandeur, lorfqu'ils ont leur fommet fur, dedans, ou dehors une circulaire, & qu'ils en comprennent une portion entre leurs côtés.

52. Un angle ABD formé par un dia- Fig. 41. mètre AB & par une corde BD, qui ont un point commun B fur une circulaire, a pour ouverure ou pour mesure la moitié de l'arc, ou la moitié de la valeur de l'arc DA compris entre fes côtés AB, BD.

Si par le centre C on mene le diamètre FCE parallèle à la corde BD, on aura l'angle BDA égal à fon alterne BCF (50), ou à fon correfpondant ECA (49) qui étant oppofés au fommet, ont pour mefure les arcs égaux AE, BF (46); mais l'arc BF égal à l'arc AE, eft auffi égal à l'arc DE; puifque ces arcs BF, DF font compris entre des cordes parallèles (51). Ainsi ÃẸ moitié de AD, eft donc l'ouverture ou la mesure de l'angle ABD formé par un diamètre & par une corde, qui ont un point commun fur la circulaire.

53. Un angle ABD fait par deux cor- Fig. 42. des BA, BD qui partent du même point B d'une circulaire, a également pour ouverture ou pour mesure la moitié de l'arc, ou de la valeur de l'arc AED compris entre ses côtés BA, BD.

Du fommet B de cet angle & par le

Fig. 43.

Fig. 44.

centre C de la circulaire, foit mené le diamètre BCE, & foient tirés les rayons CA, CD; l'angle ABE aura pour mesure la moitié de l'arc AE (52); l'angle DBE aura pour mesure la moitié de l'arc ED: donc l'angle total ABD aura pour ouverture ou pour mefure, la moitié de l'arc ou la moitié de la valeur de l'arc AED renfermé par fes côtés.

54. Si le centre C d'une circulaire eft hors de l'angle ABD fait par deux cordes BA, BD qui ont un point В commun fur la courbe, cet angle ABD aura, de même, pour mefure la moitié de l'arc AD terminé par fes côtés.

Si l'on mene le diamètre BE, l'angle ABE aura pour mefure la moitié de l'arc EA; l'angle total EBD aura pour mesure la moitié de l'arc EAD: donc l'angle ABD, au dehors duquel eft le centre, aura pour ouverture, ou pour mesure, la moitié de l'arc ou de la valeur de l'arc AD terminé par fes côtés.

la

55. Si l'une des cordes s'écarte de l'autre jufqu'à devenir une tangente BD (16) à la circulaire, l'angle ABD formé par corde AB & par la tangente BD, aura encore pour mesure la moitié de l'arc foutendu ou renfermé dans l'angle. Car fi, par le point A, on mene une parallèle AE à la