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tangente BD, l'angle DBA fera égal à fon alterne BAE (50): ainfi ils auront chacun pour mesure la moitié de l'arc BE (52); mais l'arc BE eft égal à l'arc BA, puifqu'ils font compris entre une corde & une tangente parallèles entre elles (51); & ces arcs étant égaux, leurs moitiés font égales : donc l'angle fait au point de contact (16) par une tangente & par une corde, a pour ouverture, ou pour mefure, la moitié de l'arc ou la moitié de la valeur de l'arc foutendu ou compris dans cet angle.

56. Des articles précédents (52, 53, 54 & 55), il réfulte que tout angle qui a fon fommet à une circulaire & qui renferme une portion de cette courbe entre ses côtés, a pour ouverture, ou pour mesure, la moitié de cette portion circulaire, ou la moitié de fa valeur, à quelqu'endroit que foit le centre de cette courbe par rapport à cet angle, d'où il faut tirer cette conféquence, que fi l'angle comprend entre fes côtés une demi-circonférence, il vaudrà 90 degrés (11& 27), qui font le quart d'une circulaire: donc ce fera un angle droit ; que fi l'angle contient entre fes côtés une portion de circulaire moindre qu'une demi-circonférence, il vaudra moins de 90 degrés : donc cet angle fera aigu (35): fi l'angle renferme entre les côtés un arc plus grand

Fig 45

Fig. 46.

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qu'une demi-circonférence, il vaudra plus de 90 degrés: donc il fera obtus (35).

57. Tout angle DAB qui a son sommet A dans une circulaire & ailleurs qu'au centre, a pour mesure la moitié des arcs DB, EF compris entre fes côtés & entre leur prolongement: car fi par le point E, où la circulaire eft rencontrée par le prolongement du côté BA, on mene une parallèle EG au fecond côté AD de cet angle, l'arc DG fera égal à l'arc FE (51); on aura l'angle DAB égal à fon correfpondant GEB (49), lequel a pour mesure la moitié de l'arc BDG compofé de l'arc BD, compris entre les côtés de l'angle, & de l'arc DG, ou de fon égal FG, renfermé entre leur prolon gement.

58. Tout angle ABC qui a fon fommet B hors d'une circulaire coupée par fes côtés BA, BC, a pour mesure la moitié de la différence des arcs compris entre ces fécantes. Soit menée la ligne DE parallèle au côté BA; confidérez que l'arc DF eft égal à l'arc EA (51), & qu'ainfi l'arc EC eft la différence de l'arc AC à l'arc AE ou FD, & qué l'angle EDC a pour mefure la moitié de cette différence, ou de l'arc EC (52): donc fon égal, ou fon correfpondant ABC, a pour fon ouverture, ou pour valeur, la moitié de la différence des arcs AC,

'AC, FD, compris entre fes côtés AB, BC. 59. Si l'une des fecantes s'écarte de l'au- Fig. 47 tre jufqu'à devenir tangente à la circulaire, l'angle ABC aura également pour mesure la moitié de la différence des arcs AFE, ED, compris entre fes côtés BA, BC. Car fi, par le point de contact E, on mene une ligne EF parallèle au côté BA, l'arc AF fera égal à l'arc DE: conféquemment l'arc FE fera la différence de l'arc AFE à l'arc DE; mais l'angle ABC eft égal à son correfpondant FEČ (49), & cet angle FEC a pour mefure la moitié de l'arc FE (55): donc l'angle ABC aura pour mefure la moitié du même arc: donc l'angle fait par une fécante & par une tangente a pour ouver→ ture, ou pour mesure, la moitié de la différence des deux arcs compris entre fes côtés, ou la moitié de la différence de la valeur de ces deux arcs.

Si par le point D on eût mené une parallèle DG à la tangente BC, l'angle ABC eût été égal à fon correfpondant ADG qui a pour mesure la moitié de l'arc AG (53), qui eft la différence entre l'arc AGE & l'arc ED, puisque ED eft égal à EG (51).

60. Des articles 57, 58 & 59 il réfulte, lorsque la fomme des deux arcs (57), où leur différence (58 & 59), eft égale à une demi-circulaire, que l'angle eft droit, puif

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qu'il a pour mesure la moitié de 180 de grés, ou 90 degrés (11 & 13). Lorsque cette fomme, ou cette différence, eft moindre qu'une demi-circulaire, l'angle eft aigu, puifqu'il a pour a pour mesure moins de la moitié de 180 degrés ; & quand cette fomme, ou cette différence, eft plus grande qu'une demi-circonférence, l'angle eft obtus, puifqu'il a pour valeur plus de la moitié de 180 degrés.

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Tout ce qu'on a vu depuis le 51° article inclufivement jufqu'ici, fert dans la Trigonométrie rediligne. Voyez l'Art de lever les Plans.

Des Triangles & de leurs différentes

espèces.

61. Toute étendue bornée par trois lignes, fe nomme triangle.

Lorfque les lignes font droites, on le nomme triangle rectiligne.

Quand les lignes font courbes, on le nomme triangle curviligne; & fi ces lignes courbes font des arcs ou des portions d'une circonférence, on le nomme triangle Sphérique.

Enfin fi les lignes font les unes droites & les autres courbes, on le nomme triangle mixtiligne. (On ne parlera que des triangles-rectilignes).

62. Les lignes AB, BC, CA, qui for- Plane. 3 ment un triangle, font appellées les côtés Fig. 48 de ce triangle.

La ligne AD menée de la pointe d'un angle A perpendiculairement fur le côté ou fur le prolongement du côté opposé à cet angle, eft nommée la hauteur du triangle; & ce point A eft nommé son fommet. La ligne BC oppofée au fommet A d'un triangle, fe nomme fa bafe.

On prend pour base d'un triangle tel côté que l'on veut. Mais quel que foit celui que l'on choififfe, le fommet eft toujours oppofe à la base, & la hauteur du triangle eft tou jours la perpendiculaire abbaiffée du fommet fur la bafe.

Il y a trois fortes de triangles; foit qu'on les confidère par rapport à leurs côtés, soit par rapport à leurs angles, foit enfin par rapport à leurs côtés & à leurs angles en

même tems.

Des Triangles confidérés par rapport

leurs côtés.

à

63. Un triangle qui a fes trois côtés Fig. 49: égaux, & conféquemment fes trois angles auffi égaux entre eux, fe nomme triangle équilatéral.

Celui qui a deux côtés égaux, & par Fig. 50; conféquent deux angles auffi égaux l'un

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