PREMIER PROBLÊ ME.

On donne trois vases abcd, ABCD, A'B'C'D' (fig. 6, pl. 1), qu'on suppose de même forme et de même capacité; le premier et le troisième sont remplis d'un même liquide, le deuxième contient de l'air; on demande que le liquide du premier vase abcd, en tombant dans le deuxième vase AB ČD, élève le liquide du troisième vase A'B'C' D' dans un tube L'N' à une hauteur qui soit constante, quel que soit le niveau du liquide dans le premier vase a b c d.

Solution.

(1) Le vase abcd étant fermé de tous côtés, le tube LN conduit le liquide que ce vase contient dans le vase inférieur ABCD; et afin que ce liquide soit remplacé par l'air atmosphérique, on fait rentrer cet air par le tube 1 m, dont l'extrémité i est très-voisine de L. Ce premier vase est alors semblable à certains verres à boire des oiseaux, qui se remplissent d'air à mesure qu'ils se vident d'eau. Le tube LN, qu il se termine en N, ou il se prolonge jusque dans un autre tube ƒg hk, plein d'un liquide quelconque dont le niveau est n N n'.

(2) Il résulte de cette disposition que le liquide LN n'éprouve en L aucune pression, soit de l'air, soit du liquide contenus dans le vase abcd.

(3) Quelle que soit la position du vase A'B'C' D' par rapport aux deux autres a bed, A B C D, on le met en communication avec ce dernier ABCD par un tube rst, qui a telle forme et telle direction qu'on veut, et qui peut même passer à travers le vase supérieur a b c d. L'extrémité de ce tube est au niveau de l'extrémité N' du tube N'L'.

t

(4) Tout étant ainsi disposé, il s'agit de démontrer que le liquide du vase A'B'C' D' s'élevera dans-le tube N' L' à une hauteur constante N' L', qui sera égale à la hauteur LN du tube par lequel le liquide tombe du vase supérieur abcd dans le vase inférieur ABCD; de sorte qu'ouvrant momentanément le robinet X, le liquide élevé dans le tube N' L' s'écoulera, et aussitôt qu'on fermera ce robinet le liquide s'élevera de nouveau dans le tube N' L' à la hauteur N' L'ENL.

(5) Quel que soit le liquide contenu dans les vases abcd, ABCD', la pression atmosphérique est mesurée par le poids d'une colonne de ce liquide, dont la hauteur est déterminée; nommons H cette hauteur. Avant qu'on ait ouvert le robinet Y

du tube LNqui conduit le liquide du vase abcd dans le vase ABCD, ce dernier vase est plein d'air atmosphérique dont la pression est mesurée par H; lorsque le robinet Y a été quelque temps ouvert, et ensuite refermé, le niveau du liquide dans le vase abcd s'abaisse au-dessous de ab en pq, l'air contenu dans le vase ABCD et le tube rst se comprime, et l'augmentation de pression est mesurée par la hauteur LN' (2). Nommant cette dernière hauteur, la pression totale de l'air contenu dans le vase ABCD et le tube rst sera H + h.

(6) La force élastique de l'air qui aura passé du tube rst dans la partie supérieure du vase A'B'C' D', et le poids du liquide que ce vase contient, fout en même-temps équilibre et à la pression H+ de l'air du tube rst, et à la pression atmosphérique H augmentée de la pression de la colonne liquide L'N'; donc cette dernière pression est égale à h hauteur de la colonne liquide LM; donc, dans l'état d'équilibre de toutes les pressions, on a constamment L'N' L Ñ, quels que soient les niveaux pq, PQ, P' Q', pourvu néanmoins que le niveau PQ soit toujours au-dessous du niveau nNn' dans le vase A B C D.

DEUXIÈME PROBLÊ ME.

Les vases abcd, ABCD, A'B'C' D' sont supposés égaux; tout est disposé comme pour le problême précédent; les pressions se font équilibre; les niveaux du liquide dans les trois vases sont indiqués par les horizontales pq, PQ, P' Q'; on demande le rapport du volume variable du liquide CDPQ qui s'est écoulé du vase supérieur abcd dans le vase inférieur AB CD, au volume d'air A'B' P' Q' qui occupe la partie supérieure du vase A! B'C' D'?

Solution.

Soit le volume d'un quelconque des trois vases, et a sa hauteur verticale AC ou A' C', faisant C P = x, A P': Fy, et négligeant les volumes des tubes placés dans l'intérieur des vases, les deux volumes dont on demande le rapport ont pour expressions V, Vy; car ces volumes et le volume sont

a a

des parallelipipèdes de même base, qui sont entr'eux comme leurs hauteurs x, y et a.

Pour trouver la relation qui existe entre les deux quantités ety, et pour en conclure l'une au moyen de l'autre, il faut

observer que la masse d'air contenu dans le vase ABCD et dont le volume est sous la pression H, est égale aux masses d'air des colonnes A'B' P'Q' et ABPQ; d'où il suit : qu'en cherchant les volumes de ces trois masses d'air, dans l'hypothèse où elles seront soumises à la même pression, le volume de la première masse sera égale à la somme des volumes des deux autres masses; on concluera de cette égalité la valeur de x en y..

1°. L'air atmosphérique contenu dans le vase ABCD ayant sous la pression H un volume V, il aura sous la pression H+h

un volume qui a pour expression

HV

H+h

2o. L'air ABPQ, ainsi que la portion d'air du tube rst (portion qu'on néglige ), est soumis à la même pression H+h, et a pour volume V

V x

a

3o. L'air A' B' P'Q' est soumis à la pression H+h—(a—y);

Ꮴ Ꮴ

a

donc sous la

or, sous cette pression, il occupe un volume pression H+ son volume devient le 4°. terme de cette pro

portion :

H+h:H+h+y—a::

:4 terme =

a(H+ h)

a (H+ h)

donc on aura l'équation suivante :

HV = (V_V2) + (Vy(H+h+y—a)

H+h

Ainsi étant donnée la hauteur verticale A'P' de la couche d'air contenu dans le vase A'B'C' D', on en concluera la hauteur verticale PC du liquide tombé du vase supérieur abcd dans le vase inférieur ABCD; et parce que cette hauteur CP est égale à la hauteur ap de la couche d'air rentré dans le vase abcd, il s'ensuit que des trois niveaux p q, PQ, P'Q', un étant donné, les deux autres sont déterminés.

L'appareil représenté fig. 6, pl. I, est construit sur le même principe que les lampes de MM. Girard; pour le ramener à la forme d'une fontaine de Héron, il faut 1°. supprimer le tube lm, et mettre l'intérieur du vase abcd en contact avec l'air atmosphérique; 2°. supprimer le tube fghk et prolonger le tube LN

jusques vers le fond CD du vase ABCD; 3°. enfin, il faut sup-. primer la partie st du tube rst; il suit de ce qui précède que dans la fontaine de Héron la pression en N' est variable, et que, par une heureuse application des principes connus d'hydrostatique, on est parvenu à donner à cette pression une valeur

constante.

OPTIQUE.

De l'Héliostat;

Par M. HACHETTE.

MM. BERTHOLLET et MALUS ont fait exécuter par M. Fortin un héliostat d'une nouvelle construction. L'objet de cet instrument est de donner, au moyen d'un miroir plan, mobile, une direction constante aux rayons solaires réfléchis par ce miroir; le miroir est soutenu par une tige métallique perpendiculaire à son plan; on nomme cette tige la queue du miroir. On a déjà démontré, dans plusieurs ouvrages de physique, que lorsque le soleil décrit un cercle de déclinaison, la queue du miroir décrit un cône oblique dont la base circulaire est parallèle à l'équateur; je vais donner une démonstration synthétique de cette proposition.

Le point où la queue du miroir (supposé réduit à une ligne droite) coupe le plan de ce miroir, peut être considéré comme le centre de la terre; car pour l'héliostat ainsi que pour les cadrans, on regarde le rayon de la terre comme nul, par rapport à la distance de la terre au soleil. Soit la figure 7, planche I, dans laquelle M est le point du miroir pris pour le centre de la terre, MP l'axe de la terre, MS une arête du cône droit qui a pour sommet le centre de la terre et pour base le cercle de déclinaison décrit par le soleil un certain jour de l'année, enfin Ms la direction constante suivant laquelle l'image du soleil mobile doit être réfléchie; il s'agit de déterminer la position de la queue du miroir mobile, qui correspond à une position donnée du soleil dans le cercle de déclinaison.

Supposons que les points P, S, s, soient placés sur la sphère dont le centre est en M; le cercle de déclinaison décrit

par le soleil sera sur cette même sphère; et désignant par 3, SS",.... les différentes positions du soleil, la direction des rayons solaires correspondante à ces positions sera successivement MS, MS', MS1‚....or, la direction constante des rayons réfléchis est Ms; donc le miroir doit se mouvoir de manière que sa queue divise en deux parties égales les angles sMS, sMS', sMS"...... Mais les droites Ms, MS sont d'égale longueur comme étant les rayons d'une même sphère. Il en est de même des droites Ms, MS', des droites Ms, MS", donc la queue du miroir divise en deux parties égales les droites s§, s§', s§'', ...... or, ces droites sont les arêtes d'un cône oblique qui a son sommet au points, et dont la base est le cercle de déclinaison S, S', S", etc.; donc le milieu de ces arêtes appartient à un autre cercle dont le rayon est moitié du rayon du cercle de déclinaison; ce dernier cercle est évidemment la base du cône oblique décrit par la queue du miroir, qui, dans toutes ses positions, passe par le point M, sommet de ce cône.

Pour suivre cette démonstration, il faut se représenter à-lafois une sphère céleste avec le pôle et un cercle de déclinaison; un cône droit qui a pour sommet le centre de la sphère et pour base le cercle de déclinaison; un premier cône oblique qui a même base que le cône droit, et dont le sommet est au point où le rayon réfléchi de direction constante coupe la sphère; enfin un second cône oblique, décrit par la queue du miroir qui a son sommet au centre de la sphère, et dont la base est le cercle qu'on obtient en coupant ce premier cône oblique par un plan perpendiculaire sur le milieu de sa hau

teur.

L'aiguille d'une horloge fixe dont le cadran est placé parallèlement à l'équateur, conduit l'extrémité de la queue du miroir de l'héliostat, et lui fait parcourir une circonférence entière en 24 heures. Au moyen d'une échelle graduée, on détermine, par rapport au plan fixe horizontal, la position variable du sommet du cône oblique, qui correspond aux différentes déclinaisons du soleil; c'est d'après le calcul numérique donné par M. Malus à M. Fortin, que cet artiste a exécuté l'héliostat du cabinet de M. Berthollet. Le calcul analytique devient extrêmement simple lorsqu'on suppose que le rayon réfléchi en direction constante est dans le plan du méridien; cette hypothèse est d'ailleurs conforme à ce qui se pratique ordinairement.