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De l'Epicycloïde sphérique et de sa Tangente ; par M. Ha

chette. Question proposée au concours général des Lycées de Paris (année 1809 ), et solution de cette question , qui a remporté le premier prix de Mathématiques ; par M. Vanéechout,

Elève de l'École Polytechnique. STATIQUE. Extrait d'une lettre de M. Gergonne , professeur de

Mathématiques transcendantes au Lycée de Nîmes, dépar

tement du Gard. HYDROSTATIQUE. Sur la Fontaine de Héron et la Lampe hy

drostatique de MM Girard ; par M. Hachette. OPTIQUE. De l'Héliostat, par M. Hachette. FORTIFICATION. Sur une nouvelle manière de défendre les

places; par M. Carnot.

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SCIENCES PHYSIQUES. Sur la décomposition de l'eau par le

diamant ; par MM. Guyton-Morveau , Hachette, Clément

et Darcet. Sur la décomposition de l'eau par le plomb; par M. Guyton

Morveau. De lAnalyse des Matières animales et végétales ; par MM. Gay-Lussac et Thenard.

Description et Dessin de l'appareil dont ils se servent pour cette analyse. ANNONCE d'Ouvrages.

S. IV, V et VI. PERSONNEL. Conseil de perfectionnement , 10°. Session, 1809. Liste de 159 élèves admis à l'Ecole Polytechnique le 28 sep

tembre 1808 ( Cette nouvelle promotion porte le nombre des élèves admis à l'Ecole Polytechnique, depuis sa création,

à 2306.) Liste de 128 élèves admis dans les services publics le 5 oc

tobre 1808. Actes du Gouvernement , relatifs à l'Ecole Impériale Poly

technique.

Fin de la Table.

De l'Imprimerie de P. GUEFFIER , rue du Foin-Saint-Jacques, no. 18.

SUR

L'ÉCOLE IMPÉRIALE POLYTECHNIQUE,

Rédigée par M. HACHETTE.

No. 3. Janvier 1811. (2o. vol.)

$. I.

APPLICATION DE L'ANALYSE A LA GÉOMÉTRIE.

Des Surfaces du second degré.

J'ai proposé, l'année dernière , la question suivante :

Etant donnée l'équation générale des surfaces du second degré, trouver la relation qui doit exister entre les constantes qui entrent dans cette équation, pour qu'elle appartienne à une surface de révolution ? Trois élèves du cours de la même année , MM. Urban , Merle, Mondot, ont traité cette question de deux manières différentes; M. Bourdon, professeur au Lycée Charlemagne, l'a résolue d'une troisième manière, et il a déduit de sa solution plusieurs conséquences importantes sur la théorie des surfaces du second degré. Comme il fait usage des équations par lesquelles M. Biot a déterminé la position des trois axes rectangulaires d'une surface du second degré, je vais d'abord exposer la méthode que ce géomètre a suivie pour obtenir ces équations. Cette méthode étant la plus simple et la plus élégante de celles qu'on a employées jusqu'à présent

substituera à celle que j'ai suivie dans le Traité des Sur. facos du second degré, qui sert de texte à nos leçons.

Soit l'équation générale d'une surface du second degré
Azi + A'y+A"x"+Byz + Blaz+B"xy

+C2 + C'y + C" x + D=0; cy, z, étant les coordonnées rectangulaires d'un point quelconque de cette surface , et x, y, z, les nouvelles coordonnées de ce point parallèles aux axes principaux de la surface, on a (pag. 7, 2* vol. de la Correspondance)

x =ma' + m'gel + m'z'

= nx' + nyl + n'z

z=pac + p'gl + paz", m, n, P.

x' m', n', pétant les cosinus des angles que l'axe principal des y!! ? m'', n'','p!)

2') fait avec les trois axes primitifs des X , -des des z.

Les neuf constantes m, n, p, m, n, p, m, n, p, sont liées entr'elles par le relations suivantes (pag. 14 et 15 du I'raité des surfaces du second degré):

ma + na + p =I m m' tnn tp p' =0. mn'a + n'a + pli=1/() et m m" tan tp p=0. (2). ma + nila +p=1 m' m' it n' n" +p'p"=". Substituant les valeurs de x, y, ?, dans l'équation proposée , et formant les coefficiens de iz!, xz', 'y', pour les égaler à zéro, ou aura les trois équations suivantes : 2 Appl.+2 Ann +2 A" m' m' + B(n!.p" + pln")

+Bl (m'plitplm) + Bl" (m' n' tn'm')=0 2 Ap p!! +2 Ann" +2 A" m m + B (nph tp n')

(3) + B' ( mp"+p m'!) + B1 (m n' tn mi)= 2 À ppi +2 A! nn' +2 A"'m m' + B (nplt.pn')

+ Bl (m p'+p m') + Bil (m n't nm')=0

et pour abréger

N=0,N=0,N=

"0

(3)

d'où il suit que l'équation en x', y', z', sera en général de la forme

a aco.. Byla tuzlo dx' + ey! +3z'I=0 qu'on peut réduire , dans un grand nombre de cas, à celle-ci :

axlat uyla+nzla - 1 = 0; la surface représentée par cette dernière équation est rapportée à ses trois axes principaux et à son centre.

Il est important de remarquer que les neuf équations (1), (2), (3), sont symétriques par rapport aux trois systèmes des constantes (m, n,p), ('m', n?, p'), (m'', '', p"); en sorte qu'à la place des trois constantes ,

on peut substituer les trois autres l', m, n, ou l", m",

, pourvu qu'à la place de ces trois dernières on mette respectivement i,m,n. Il suit de celte reinarque qu'en éliminant huit des neuf constantes, les équations finales en m; ou en m', ou en m'' , seront identiques; par la même raison, il y aura identité entre les équations finales en n, ou n', ou n'', et en p., ou p', ou p''; les équations finales auront donc pour racines , la première les quantités m , m', ml; la seconde , les quantités n,n,n; la troisième, les quantités p, pl, phl. Le calcul suivant, rédigé par M. Bourdon, a pour objet de démontrer que les racines de chacune de ces équations finales sont toujours réelles. H. C.

m ,

Détermination des axes principaux dans les surfaces du

second degré, et en particulier, dans les surfaces de révolution du second degré,

Par M. BOURDON. Les équations (3), combinées avec les équations des deux groupes (1) et (2), devront donner les valeurs de m, n, p, m'.....

Si l'on multiplie la seconde des équations (3) par in!, et la troisième parim", qu'ensuite on les retranche l'une de l'autre, on obtient la nouvelle équation 2 A p (m'plamp'm'') + B n ( m' pll-p' m")

+ B' m (m'p'p'm') + 2 A' n (m' n'! -n'm') + B p (m' n' n'm'')

+ Bilm( m' nil - n' m") (2 A p + B n + Bl m) (mi p- p'm'l) +(2 Ant Bp + Bll m) (m! n!! -- ml)=0 (4).

ou

Multipliant de nouveau la deuxième par ni', et la troisière par

72!! į puis retranchant la deuxième de la troisième, et réduisant, il vient

(2 A Pt B n + B' m) (pilnllap")

it (2 Al! m + B'p + B"n) (min-n'm'l)=0 (5). Or les deux premières équations du groupe (2) étant multipliées d'abord par m" et m', puis par ni et n', et étant retranchées , donnent aussi.

n (m' n' - n' m') + p (m' plplm")=0
m (minin' m') +p lprn"-n p')=0;

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Substituant ces valeurs dans les équations (4) et (5), il vient

n

р

m

(2 Ap+Bn+ B'm)x+2 An + B p + B"m=o (2 dp + Bn + B'm) X- +24".m + B'p+B".n=0 ou réduisant 2 ( 4-4 ) n p+Bao-Po)+B' m n -B" m p=o (6) 2(A - A") mp+Bmn + Bl(

mp) -- BH n p=o (7) De ces équations on déduit facilement la suivante : 2 (A-A".)mn + Bmp ~ B'np + Bli (min)=0 (8) que l'on pourra par conséquent substituer à l'une d'elles.

Deux quelconques des équations précédentes, combinées avec l'équation mo to ni tpi=1, donneront les valeurs de m,n ,po

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