Il nous reste à voir si ces quantités seront toujours susceptibles de détermination réelle, et comment on peut les obtenir. Pour cela posons d'où m =pt; n = p. L'équation m' +2+p2 = 1 donne 1 Et les équations (6), (7), (8), deviennent - (9) Bu2 + B' ut + 2 ( A — À1 )-B" B =0 t — B' t + But + 2 (A -·A") t — B B' =0 (10) B" t2 — B" "2 + 2 ( A' —A")ut + B. t — B'u=0 (11) Si l'on prend dans la première la valeur de t, et qu'on la subs. titue dans la seconde, le terme affecté d'u4 disparoîtra, et il res tera,pour déterminer u, une équation du troisième degré. Or,toute équation du troisième degré ayant au moins une racine réelle,." il s'ensuit que aura au moins une valeur réelle, et qu'il en séra par conséquent de même de t, m, n, p. Observons maintenantque si l'existence simultanée des équations (4), (5), et des deux premières équations du groupe (2), entraîne celle des deux équations (6) et (7), l'existence simultanée des équations (6) et (7) et des deux premières équations du groupe (2) entraîne aussi celle des deux équations (4) et (5), et par conséquent des équations (3) N'=o, No. Il résulte de là que si l'on rapporte la surface à trois nouveaux axes rectangulaires, en prenant pour axe des x la ligne qui correspond aux valeurs réelles de m, n, p, trouvées cidessus, comme ces valeurs vérifient deux quelconques des trois équations (6), (7) et (8), en même-temps que les deux premières équations du groupe (2), elles vérifieront également les deux équations (4) et (5), et par conséquent N' = 0, N"= 0; c'est-à-dire que l'équation de la surface, rapportée à ces nouveaux axes, dont deux restent arbitraires, cette équation, dis-je, sera privée des rectangles en az et xy, et sera de la forme Mz1 +M'y2 +M" x2+Nyz+Pz+ Ply + P! x+Q=0. Or on sait que, pour une équation du second degré à deux variables, on peut toujours trouver une position d'axes rectangu laires, telle que le rectangle des deux variables n'entre plus dans l'équation Ainsi on pourra, en conservant l'axe des x qui vient d'être déterminé, prendre deux nouveaux axes des et des z, tels que Y le rectangle y z disparoisse dans l'équation ci-dessus. Il est donc démontré que, par une double transformation de coordonnees, on peut toujours faire disparoître les trois rectangles de l'équation générale des surfaces du second degré et par conséquent qu'il existe, pour toute surface du second degre, au moins un systême d'axes rectangulaires par rapport auxquels son équation est privée des trois rectangles. (2) Pour peu que l'on jette les yeux sur les équations des groupes (1), (2), (3), on reconnoît qu'elles sont symétriques par rapport à m, n Pr m'..... Donc, en éliminant m, n, p, m", n", p", par une méthode analogue à la précédente, on parviendroit à trois équations en m', n', p', identiques avec les équations (6), (7), (8). La détermination de ces quantités dépendroit d'une équation en u', identique avec l'équation en u. Même raisonnement par rapport à m", n", p". 9 Il résulte de là que l'équation du troisième degré en u ne doit pas plutôt donner la valeur d'u, d'où dépendent les quantites m, n, p, que les deux valeurs d'où dépendent les quantites m', n', p', et m", n", p'", c'est-à-dire, les donne toutes trois à la-fois. Et, comme nous venons de démontrer l'existence d'un systême de trois axes différens, par rapport auxquels l'équation de la surface peut être privée des trois rectangles, c'està-dire pour lesquels les équations des groupes (1), (2), (3), seroient satisfaites, il s'ensuit, 1o que les trois racines de l'équation en u doivent être réelles; 2° que chacune d'elles, substituée en même-temps que la valeur correspondante det, dans les équations donneroit, la première, les valeurs de m, n, p, qui correspondent à l'axe des x, par exemple; la seconde, celles de m', n', p', qui correspondent à l'axe des y; la troisième, enfin, celles de m", n", p", qui correspondent à l'axe des z. El ces trois axes ainsi déterminés formeroient le systéme dont nous avons démontré l'existence, art. 1. Il est facile de voir, d'après l'analyse précédente, que ce systême est en général unique pour une même origine, mais que, par chaque point de l'espace, on peut en imaginer un qui jouisse de la même propriété; et que tous ces systêmes sont parallèles entre eux, Nous désignerons dorénavant les trois axes dont nous venons de parler, sous les noms d'axes principaux de la surface. Examinons maintenant quelques cas particuliers. La détermination des trois valeurs d'u, entraîne en général dans des calcuis très-compliqués. Mais il existe des cas où ces valeurs peuvent être obtenues facilement, c'est lorsque l'une des deux équations (9) et (10), où toutes les deux sont décomposables en deux facteurs du premier dégré. Recherchons, par exemple, la condition qui doit avoir lieu pour que l'équation (9) soit décomposable. On tire de cette équation I B' t + 2 (A — A') 2 B 2 BV A' -√ B12 t2 + 4 [ B'( A—A' ) + B B'' ] t + 4 [ ( A — A1 )2 + B2 ]. #2 Or, pour qu'elle soit décomposable en deux facteurs rationnels, il faut que la quantité sous le radical de la valeur d'u soit un carré parfait, ce qui exige que l'on ait, 16[ B' (A—A' ) + B B" ]2 — 16[ (A—A' )2 + B2 ] B12 = ou réduisant 2 B' B" ( A—A' ) + B ( B'' 2 — B12 ) = 0. Substituant cette valeur dans l'expression d'u et faisant toutes les réductions, on en tire successivement, B'u-Bo; BB" u + B' B't BB'0, c'est-à-dire que l'équation (9) peut se mettre sous la forme ( B' u --- B'') ( BB" u + B' B'' t + BB')=0 (12) équation dont les deux racines sont essentiellement réelles et faciles à obtenir. Le 2o facteur donne B' B" t + BB' d'où, en substituant dans l'équation (10), ; [ 2 BB" (A"! — A ) † B' B2 — B' B12]t= équation qui a pour valeur unique, = 0; ce qui donne 4. Si dans l'équation qui vient de donner la troisième valeur de on suppose que le coefficient soit nul, c'est-à-dire que l'on ait la valeur de reste indéterminée, ce qui annonce que le nombre des systêmes d'axes principaux est infini. Et en effet, la condition précédente étant satisfaite, l'équa tion (10) est aussi décomposable en deux facteurs du premier dégré et peut-être mise sous la forme: (Bt — B") (BB" u + B' B'' t + BB')=0 - (13). Si l'on compare cette équation avec l'équation (12), on reconnoît qu'elles ont un facteur commun qui, égalé à zéro, donnera une infinité de valeurs pour u et c. Ainsi il existe, dans ce cas, une infinité de systêmes d'axes principaux, passant par un même point. Mais tous ces systêmes jouissent d'une propriété remarquable: c'est d'avoir un axe commun. Pour le prouver, remarquons que les équations (12) et (13) sont satisfaites, 1° par le systême B'-B" 0; Be~ B" =0; d'où, en désignant par m, n, p, les cosinus des angles que cet axe particulier avec les axes primitifs, forme Représentons maintenant par m, n, p1, et mij, nj, Pu, les cosinus relatifs aux deux axes conjugués de celui-ci. Comme ces trois axes sont rectangulaires, on a les relations mm,+nn,+pp, = 0; mm+nn+PP=0, ou, mettant à la place de m, n, p, les valeurs que l'on vient de trouver, B' B" m, +B B" n + B B' p1 = 0; BB B. B" m+BB". Et si, pour déterminer m, n, P1 mijn P, on fait |