les deux équations se réduisent à

BB" u + B B" t+BB'=0,

qui est précisément celle dont on doit tirer les valeurs d'u et de t à donner tous les axes autres que celui qui correspond à

propres

0.

(r)

2 B' B" ( A — A') + B (B" — B11 ) = 0

2 B B" ( A" — A) + B' ( B2 [— B2 ) = 0

(Z)

existent simultanément, le nombre des systêmes d'axes principaux est infini; mais tous ces systêmes ont pour axe commun, la ligne déterminée par les équations

Remarquons en passant, que les deux conditions précédentes, renferment la suivante;

2 B B' (A' — A")+B" (B'—B2)=0

(X)

et, qu'avec cette condition, l'équation (11) peut se mettre sous la forme

(B'u-Bt) (BB" u+B'B' t + BB')=0.

(Voyez le supplément page 250).

DES SURFACES DE RÉVOLUTION DU SECOND degré.

Caractères auxquels on reconnoît qu'une surface du 2o degré est de révolution, Détermination de l'axe de révolution.

(5) L'analyse précédente conduit naturellement à l'examen des surfaces du second degré, pour lesquelles les relations (X),

(net (Z), ont lieu. Or nous pouvons reconnoître à priori que ces sortes de surfaces sont du genre des surfaces de révolution.

Proposons-nous, en effet, de déterminer les relations qui doivent exister entre les coefficiens d'une équation du second degré à trois variables, pour que la surface qu'elle représente soit de révolution.

Soient d'abord — a = a(z—y); y — ß=b (zy), les équations d'un axe de révolution passant par le point 1, ß, y; z+ax+by=c, l'équation d'un plan perpendicu laire à cet axe; (x —∞)a1+(y—ß ) 2 + ( z − y)2 = l'équation d'une sphère ayant son centre au point, 6, 7. On sait que l'équation générale et caractéristique des surfaces de révolution est

(x — ∞)2 + (y —ß)2 + (z—y)2 = F(ax+by+z). ` Ainsi, pour qu'une surface soit de révolution, il faut que son équation soit ou puisse être ramenée à une semblable forme. (6) Il résulte de là que les équations des surfaces de révolution du second degré sont toutes susceptibles d'être mises sous la forme

(x—α)2 + (y—ß)3 + (z—y)'= K ( ax + by + z )2 + L, (M) Ket L étant des quantités constantes.

Nous ne tenons point compte de la première puissance de ax + by + z, parce que, si elle se trouvait dans le second membre, on pourroit la faire passer dans le premier membre, qui seroit encore de la forme (x — α)2 + (`y — B)2 + (≈ — y')'. Cela posé, considérons l'équation générale du second degré

Az2+A' y2+A" x2 + B y z + B' x z + B'!xy+

+ Cz + C' y +C" x + D=0

(N)

et voyons quelles relations il doit exister entre ses coefficiens, pour qu'elle soit susceptible d'être ramenée à la forme ci-dessus. En développant l'équation (M), et ordonnant, on a

( K − 1 ) z2 + ( K b2 — 1 ) y2 + (Ka2 — 1 ) x2+

+2K by + 2 Kax z + 2 Kab xy +

+222 +263 + 2 α x + L — α3 — ßa — y2 — 0.

Observons maintenant que des six premiers coefficiens de l'équation (2), cinq seulement sont nécessaires. Il faut donc

diviser les équations (2) et (3) par le coefficient de z, avant de les comparer. Ces preparations faites, on obtiendra les relations

Nous n'écrivons que ces équations, qui sont les seules susceptibles de donner des équations de condition.

substituant ces valeurs dans les deux premières, il vient

d'où résulte la première équation de condition

2 B1B" (4— A' ) + B ( B'! 2 — B12 ) = 0

(Y).

B(B"-B)+2 A B B"

2 AB B

d'où résulte la seconde équation de condition

2 B B" ( A — A'' ) + B' ( B"2 —B3)=o

(Z).

Donc, pour qu'une équation du second degré appartienne à une surface de révolution, il faut que les deux équations de condition précédentes soient satisfaites.

(7) Réciproquement, toutes les fois qu'elles seront satisfaites, la surface sera de révolution, et l'on pourra même déterminer la position de l'axe.

(K− 1 ) z2 + ( K b' — 1 ) y ' + ( Kaa—1) x2 +

+2 Kby z+2K a xz + 2 Kabxy +

+C (K—1) (K—1) (K—1)

C ( X − 1) = + C' (X — 1) y + C" (X-1) z + D(K−1) =

A

A

A

A

+ [x C" (K = 1 ) ] = x (z+ax+by)* +

+

X

[x·

K2 A

K

D(K−1) =0,

( K − 1 )* ( C2 + C12+C"3) + D (K~1)

442

+

A

équation d'une surface de révolution dont l'axe est déterminé par les équations

>

(8) Il est facile de s'assurer que cet axe de révolution est parallèle à l'axe déterminé (art. 4) par les équations

་

En effet, soient cos x, cos y, cos z les cosinus des angles forme l'axe de révolution avec les axes primitifs. On a, d'après les formules connues

que

En rapprochant ce que nous venons de dire sur les surfaces de révolution du second degré, de l'analyse relative à la dispa