rition des rectangles, on peut conclure que les surfaces de révolution du second degré ont une infinité de systêmes d'axes principaux non parallèles. Mais l'un de ces axes est commun à tous les systêmes et est parallèle à l'axe de révolution; en outre ce sont les seules surfaces du second degré qui en aient un nombre infini.

(9) Les conditions trouvées (art. 6) souffrent quelques modifications, lorsque l'équation est privée de quelques uns des rectangles.

Observons d'abord que, si l'équation est privée d'un seul rectangle, la surface ne peut être de révolution.

Car soit Bo, par exemple, la seconde condition trouvée art. 6, se réduit à Bi B!'=o, équation absurde, puisque les deux rectangles xz, xy, existent dans l'équation. Il en seroit de même si un seul de ces deux autres rectangles étoit nul. On peut d'ailleurs reconnoître que l'équation caractéristique (M) des surfaces de révolution du second degré ne peut jamais être réduite à ne renfermer que deux rectangles.

(10) Considérons maintenant le cas où deux des rectangles manquent dans l'équation. Les deux conditions générales sont satisfaites d'elles-mêmes, puisque deux des trois quantités B, B', B'' entrent dans chacun de leurs termes. Mais observons que l'on en déduit

;

A-A

2 B B

La première équation se réduit à

B'!? — 4 ( A — A' ) ( A — A" ) — 0,

Ainsi, toutes les fois que l'équation est privée des deux rectangles y z et xz, la seule condition nécessaire est

B''2 — 4 ( A — A') ( A — A" ) =0;

et en effet l'équation peut, dans ce cas, s'écrire ainsi

Or, pour que cette équation représente une surface de révolution, il faut, et il suffit que le second membre soit un carré parfait; ce qui donne la condition

B'13 — 4 ( A — A′ ) ( A — A") =0.

Or le plan perpendiculaire à l'axe de révolution ayant pour

équation y

B" x
-2(A-A')

constante, est perpendiculaire

au plan des xy. L'axe est donc parallèle à ce dernier plan, et a pour équation

On obtiendroit de même

pour l'hypothèse de Bo; B" 0,

la condition... B' — 4 ( A' — A ) ( A' — A'' ) = 0 ; ·

et pour l'hypothèse de B'o; B"=0,

A

la condition.... B — 4 ( A"! — ▲ ) { A". — A'! ) = 0.

(11) Considérons enfin le cas où les trois rectangles manquent dans l'équation. Il seroit facile de le déduire du cas précédent, et on trouveroit que deux des trois coefficiens A, ́A', A" doivent être égaux et de même signe; mais on peut obtenir 'directement cette même condition. En effet, l'équation de la surface ne renfermant aucun des rectangles, le second membre de l'équation caractéristique des surfaces de révolution du second degré ne peut plus contenir qu'une des variables. Ainsi la proposée doit pouvoir être mise sous la forme

̈ ( 20 mins α) a if ( 3 m ß) 2 + ( z — y )3 —

➡Kx2+L, ou Ky+Lou K z1+L;

ce qui exige évidemment que deux des coefficiens soient égaux et de même signe.

Et, lorsque cette condition est satisfaite, l'équation appartient à une surface de révolution, dont l'axe est parallèle à l'un des trois axes rectangulaires, celui suivant lequel se compte la variable, dont le carré est affecté d'un coefficient différent des deux autres.

Sur les surfaces du second degré, de révolution.

Par MM. URBAN et MERLE, élèves.

Soit l'équation générale du second degré : ax2+by+cz'+dxy+exz+fyz+gx+hy+Kz+1=0 (1).

Si on a les équations de condition, ( identiques avec les équations (X), (Ý), (Z), pag. 196)

2 (ac) df-e (da —ƒa ) = o1 (a)

2(bc) de f(d” — e•J⇒o

l'équation (1) représente une surface de révolution dont l'axe

a pour équations

Démonstration. Si la surface est de révolution, en changeant les axes des coordonnées, et prenant l'axe des z' parallèle à l'axe de révolution, on doit parvenir à une équation dans laquelle les rectangles disparoissent, et dont les coefficiens de et y soientegaux, puisque les intersections parallèles au plan des x'y' doivent être des circonférences de cercle.

Prenons pour axe des z la ligne qui a pour équations

d

et yz; pour axe des a, l'intersection d'un

e

x = = = = plan perpendiculaire à l'axe des z' mené par l'origine, avec le plan des xy, et pour axe des une perpendiculaire au plan abréger,

des x z. Nous aurons, en faisant pour

Substituant, on trouve pour les coefficiens de xy, x' z'ety' z' des expressions qui respectivement peuvent s'écrire ainsi

expressions qui, toutes trois, se réduisent à zéro dans l'hypothèse où les équations (a) ont lieu, c'est-à-dire, lorsque la surface est de révolution.

Le coefficient de xest

ae4f" + bef+de3 f3 + (c d' — d e f ) ( e2 +f')'

Multipliant ce dernier par g' haut et bas, et retranchant du premier, on aura un résultat, tel que si on y substitue pour bet c leurs valeurs tirées des deux premières équations (a), il se réduit à zero.

Lorsqu'une surface du second degré sera de révolution, les équations (a) auront lieu ; et réciproquement, toutes les fois que ces équations auront lieu, la surface sera de révolution autour d'une droite qui aura pour équations, les équations (b).

Caractères auxquels on peut reconnaître qu'une équation du second degré à trois variables représente une surface de révolution.

Par M. MONDOT, élève.

Une surface sera reconnue être de révolution si l'on peut trouver un systême de plans parallèles, qui la coupent suivant une suite de cercles dont les centres soient sur une même droite perpendiculaire à ces plans coupans. Or on sait :

Qu'un cercle projeté sur un plan devient une ellipse qui a pour rapport de ses axes le cosinus de l'angle du plan du cercle et du plan de projection, le grand axe étant parallèle à la commune intersection des deux plans;

à·la

Que, réciproquement, si une ellipse donnée est la projection d'une figure située dans un plan qui coupe celui de la courbe suivant une parallèle à l'axe, sous un angle dont le cosinus soit égal au rapport des axes, la figure projetée est un cercle dont le centre correspond à celui de l'ellipse;

Que deux cercles concentriques donnent pour projections orthogonales sur un même plan deux ellipses semblables, concentriques, semblablement placées, et, réciproquement, que si sur chacun des trois plans coordonnés on a deux ellipses sembla→ bles, concentriques, semblablement placées, et que l'une d'elles soit la projection d'un cercle, l'autre ne peut être la projection