voit être simplifié par la considération suivante: « Ayant un systême de droites parallèles entr'elles, qui servent de cordes à la surface du second degré, il existe un plan perpendiculaire à ces cordes, qui les divise toutes en parties égales, et ce plan est évidemment un des plans rectangulaires de la surface. »

Prenons pour l'équation générale des surfaces du second degré : ax2 + by2 + cz2 + dxy + eyz +fxz

et soient

(1) {

(2)

{

+8x + dy + k +I

x = az +6.

y = u'z + 6!

= 0.

}=

les équations d'une droite qui coupe la surface du second degré en deux points; on obtiendra les coordonnées de ce point, en combinant ces équations avec l'équation générale (1), et faisant pour abréger

a a2+ba" + da a' + e a' +ƒ«+c=4. 2 a ab + 2 b a'C' + d (ab! + a'C) + e6' +ƒ€+g a

= B,.

ac2 + b¤12 + d CC' + g 6 + h 6' + 1 = C. L'ordonnée Z du point d'intersection sera donnée par l'équation A z2 + B ≈ + C= o ; les deux valeurs de z, tirées de cette équation, sont:

Donc l'ordonnée Z' du milieu de la droite qui joint les deux points d'intersection, est

B

2 A

Nommant X', r', les deux autres coordonnées du même point, on aura par les équations (2)

regardant X', 'Z' comme des coordonnées variables, dont la valeur dépend des quantités 6 et 6', si, entre ces trois équa

tions, on élimine ces dernières quantités et 6', l'équation résultante en X, Y, Z', qu'on peut désigner par les trois lettres x,y,z, appartiendra à la surface qui passe par les centres de toutes les cordes parallèles à la droite des équations (2). Les équations (3) donnent :

√ (x − a x) (2 a a + d a' + √) + ( y − a x) (2 ba+da+e) + (2α a2 + 2 ba22 + 2 da a2 + 2 e a' + 2 fa+2c) +ga + ha+k=0.

α

réduisant

α

(4)x(2aa+da' +ƒ)+y(2b6' + da +e)+z(ea'+fa +20) +ga+ha+k

Cette équation linéaire est celle d'un plan diamétral qui passe par les milieux de toutes les cordes parallèles à la droite des équations (2).

Pour que ce plan soit perpendiculaire aux cordes, il faut qu'il soit parallèle au plan dont l'équation est :

ces équations (5) sont linéaires, l'une par rapport à a l'autre par rapport à «; éliminant l'une ou l'autre, a exemple, on aura :

2

e a12 + a' (ƒα + 2 c − 2 b ) — (da+c) = 0,

mettant dans cette dernière équation pour «', sa valeur, et observant que le terme du 4° degré efa 4 se détruit, l'équation réduite en a, est du 3° degré; ce qui prouve que la surface du second degré ne peut avoir que trois axes rectangulaires; on tire

de cette équation, au moins une racine réelle de «; à cette valeur réelle de a correspond une autre valeur réelle de «', donnée par la première des équations (5). Substituant ces valeurs réelles de a et a' dans l'équation (4), on a l'équation d'un plan diamétral perpendiculaire à toutes les cordes parallèles à la droite des équations (2); la surface du second degré étant rapportée à ce plan diamétral, comme l'un des plans coordonnés, son équation sera évidemment de la forme:

2

a' x2 + b' y2 + c'. z ' + d' x y + g' x + h'y +1=0. Changeant les coordonnées rectangulaires x, y en d'autres coordonnées rectangulaires x', y', par les formules connues y' cos o, y = x cos y sin q, on trouve

X =

sin

x' tang (24) =

a'

b'

valeur réelle d'après laquelle les axes

des (x) et des (y') deviennent les axes rectangulaires de la surface du deuxième degré, conjugués à l'axe déterminé par la racine réelle de «, qui est donnée nécessairement par l'équation du troisième degré en a.

Enfin, on sait qu'en changeant l'origine des coordonnées, on peut faire disparoître les termes de première dimension par rapport aux variables; donc l'équation générale des surfaces du second degré qui ont un centre, sera réduite à la forme

Lx2+My+N — 1 = 0,

x,y,z étant des coordonnées rectangulaires.

QUESTION DE GÉOMÉTRIE;

H. C.

Par M. BADUEL, ancien Elève de l'Ecole Polytechnique, Ingénieur des Ponts et Chaussées.

Étant donné un triangle quelconque, a b c (fig. 2, pl. 1) déterminer quelle doit être l'inclinaison de son plan et la position de ses côtés, pour que sa projection sur un plan horizontal soit un triangle équilatéral?

Quel que soit le triangle donné (a), s'il n'est pas équilatéral il aura au moins un angle au-dessous de 60 degrés: soil a (fig. 2) cet angle. Je prends pour intersection du plau du triangle avec le plan de projection, la ligne y z (fig. 2.), et sur la partie m n de cette ligne, je décris un arc capable de l'angle a. Le sommet

de l'angle a rabattu, tombant sur la circonférence m, a a' n, ce même sommet projeté devra se trouver sur la circonfé rence man, dont l'arc m p n est capable de l'angle de 60 degrés.

Si le problême étoit résolu, et que, du sommet du triangle rabattu, on menât une ligne sur le milieu de sa base, cette ligne prolongée couperoit l'arc m n q au point q, qu'il est fort aisé de déterminer, puisque ce point, est le même pour toutes les positions du triangle: la projection de cette ligne dans le triangle équilatéral, seroit perpendiculaire sur le milieu de la base, partageroit l'angle de 60 degrés en deux parties égales, et passeroit, par conséquent, par le point p, milieu de l'arc mp n. La ligne et sa projection devroient se croiser sur la ligne y z.

Le problême se trouve donc réduit à celui-ci : trouver sur la ligne yz, un point x, tel que les lignes menées par les points q,p, après s'y être croisées, aboutissent aux circonférences d'où elles sont parties, en deux points qui soient sur une mème perpendiculaire à y z.

Ce nouveau problême a évidemment deux solutions. Je le suppose résolu (fig. 3): soient x et x', les deux points cherchés sur la ligne y ;qa' et pa" seront la ligne cherchée et sa projection, ainsi que qa' et pa. Les points p, q, a", a', sont sur une même circonférence, puisque les lignes q a', p a" se coupent en parties réciproquement proportionnelles : il en est de même des quatre points, p, q, a', a; les triangles p q`x', a' x a" sont semblables, ainsi que les triangles p q x', a x' a'. Toute circonférence p q ihfg, passant par les points p et q, coupera la ligne qa' ,pa", en deux points, i, qui seront sur une même perpendiculaire à y z, puisque le triangle xi h est semblable à xp q, et par conséquent à x a' a"; par la même raison, les points f, g, seront aussi sur une même perpendiculaire à y . La ligne k, qui joint les milieux des cordes parallèles hi, fg, leur sera perpendiculaire, sera parallèle à y z, et sera un diamètre du cercle.

?

Ce que je viens de dire de la circonférence f g p q hi, ayant lieu pour toute autre circonférence passant par les points P,q, il s'ensuit que celle qui passe par le point x, ne coupant tes lignes q a', pa" qu'au point commun x a un diamètre et par conséquent son centre sur la ligne yz, et passe aussi par le point '. Les points x, x' sont donc donnés par l'intersection de la ligne y, et de la circonférence qui, passant par les points p et 9, a son centre sur la ligne y z. Les cordes hi, fg sont égales, puisque l'angle 9 px=q x' x = q gi.

Le point x étant déterminé, on menera (fig. 2) les lignes qa' p a"; on construira le triangle a b c, en mettant le sommet au point a', et on projettera les points b', c' en b', c''; on trouvera l'inclinaison du plan par le moyen ordinaire.

Si le triangle donné avoit deux angles au-dessous de 60 degrés, quel que fût celui dont on se servit pour résoudre le problême, on obtiendroit le même triangle équilatéral, la même inclinaison du plan, et une position analogue des côtés; de sorte que les quatre solutions que paroît présenter ce problême, se réduisent reellement à une seule. Je les ai indiquées dans la fig. 3 (b) où la ligne a a est perpendiculaire à y z.

QUESTION de Minimis;

Par MM. BILLY et PUISSANT, Professeurs à l'Ecole Militaire de Saint-Cyr.

Deux points mobiles parcourent d'un mouvement uniforme les droites (fig. 4) MM', mm', données d'une manière quelconque dans l'espace; M et m sont les points de départ. Ils s'avancent vers X, et il s'agit de trouver la position des deux points sur les droites données, lorsque la distance de ces point est un

minimum.

Après avoir mené par un point quelconque G de la route M M', une droite GF parallèle à m m', telle que M G et G F soient dans le rapport des vitesses des points M et m, la perpendiculaire mRabaissée du point m sur MF prolongée, déterminent le point R, par lequel, si on mène la parallèle R M'àm m', et la parallèle M' m' à Rm, M'. m' est la distance demandée, et j', m', sont les positions des points mobiles Correspondans à cette distance.

La géométrie et l'analyse conduisent également à cette construction.

DES ÉPICYCLOÏDES SPHÉRIQU e s (Pl. 5) ;

Par M. HACHETTE.

M. Camus a donné, vers 1760, un Mémoire sur les engrenages, qui se trouve dans son Traité de Statique, à l'usage des ingénieurs. La première partie de ce Mémoire, traite des engrenages plans et cylindriques qui, en général, présen