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La condition est l'égalité de deux axes ; il suffit donc qu'on ait l'une des trois équations

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Cet S sont donnés par les deux équations (5) et ont pour valeurs

d

V do +40%-a):

2 (6-a)

V d +4(b-a) Les trois conditions deviennent par les substitutions , après avoir simplifié,

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4(0-6)(a−b) + da (cta-26)=0
4(0-a)(a-b) + dd (c+b-2 a) = 0
4(6-a)=3 d.

La question proposée est complètement résolue ; car , s'il n'y pas deux des coefficiens de xy, xz, yz, qui soient nuls, on pourra faire usage des équations (4), et si deux de ces coefficiens sont nuls, on se servira des équations (6). Dans le cas où les trois coefficiens sont nuls, d=0, et les trois équations précédentes se réduisent à

(c-b)(6-6)=0;((-a)(a-b)=0; (@-6)=0, ou à ces trois-ci

a=b;a=c;b=c, dont une suffit.

/

Note sur le développement des puissances des sinus et des

cosinus , en séries de sinus ou de cosinus d'arcs multiples.

Par M. POISSON.

On propose de développer cosm. I, en série de cosinus des multiples de l'arc x. Pour cela , soit .x + sin.x. V Fau,cos... -- sin I=v;

COS

nous aurons

2. cos.&=utiv; par conséquent

2m .cogm I=(ntvm,

' ou bien , en développant par la formule du binome,

m.m-I

21.cos.x=um tomum-7, uv +

-4.4?7*+&a

2

Mais on a

un cos.x +- sin; x = 1; et d'après la formule de Moivre, on a aussi , quel que

soit l'exposant m, Hm =(cos.x +sin.x.V .:+sin... VI)m

= =cos.mx +sin.mxV1 Substituant ces valeurs dans celle de 2m . cosm., il vient

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Ainsi la valeur complette de 2m.com.t se compose de deux séries dont la loi est évidente.

Au lieu de développer (u + v) suivant les puissances de v, on peut écrire

21n.com. 3 = (+i)m, et développer suivant les puissances de u. On a de cetto manière

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m.m-I 2m.cosmn. m.s=vm + mums.vut

2 donc, à cause de uv = I et de qm=(cos.x-sin.c.V -1) =cos.mx-sin.mx.it

.VI,

m

qui a lieu

pour tous les

exposans, on aura

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Cette seconde expression de 2m.cosm . x ne differe de la première que par le signe de VI.

Maintenant j'observe que si m est un nombre entier , positif ou négatif, la quantité 2m.com. x n'est susceptible que d'une seule valeur pour chaque valeur de x; ces deux expressions (1) et (2) doivent donc être équivalentes, et si on les ajoute, on aura le double de la valeur de 2n.cosm. *; ajoutant donc et divisant par 2, on aura simplement zm. cosm .x = cos . m x + m .cos. (m - 2)

(m-4)= (3)

m m - . I +

COS.

to &c.

Ce résultat est la formule connue, que l'on donne ordinairoment sans aucune restriction, et qui, cependant, ne convient en général qu'au cas de l'exposant entier. En effet, quand m est fractionnaire, la quantité qm.com.x a plusieurs valeurs pour chaque valeur de sc. Or, les expressions (1) et (2) correspondent à deux de ces valeurs qui diffèrent entr'elles par le signe de V -1, de sorte qu'en les ajoutant et divisant par 2, on retrouve la partie réelle, commune à ces deux valeurs , et non pas une valeur de 2m.com .x. Il en faut excepter les cas particuliers où la valeur de vo rend nul le coefficient del l dans les formules (1), (2); dans ces cas, les trois formules coïncident, et Ja formule (3) donne la valeur de 2m.cosm.. x; mais, dans tout autre cas, cette formule induira en erreur sur la vraie valeur de cette quantité. Supposons , par exemple, m=jet x = 200°; on aura. cos. 200° =-I, et 2m.com.x=V2V

et 2m.cosm.<= V2.V-I, quantité dont les trois valeurs sont

+

-Va, )

5(4+1=3),3(3). (

•) =cos.soc

Or, à cause de

cos.(m-21.) x= cos .

200°

3

21. 200°

3

シーンニューcos .

1

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.3

i désignant un nombre entier quelconque, la formule (3) donnera

1+ 3+ (-1)
200°
3

+ (5-1) (-1)+&c. la série comprise entre les parenthèses est le développement de (1+1)}; d'ailleurs cos.

100°

sin. 3

3 auroit donc pour résultat (1+1) 04 2

qui

200°

on

2

3

1

n'est point une de nos trois valeurs, mais bien la demi-sommo de deux d'entr'elles. La formule (3) peut donner la première de ces trois valeurs; mais il faut pour cela y faire = 3.200°. On a toujours cos.x=-1, et la formule (3) devient Va.v -Izcos.2000(1

-T=cos.2000(1+1+1}(-1)+&c:)=-vă Chacune des formules (1) et (2) donnera les trois valeurs de VV-I,

faisant successivement
x=200°, x= 3.200°, x=5.200°.

en y

n

n

ou

2P. COS. 3,

En général, si m est une fraction de la forme p

, les équa. tions (1) et (2) donneront les n valeurs de la quantité

p.com 2m.com. en y mettant successivement, à la place des x, les n quantités *, x + 400°, 3 + 2.400°, x + 3.400°,...$+(1-1). 400', pour lesquelles le premier membre reste toujours

2P . cos . x

La véritable expression de cosmxc étant connue, on en déduit. celle de sinon. , en y substituant 100o = 0, à la place de car on a

com. (100° — x) = sinm, . Or, i étant un nombre entier, on a cos. (m-21).(100°—*)=cos (m-ai). 100° .cos(m—21).

+sin (m—2i). 100° • sin (m-2i) %, sin.(m-21).(100°-x)=sin (m-21). 100° · cos(m~2i)

cos (m-21). 100° . sin (m-ai), cos.(m-2i). 100°==cos.m.100°, siu (M-21). 100°=sin.m. 100°;

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