les signes supérieurs ayant lieu, quand est pair, et les signes inférieurs, quand i est impair; par conséquent

Cos.(m-2i).(100°-x)cosm. 100°. cos. (m-2i) x +sin. m. 100°, sin. (m—2 i) x ],

sin. (m—2 į). (190-x)=sin. m. 100°. cos. (m—2 i)x Cos.m. 100°. sin. (m-2 i) x]:

au moyen de ces valeurs, l'équation (1) donne

formule qui convient à toutes les valeurs de m, entières ou fractionnaires. L'équation (2) en fourniroit une semblable, et qui ne différeroit de celle-ci que par le signe de V1. Lorsque m est entier, il est permis d'ajouter ces deux formules, ce qui donne le double de la quantité 2m.sin".z, débarrassée du radical —I; divisant cette somme par 2, on a

m

2.sin x cos.m.1000. cos.mx-m.cos.(m—2)x+

m.m-I

-.cos.(m—4)x—&c.

et l'on ne doit pas oublier que cette formule n'a lieu sans restriction, que pour les seules valeurs entières de m.

Si cet exposant est pair, on aura

sin. m. 1000,

et cos.m. 1001,

le signe + ayant lieu quand m est multiple de 4; et le signe quand il est simplement multiple de 2; donc alors la formule se

réduit à

Si, au contraire, mest impair, on aura

le signe

ayant lieu quand m est de la forme 4 n + 1, et le signe, quand il est de la forme 4 n 1; par conséquent la formule devient :

2m.siam

m.m-1

(sia.mx―m.sia. (m—2)x+

∙.sia, (m-4)x-&c.).J

Ces deux derniers résultats sont les formules connues qui donnent les puissances entières, paires ou impaires, des sinus, en séries de cosinus ou de sinus d'arcs multiples.

Sur les équations du quatrième degrẻ.

Par M. BRET, professeur de mathématiques transcendantes, au Lycée de Grenoble.

Je rappelle en peu de mots la méthode de la résolution des équations du quatrième degré, donnée par Lagrange aux leçons de l'Ecole Normale.

On a

x4+px2+9x+r=0.

On fait xy+z+= somme des premières puissances Sy. élevant au carré, on a

x2= la somme des carrés deux fois la somme des tectangles Sy' + Syz,

Je fais passer Sy dans le premier membre, et j'élève de nouveau l'équation au carré, on obtient

x4—2x* Sy2 +(Sya )2 = 4 Sy2 z2; +8 y z ł Sy;
+

donc x4—2x2Sy? — 8 y z ¢ x + (Sy2 )* − 4 S (ya z1) = 0.

Comparant cette équation avec la proposée, on a

p=—2Sy2, r= ( Sy2 )2 — 4 S(y2 z2), q=—8 yzt,

ou

,yzt=

9

par conséquent, l'équation du troisième degré qui détermine y, z,, est

u3 + 2 pu2 + ( p2 — 4 r. ) n — q3 =0,

et représentant par u', u', u'', les racines de cette équation, on obtient

d'où y', z===√u'', t ==;√w".

Or, les valeurs véritables de x, z, t, doivent satisfaire aut équations

p = 2 Sy2, r = Sy* — 4 S (y2 z1), q = — 8 y z tz 'donc on connoîtra les signes qui doivent affecter y, z, t, au moyen de l'équation q8yzt. On trouve

Vu' vull ✓ u!!! =

c'est-à-dire qu'il faut prendre le produitu" ✓u"" de signe contraire à q. Il se présente maintenant trois cas à dis cuter; la réduite peut avoir deux racines négatives et une positive, trois racines positives, une racine positive et deux ima ginaires. Dans le premier cas, soit 6, les deux racines négatives, et y la racine positive, on a

--

✓ a v¬B √rg = q, ou √ √ B √ r = q ; donc les racines de l'équation du quatrième degré sont

Les racines que l'on a données jusqu'à présent, sont

pour q négatif, les mêmes racines prises avec le signe

Donc ces formules sont en défaut dans toutes les équations du quatrième degré, dont les réduites auront deux racines négatives.

Des Nombres figures; par M. BARRUEL, bibliothécaire de l'Ecole Polytechnique.

Nous ne donnons ici la théorie de ces nombres, que pour faire voir que l'on peut trouver la loi de leur sommation d'une manière beaucoup plus abrégée qu'on ne le fait ordinairement; ensuite pour en montrer l'application à la loi des coefficiens du binôme, dont la démonstration devient par là plus simple, plus directe, et pour laquelle on n'a pas besoin de recourir aux combinaisons, qui n'y tiennent que d'une manière très-éloignée, et que d'ailleurs les commençans ont beaucoup de peine à bien concevoir. Nous verrons tout-à-l'heure que c'est dans l'observation seule de ce qui se passe en multipliant un binôme un certain nombre de fois par lui-même, que l'on doit chercher la démonstration de cette dernière loi.

Avant de passer aux nombres figurés, posons d'abord les remarques suivantes :

1ere remarque, Soit la suite 1×2, 2×3, 3×4, 4X5: pour en prendre la somme, on pourroit employer la méthode des coeffi ciens indéterminés; mais cela ne fourniroit qu'un résultat isolé, dont on ne pourroit tirer aucune conséquence pour prendre la somme d'autres suites semblables, qu'il faudroit chercher de la même manière. Pour sommer donc cette suite, nous allons employer une autre méthode qui lie ces diverses sommes entre elles, et qui en fasse découvrir la loi. En effet, observons que l'on a

Ainsi de suite. Donc, si le nombre des termes est n', le dernier terme sera n' (n+1), et par conséquent la somme S! donnera

S' = 'n' (n' + 1 ) ( n' + 2)

3

(M).