Correspokndance sur l'École impériale polytechnique, par m. Hachette

2° remarque. Soit la suite 1X2X3, 2X3X4, 3×4X5, 4X5X6: pour en prendre la somme, observons encore que l'on a

Ainsi de suite. Donc, si le nombre des termes est z", le dernier terme sera n" (n!! +1) (n"! +2), et par conséquent la somme S" donnera

S" =n"! (n" + 1 ) (π2" + 2)

(n" +3)

(N)

On trouvera de même que la somme S de la suite 1×2×3×4. 2X3X4X5, 3×4×5×6, etc., dont le nombre des termes est nꞌꞌ, donne

S'!! = n!!! (n'''+x) (n!!! +2) (n!"' +3) (~!"' +4). (0)

(n!!!
5

Ainsi de suite pour les valeurs de Siv, Sv, etc.

Cela posé, on sait que l'on appelle nombres figurés, des nombres qui se forment de la manière suivante. Soit la suite des unités :

I, I, 1, 1, 1,

que l'on nomme nombres constans. Si l'on prend successivement la somme de ces unités depuis la première jusqu'à chacune des autres, on aura la suite :

que l'on nomme nombres naturels. Si l'on prend de la même

manière la somme de ces derniers nombres, on formera la suite:

1, 3, 6, 10, 15,

(B)

que l'on nomme nombres triangulaires. Si l'on prend encore de la même manière la somme de ces derniers nombres, on formera la nouvelle suite :

1, 4, 10, 20, 35,

(C)

que l'on nomme nombres pyramidaux. Si l'on prend encore de même la somme de ces derniers nombres, on aura une autre suite :

1, 5, 15, 35, 70,

(D) avec laquelle on formera de même de nouveaux nombres, qui eux-mêmes donneront naissance à une nouvelle suite, etc. Voyons à présent comment on peut sommer toutes ces suites.

1o. On voit que, la suite (4) des nombres naturels formant une progression arithmétique, si l'on nomme z le nombre des termes, et S la somme, on a

2o. Comme les termes de la suite (B) des nombres triangulaires şe forment chacun en prenant la somme de progressions arithmétiques, dont le nombre des termes augmente successivement d'une unité, il est évident qu'en nommant S' la somme des termes, et en substituant successivement 3, 4, 5, à la place de z dans l'équation (P), il vient

2(2+1), 3(3+1)

·I (1+1) + 2(2+1)+ 3 (3+1)+4(4+1) +5 (5+1)

S' = {(1.2+2.3+3.4+4.5+5.6).

Donc, d'après l'équation (M), on a

S' = (5.6.3)

Donc, en appelant zꞌ le nombre des termes, il vient

3o. En nommant S la somme des termes de la suite (C)

des nombres pyramidaux, il n'est pas moins clair que si l'on substitue successivement 1, 2, 3, 4, 5, à la place de n' dans l'équation (Q), on aura

S' = 1 (1+1) (1

(I+2) 2.3

S"! = 1.3 (1.2.3 +2.3.4+3.4.5+4.5.6+5.6.7).

Donc, d'après l'équation (N), on a

Donc, en nommant n" le nombre des termes, il vient

4° En nommant S la somme des termes de la suite (D) qui vient après les nombres pyramidaux, il est encore évident que si l'on substitue successivement 1, 2, 3,4,5, à la place de n" dans l'équation (R), on aura

1(1+1)(1+2)(1+3), 2(2+1)(2+2)(2+3), 3(3+1)(3+2)(3+3)

S!!!

2.3.4

4(4+1)(4+2)(4+3), 5(5+1)(5+2)(5+3
2.3.4
2.3.4

-(1.2.3.4 +2.3.4.5+3.4.5.6+4.5.6.7+5.6.7.8).

2.3.4

Donc, en nommant n' le nombre des termes, il vient

ainsi de suite. D'où l'on voit que la loi que suivent les différentes valeurs de S, S', S!!, S!!!, etc., se manifeste assez clairement.

Application à la loi des coefficiens du binôme.

D'abord, on sait qu'après avoir multiplié le binôme x+a un certain nombre de fois par lui-même, pour en obtenir successivement les 2o, 3, 4, etc. puissances, et qu'après avoir réuni én un seul terme tous ceux qui contiennent la même puissance dez, on sait, dis-je, et d'ailleurs il est facile de remarquer :

1°. Que le premier terme d'une puissance donnée, quelle qu'elle soit, doit toujours être le premier terme x du binôme, élevé à cette même puissance;

2°. Que les exposans de a vont en diminuant d'une unité dans les termes suivans, et que ceux de a vont au contraire en augmentant d'une unité, à partir du second terme où il commence à entrer;

3°. Que le dernier terme de la puissance donnée doit toujours être le dernier terme a du binôme, élevé à cette même puissance; de sorte qu'en appelant A, B, C, D, E..... les coefficiens des autres termes, on a

(x+a)” = x2 + Aaxm—› + Ba2x2¬2 + Сa3μm−3 + Da1xm—4 ..... +a",

suite dans laquelle il ne s'agit que de déterminer les coefficiens A, B, C, D......, et de trouver la loi qu'ils suivent.

Pour cela, observons d'abord en général que, pour élever le binôme x+a à la puissance n+1, il faut multiplier (x+a)" parx+a; ce qui donne, en supposant les coefficiens P, Q, R...., déterminés,

(z+a)”±1 =x"±'+(P+1)ax”+{Q+P)a3x”—'+(R+Q)a3x”—»

On voit par là que telle est la loi que suivent les coefficiens de (x+an+1; que, pour avoir chacun d'eux, il faut ajouter le coefficient du terme correspondant dans la puissance, dont le degré a une unité de moins, avec le coefficient du terme pré

cédent. Donc, si l'on a les puissances successives du binôme x+a, telles que