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On est sûr qu'elles n'ont point alors de contact du troisième ordre , car on trouve, en différenciant r par rapport à %, et faisant x = 0, y = 6,2=c:

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On trouve à la suite d'un petit traité de trigonométrie sphé. rique que M. Hachette a donné dans le no. 8 du premier volume de cette Correspondance, la démonstration d'un théorème de M. Legendre , sur les triangles sphériques dont les trois côtés sont très-peu courbes , lequel est fort utile dans les opérations géodésiques. Je pense qu'il n'est pas moins intéressant de faire connoître le parti que l'on peut tirer de quelques formules de trigonométrie, pour résoudre un triangle sphérique, dont un côté seulement est très-petit, par rapport au rayon de la sphère; parce que c'est de la que dépend la déterinination des latitudes et longitudes des principaux lieux terrestres qui ont été liés entr'eux par une chaîne de triangles, et que l'on se propose de projeter sur une carte.

Par exemple , soient PM, P M (fig. 2), deux méridiens de la terre supposée sphérique, et P le pôle; L la latitude du point M; Il celle du point M'; P la différence de longitude de ces mêmes points, ou l'angle au pôle; enfin V, V les inclinaisons de la ligne géodésique M = 4 sur les méridiens respectifs PM, PM', ou ses azimuths. On demande de déterminer L', V', et P, lorsque L, V et P sont connus.

On voit évidemment qu'il s'agit de résoudre un trianglo sphérique dont on connoît deux côtés et l'angle compris, et c'est ce qui ne présente en général aucune difficulté. Mais comme un de ces côtés est supposé très-petit par rapport aux deux autres, la latitude L! et l'azimuth V! cherchés, different toujours très-peu

respectivement de la latitude L et de l'angle azimuthal V connus; et parce que les tables de logarithmes ne comportent qu'une exactitude limitée , il est plus convenable de calculer les valeurs de L' -L et de viņ, et de substituer à cet effet aux formules rigoureuses applicables au cas dont il s'agit, des formules approximatives qui soient moins dépendantes de l'erreur des tables : or, c'est à quoi l'on parvient par la voie des séries, ainsi que je vais le faire voir.

Il est démontré à la page 276 du premier volume de cette Correspondance , que dans un triangle sphérique AB (fig. 3), on a les relations suivantes :

cos a = cos bcos c + sin b sin c cos X
cot B sin C = cot b sin a cos a cos C
cot Csin B = cot c sin a cos a cos B;

mais ces deux dernières donnent

tang B =

sin C
cot b sin a-cos a cos C

sin B tang C = .

cot c sin a cos a cos B

et en adoptant la notation que présente la fig. 2,

l'on a (1) sin L' = sin L cos -cos V cos L sin o

sin V (2) tang y =

tang L sino + cos Te cos o

sin V sino (3)

Gos L COS Q + cos V sin L sin o

tang P

Proposons-nous d'abord d'ordonner le second membre de l'équation (1), par rapport aux puissances ascendantes de l'arc p: or, on a, comme l'on sait,

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et puisque q est très-petit par rapport au rayon de la sphère, on

peut ne prolonger le développement que jusques aux termer en p3 inclusivement; on a donc sur-le-champ (4) sin l'=sin L-Cos V cos L.4-sin L.4

+ cos V cos L.03. Un des moyens simples d'avoir la valeur de L' en série, procédant de même suivant les puissances de o, est de faire (5) L'=L+ Po + Q qs + R 93 +... P,Q,R, étant des coefficiens indéterminés, dont on obtiendra la valeur ainsi qu'il suit :

Prenant le sinus de chaque membre de cette dernière équation, et rejetant toujours les termes au-dessus de l'ordre , on

aura

sin L'=sin L cos (PQ+Qp** R 03)

to cos L sin(Potepot R98 ) ou en vertu des séries (m),

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et par conséquent

P3 (6) sin L'=sin L+cos L.Pp+cos L.Qp* +cos L.( R

6 -sin L. P'q— sin L. P Q p'. égalant cette valeur de sin l' à celle (4), on aura une équation identique de laquelle on déduira les valeurs des coefficiens P, Q, R, et l'on trouvera , après quelques réductions faciles,

P= cos V
Q=-3 tang I sinở
R=( + tang' L) cos V sin. Vi

1

donc la série (5) sera
U=L-V

o cos Vaqa sin: tang L

tq3 cos V sin: V.({ t tang' L ). Telle est celle qui, sur la sphère, donne la latitude du point M', connoissant la plus courte distance MM', ou Q, l'azimuth V compté du nord a l'est, et la latitude L du point M de départ.

Pour trouver la différence des azimuths VI,V, par un procédé analogue au précédent, on substituera dans la formule

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pour tang V. sa valeur (2), et l'on aura
tang (VN_V)=sin V cos V. (1-cos) - sin V tang L sin o

I-cos' V.(-coso) + cos V tang L sing et à cause des séries (m)

2

6

sin V cos V. 3-sin V tang L. tang (PI-P)=

I-cos: V.

tcos V tang L. 2

6

réduisant le second membre en série par la formule du binome,

on obtiendra après les réductions ng (V!_V=-psin V tang 2 + pisin V cos V ( + tang: L)

03 sin V cos. V tang LilI + tango Z)

+ +

sinP tangL;

mais en général

V-V = tang \V! -V) – tang' (VI-D)

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3

donc en faisant attention que sinV =sin V (1-Cos! V) V=V-o sin V tang 2 +6 sin V cos V. (It tang'L)

-e sin ( cos^ .(+; tang L)

+03 sin V tang L.(ö + itang'L), Cette formule fera donc connoitre l'azimuth VI.!

Il reste à obtenir la différence P de longitude : pour cet effet, l'on substituera dans l’équation (3) pour tang o sa valeur en série, et l'on aura d'abord

sin V tang
cos L + cos V sin L tango

tang P

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(

+

cos L

sin v sin V cos V tang'L

sin' V

Š cos L

cos: L mais sinV=SZV (1-cos: 7), et

I

: 1+tang cog3 L

cos L

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