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l'existence de quatre nouveaux Polyèdres réguliers , d angles saillans et rentrans; M. Cauchy a lu à l'Institut un Mémoire dans lequel il considère ces nouveaux Polyèdres comme ré. sultans du prolongement des faces des Polyèdres réguliers à angles saillans, et il démontre que leur nombre se réduit nécessairement à quatre; proposition que M. Poinsot avoit présentée comme difficile à approfondir.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIV E.

Problême. Etant donnés deux ellipsoïdes de révolution , dont les axes ne sont pas dans le même plan, déterminer leur courbe d'intersection, en n'employant que la ligne droite et le cercle.

Solution, par M. CHAPUY, élève.

Nous choisirons pour plans de projections un plan vertical parallèle aux deux axes , et un plan horizontal perpendiculaire à l'un de ces axes; fig. 1 a, 1b, pl. 2.

Cela posé, nous remarquerons que si l'un des ellipsoïdes est coupé par un plan donne perpendiculaire au plan vertical, il sera toujours possible de trouver un autre plan aussi perpendiculaire au plan vertical, tel que la section du premier soit projetée sur le second suivant un cercle: si donc on laisse indéterminée l'inclinaison du plan coupant avec l'axe de l’ellipsoïde , ainsi que celle du plan de projection correspondant, on pourra satisfaire à une condition de plus, savoir : que le premier plan coupe encore le second ellipsoide suivant une section qui se projette en un cercle sur le second plan.

Ces deux plans une fois obtenus, le problême n'offrira plus de difficultés ; nous allons donc nous occuper de leur recherche.

Soit d'abord AB, fig. 1a, pl. 2, la trace d'un plan quelconque perpendiculaire au plan vertical et passant par le centre a d'un des ellipsoïdes : la projection de l'intersection sera une ellipse dont les demi axes seront co et Ao; construisant donc le triangle rectangle AO E avec A E=co, la projection de do sur tout plan parallèle à celui représenté par la trace AE, sera AE=0C, et celle de la section sera un cercle.

Il ne s'agit plus maintenant que de trouver dans quel cas les deux triangles correspondans dans les deux ellipses génératrices ont leurs côtése parallelès , car les plans parallèles

donnant des sections semblables, ce que nous aurons trouve pour les sections passant par les centres, aura également lieu pour les sections parallèles.

Cela se réduit à une simple construction de géométrie plane.

Menons fiy. 2a, pl. 2, C'OD'parallèle à CD; sur C D'construisons une ellipse dont Osoit le centre, qui ait même petit axe que l'ellipse (E), et les axes proportionnels aux axes de l'ellipse E'. Soit E un point d'intersection des deux ellipses concentriques. Joignons E,O. Menons E'O' parallèle à EO, et construisons les deux triangles rectangles EOG, E'O'G', de la même manière que précédemment; nous aurons, en appelant B et B' les deux

demi-axes,

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donc EOG est semblable à E'O'G', et EG parallèle à E'G'; les directions EO, EG, sont par conséquent celles des plans coupans et projetans cherchés.

Le reste de la solution se fera maintenant avec beaucoup de facilité. MN, fig. 2 b, étant la trace du nouveau plan de projection, on aura A' B', C"D'' pour projections des axes, en remarquant qu'elles doivent être à une même distance de la trace que dans la projection primitive. Maintenant, pour un plan coupant quelconque , tel que HI, on aura en projection deux cercles qui se couperont en général suivant deux points qu'on remeltra en projection verticale sur HI, l'on aura aussi, si l'on veut, sur la première projection horizontale, en remarquant que pour cette projection, ainsi que pour la projection auxiliaire, les points correspondans sont à égales distances des traces. En continuant toujours de la même manière, on trouvera la courbe d'intersection cherchée.

On menera la tangente, à cette courbe comme dans le cas où les deux axes sont dans un même plan.

et que

M. Brianchon, officier d'artillerie , à M. Hachette.

Tolède, 8 avril 1810.

Le hasard m'ayant fait tomber entre les mains une édition latine de l'Almageste de Ptolémée (*), j'en ai extrait et traduit le

(*) Almagestum CI. Ptolemei. Venetiis, 1515, in-fol.

passage suivant, qui est relatif à la Théorie des Transversales, et qui même en contient le principe fondamental. Comme l'exposition savante de cette nouvelle branche de la géométrie vient de faire époque dans l'histoire des progrès de la science, qui, par là, s'est enrichie d'un nouvel élément ,j'ai pensé qu'il seroit curieux de montrer que les anciens Grecs ont connu les premiers linéamens de cette théorie, dont ils faisoient usage pour résoudre quelques problèmes astronomiques.

Almageste. Livre Jer, chap. 12.

PREMIER THÉORÊME. Fig. 3, pl. 2.

« Entre deux lignes droites AB et AG soient tirées deux autres » droites BE et GD qui se coupent mutuellement au point Z: » je dis que GE est à EA en raison composée du rapport de » GZ à Z D, et du rapport de DB à B A.»

Pour le démontrer, je mène par le point A la ligne Al parallèle à EB , et je prolonge ces deux lignes jusqu'à ce qu'elles se rencontrent en I.

Puisque les droites AI, EZ , sont équidistantes, GE est à E A comme GZ est à ZI.

Mais, en multipliant par ZD les deux derniers termes de cette proportion, on peut considérer le rapport des lignes GE, EA, conime se composant du produit des rapports GZ à ZD, et DZ à ZI.

Or, DZ est à ZI comme DB est à BA , par suite de ce que les droites AI et BZ sont parallèles.

Donc enfin GE est à EA en raison composée des rapports GZ à ZD, et DB à B 4. Ce qu'il falloit démontrer. Ce théorème peut se traduire par cette équation :

GZ X ZDX BA=EA X GZ X DB, laquelle fournit cet autre énoncé:

« Si dans le plan d'un triangle rectiligne quelconque, ADG, » on mène arbitrairement une droite indéfinie, BE, qui ren» contre tous les côtės, prolongés s'il le faut, cette transver» sale déterminera deux segmens sur chaque côté; et, des six » segmens résultans, le produit de trois d'entr'eilx , GE, ZD, » BA, est égal au produit des trois autrés, EA, GZ, DB , en

» les prenant de manière qu'il n'en entre pas deux dans un » méme produit, qui ayeni une extrémité commune. » [ Géométrie de position, de M. Carnot. ]

LEMME. Fig. 4 a, 4 b.

« Soient A, B, G, trois points pris à volonté sur la circonfé'» rence d'un cercle dont le centre est D: si l'on nomme E le » point de rencontre de la corde AG et du rayon DB , pro» longés s'il est nécessaire, on aura : AE est à EG comme la » soutendante du double de l'arc AB est à la soutendante du » double de l'arc BG. »

[La soutendante d'un arc étant donble dil sinus de la moitié de ce même arc, la proportion précédente peut s'écrire ainsi :

« AE : EG :: sin . AB:sin . BG.»]

DEUXIÈME THÉORÊME. Fig. 5.

« Soient décrits sur la surface d'une sphère quatre arcs de » grands cercles, AB,AG,BE,GD, dont les deux derniers se cou» pent mutuellement en Z, et sont compris entre les deux autres. » Je dis que la soutendante d'un arc double de GE est à la sou» tendante d'un arc double de EA, en raison composée du » rapport de la soutendante du double de GZ à la soutendante » du double de ZD, et du rapport de la soutendante du double » de DB à la soutendante du double de BA. »

En effet, nommons I le centre de la sphère, et de ce centre aux points de section de l'arc BZE menons I B, IZ et IE, puis tirons la droite AD qui concourt au point I avec IB ; de la même manière , conduisons les droites DG et AG qui coupent respectivement les lignes IZ , IE, aux points K et L..

Il suit de cette construction, que les trois points T, K, L, sont en ligne droite, puisqu'ils sont, d'une part, dans le plan de l'arc BZE, et, de l'autre, dans le plan du triangle rectiligne AGD.

Traçons donc la droite TKL, et considérons le système des quatre lignes TA,GA, TL, GD. Les deux dernières se croisent en K, et sont comprises entre les deux autres; ainsi, (1°F. théo

rême), le rapport de la droite GL à la droite LA est composé du produit du rapport de la droite GK à la droile KD par celui de la droite DT à la droite T A.

Or (d'après le lemme), GL est à LA comme la soutendante du double de l'arc GE est à la soutendante du double de l'arc EA.

De même, GK est à KD comme la soutendante du double de l'arg GZ est à la soulendante du double de ZD.

Et, enfin, DT est à TA comme la soutendante du double de l'arc BD est à la soutendante du double de BA.

Donc, la soutendante du double de l'arc GE est à la soutendante du double de EA, en raison composée'du rapport de la soutendante du double de GZ à la soutendante du double de ZD, et du rapport de la soutendante du double de DB à la soutendante du double de B A. Ce qu'il s'agissoit de démontrer.

En substituant dans cette proportion les sinus des arcs simples aux soutendantes des arcs doubles, et égalant le produit des termes extrêmes au produit des termes moyens, ono sin GE X sin ZD X sin BA = sin EA X sin GZ X sin DB, c'est-à-dire que :

« Si sur la surface d'une sphere on trace arbitrairement » quatre arcs de grands cercles (AD, AG, GD, BE), et » que l'on considère les trois premiers comme formant un » triangle sphérique ( A DG), dont tous les côtés, prolongés, » s'il le faut, sont coupés par le quatrième (BE), cet arc » transversal déterminera deux segmens sur chaque côté ; et, » des six segmens résultans, le produit des sinus de trois » d'entr'eux (GE, 2D,BA) est égal au produit des sinus » des trois autres (EA, GZ, DB), en les prenant de ma» nière que dans un même produit il n'entré pas deux sinus » qui appartiennent à des arcs qui aient une extrémité com» mune, » Géom. de position.

Du Parallelipipede, par M. HACHETTE. Fig. 1, pl. 3.

Soit (fig. 1) A B C D A! B'C'. D' un parallelipipède oblique, terminé par six-parallélogrammes obliques. Après avoir mené les diagonales de chaque parallelogramme, on a douze

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