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diagonales qui sont les arêtes de deux pyramides triangulaires symétriques, que M. Monge a nommées (page 441 du re". vol. de la Correspondance ) Pyramides conjuguées. Il y a une telle relation entre le parallelipipède et chacune de ces pyramides ; que l'un de ces solides étant donné, l'autre est déterminé. En effet des six arêtes d'une pyramide triangulaire, une quelconque est coupée par quatre autres qui lui sont adjacentes, et n'a aucun point de commun avec la sixième arête ; nommant , comme M. Monge, arêtes opposées d'une pyramide triangulaire, celles qui ne se coupent pas, et menant par deux arêtes opposées des plans parallèles, les trois couples d'arêtes opposées détermineront six plans qui comprendront entr'eux le parallelipipède circonscrit à l'une ou l'autre des pyramides conjuguées. Les six diagonales qui sont les arêtes d'une mêine pyramide conjuguée, concourent trois à trois au sommet d'un des angles solides du parallelipipède circonscrit. D'après cette définition, AB'CD et

A'BCD sont les deux pyramides conjuguées, inscrites au parallelipipède A BCD Å B'C' D'. Les sommets opposés de ces pyramides sont situés sur une même diagonale du parallélipipède, et sont marqués de la même lettre accentuée pour l'un, et sans accent pour l'autre; A et A, B et B', etc. , sont des sommets opposés. Les bases des deux pyramides qui correspondent aux soinmets opposés , tels que A et A! , sont deux triangles B'CD', BCD, situés dans des plans parallèles entr'eux; chacun de ces plans coupe les arêtes de la pyramide dont il ne coutient pas la base en parties égales : ainsi le plan de la base B'CD' de la pyramide A B'CD', divise les arêtes de la pyrainide A B C D en parties égales aux points G, H, L; de même le plan de la base BC' D de la pyramide A B C D divise les arêtes de la pyramide A B'CD' en parties égales aux points G', H', L'.

D'où il suit que les petites pyramides qui ont pour bases les triangles GHL et G''H' L', et pour sommets les points 4 et A, sont semblables aux pyramides entières A'BCD, AB'CD'; et le rapport de leurs volumes est évidemment celui de i å (2) ou de i å 8.

Pour déterminer le rapport des volumes des parallélipipèdes et des pyramides conjuguées , on remarquera que les bases B'CD', et BC'D de ces pyramides sont chacune divisées en quatre triangles égaux , qui sont pour l'une GHL, GLB', GHC, HLD'; et pour l'autre G'H'L', G'LB, G'H'C', 'L'D; d'ou il suit que la pyramide A! GHL est le quart de la pyramide A'B'CD ou CA'B'D'; or, cette dernière pyramide est le sixième du parallelipipède coinme ayant une hauteur

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égale et une base moitié; donc la pyramide A!GAL est la 24. partie du parallélipipède ; mais elle n'est que la 8o. partie de la pyramide conjuguée : donc le volume de la pyramide conjuguée est les il ou le tiers du parallélipipède.

L'une des pyramides conjuguées étant coupée par les quatre plans qui comprennent l'autre pyramide suivant quatre triangles, il s'ensuit que ces deux pyramides se pénètrent et se coupent suivant huit triangles, et que leur noyau commun est un octaèdre qui a pour faces ces triangles; en sorte que le système des deux pyramides conjuguées est composé de ce noyau et de huit petites pyramides qui ont pour bases les faces de l'octaèdre: or, on a vu que chacune de ces pyramides est la 24°. partie du parallélipipede, et que chaque pyramide conjuguée est le tiers du parallelipipède ; donc le noyau est le 6o. de ce parallélipipède. Les huit petites pyramides qui ont pour bases les faces de ce noyau valent les du parallelipipède; donc la partie de ce solide qui n'est pas remplie par le noyau et par les huit petites pyramides, est la moitié du parallelipipède. Cette partie 'est composée de douze pyramides équivalentes entr'elles, et de même volume que l'une quelconque des petites pyramides, ont pour bases les faces du noyau octaèdre. Chacune de ces douze pyramides a pour arêtes un côté d'une face du parallélipipède , et les deux demi-diagonales de cette face.

Ces pyramides correspondent aux arêtes du parallélipipède , dans l'ordre suivant :

qui

Pyramides correspondantes aux

Arêtes du parallélipipède.

arêles du parallélipipède.

A'B', A' C, A D
AB, A C', A D,
CA, C'B', C'D',
CA!, CB, CD,

ABG H, AC GH, A'D'HL;
ABG' L', A C'G'H', A D H L';
C'AG'H', C'B'L H', C'D'G'L;
CAGH, CBH L',CDGL.

SUR LA PYRAMIDE TRIANGULAIRE ;

Par M. MONGE. Fig. 2, pl. 3; Fig. 1, pl. 4.

Dans tout triangle rectiligne,
Le centre du cercle circonscrit,
Le centre de gravité,

Et le point d'intersection des perpendiculaires abaissées du sommet de chacun des angles sur le côté oppose,

Sont toujours en ligne droite ; et la distance des deux derniers de ces points est double de celle des deux premiers.

La proposition analogue a lieu pour la pyramide triangulaire; mais son énoncé n'est pas aussi simple.

Dans toute pyramide triangulaire, si par le milieu de chacune des six arêtes on mène

1°. Un plan qui soit perpendiculaire à cette arête, on aura six plans qui passeront par le centre de la sphère circonscrite;

20. Un plan qui passe par l'arête opposée (pag. 261), on aura six plans qui passeront par le centre de graviie;

'30. Un plan perpendiculaire à l'arête opposée, on aura six autres plans qui passeront par un certain même point; ce qu'il faudra démontrer.

Cela posé, les trois points, déterminés ainsi qu'on vient de le dire , sont toujours en ligne droite ; et le second est à égales distances des deux autres.

Démontrons d'abord que les plans menés par le milieu des arêtes perpendiculairement aux arêtes opposées, passent tous six par un même point.

Soit projetéela pyramide sur le plan de sa base A BC, fig. 2, pl.3, considéré comme horizontal; soit D la projection du sommet; les droites AD, BD,C D seront les projections des trois arêtes contiguës au sommet. Si l'on divise ces droites en parties égales aux points respectifs a, b, c, et si l'on joint leurs milieux par des droites, on aura le triangle abc, dont tous les côtés seront respectivement parallèles aux côtés de la base A B C. Cela posé, si par chacun des milieux a, b, c, des arêtes D A, DB, DC, on mène un plan perpendiculaire à l'arête opposée, qui est un des côtés de la base, ce plan sera vertical, et sa projection sera une droite perpendiculaire à ce côté ; donc les projections de ces trois plans seront les perpendiculaires abaissées des points

b , C, sur les côtés de la base ou sur les côtés du triangle abcior, ces perpendiculaires, se couperont toutes trois en un certain point M; donc les trois plans menés par les milieux des arêtes contiguës au sommet , perpendiculairement aux arêtes opposées, passent par la verticale élevée par le point M.

Actuellement concevons que la pyramide tourne autour d'un des côtés de sa base, par exemple autour de AC, jusqu'à ce que la face adjacente A C D s'applique à son tour sur le plan horizontal en ACD, et devienne une nouvelle base; dans ce mouvement, chaque point de la pyramide décrira un arc de cercle, dont le plan sera vertical et perpendiculaire à AC; donc, si l'on fait la projection de la pyramide considérée dans cette seconde position, le point D' de la nouvelle base sera dans la perpendiculaire abaissée du point D sur AC; et la projection B! du nouveau sommet sera dans la perpendiculaire abaissée du point B. Soient menées les projections A b', C B!'ęt D' B' des arêtes contiguës au nouveau sommet, et soient partagées les projections chacune en deux parties égales aux points respectifs e, f,b', il est clair que BD et B'D' seront les projections de la méme arête, et que leurs milieux b et b' seront les projections d'un même point; ainsi la droite b 6' sera perpendiculaire à la charnière A C.

Après avoir joint les trois points e, f , 6! pour former le triangle ef bl qui sera semblable à la seconde base ACD', et en raisonnant pour cette seconde projection comme nous avons fait pour la première, il est clair que les trois plans menés par les points e, f, 6! perpendiculairement aux arêtes opposées respectives, c'est-à-dire aux trois côtés de la seconde base, seront verticaux , et qu'on aura leurs projections en abaissant de chacun des sommets du triangle e f bune perpendiculaire sur le côté opposé. Or, ces trois perpendiculaires se coupent en un même point N; donc les trois plans verticaux passent tous par la verticale élevée au point N ; de plus, la droite bil élant perpendiculaire sur ac, le point N, ainsi que le point M se trouve sur cette droite ; donc les verticales élevées

par

les points M et N sont dans un même plan perpendiculaire à la charnière. Si donc on conçoit que la pyramide retourne à sa position primitive en tournant encore autour de la droite AC comme charnière , et en entraînant les trois plans que nous venons de mener, et la droite de leur intersection commune, cette dernière droite ne sortira pas du plan vertical perpendiculaire à la charnière ; elle ne cessera donc pas de couper la verticale fixe élevée au point M, et elle la coupera encore, lorsque la pyramide sera revenue à sa position primitive. Le point d'intersection de ces deux droites sera donc commun aux plans menés par

les milieux

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des cinq arêtes X D, BD, CD, À B, B C, perpendiculairement aux arêtes opposées respectives.

Jusques ici nous n'avons considéré que cing plans différens, parce que celui qui passe par le milieu de BD a été employé dans les deux positions différentes de la pyramide, tandis que celui qui passe par le milieu de la charnière AC n'a été employé ni dans l'une ni dans l'autre. Mais si l'on fait encore tourner la pyramide autour d'un autre côté de sa base, c'està-dire autour de A B ou de BC, de manière

que

les faces correspondantes ABD ou ACD deviennent une nouvelle base, et que l'arête AC devienne contiguë au nouveau sommet, on trouvera de même que les plans menés par les milieux des trois arêtes contiguës au nouveau sommet perpendiculairement aux opposées respectives, se coupent encore dans une droite perpendiculaire à la nouvelle base; et que lorsque la pyramide est revenue dans sa position primitive, cette droite d'intersection coupe de même la verticale élevée au point M dans un point qui est par conséquent commun à cinq de nos six plans, parmi lesquels se trouve celui qui passe par le milieu de la charnière AC; donc le point est commun aux six plans : ce qu'il falloit démontrer.

Maintenant il faut démontrer que le centre de gravité de la pyramide est au milieu de la droite qui joint le point que nous venons de construire, et le centre de la sphère circonscrite.

Soient, fig. 1, pl. 4. ABC la base, et D le sommet d'une pyramide triangulaire quelconque vue en perspective : par les milieux u,b,c, des trois arêtes conligües au sommet, concevons un plan; ce plan sera parallèle à la base, et coupera la pyramide dans un triangle abc, semblable à la base ABC, et orienté comme elle; mais chacun des côtés du triangle abc ne sera que la moitié du côté correspondant de la base.

Cela posé, par chacun des côtés de la base et par le milieu de l'arête opposée menons un plan : ce plan qui passera par le centre de gravité de la pyramide, coupera le plan du triangle abc en une droite parallèle au côté de la base par lequel il passe. Ces trois plans formeront une autre pyramide , qui aura même base

que la pyramide principale, et dont le sommet sera au centre de gravité. Les faces de cette nouvelle pyramide, prolongées jusqu'au plan du triangle abc, couperont ce plan dans les côtés d'un triangle A' B'C'. Chacun de ces côtés passera par le sommet d'un des angles du triangle abc, et sera parallèle à un des côtés de ce triangle. Donc le triangle A'B' C sera sem blable à abc , mais renversé par rapport à lui ; chacun des côtés de A' B'C' sera double du côté correspondant abe, et le sommet du triangle abc par lequel il passe , le partagera en deux parties

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