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égales. Donc le triangle A' B'C' sera égal et semblable à la base ABC, et renversé par rapport à elle; douc ces deux triangles sont des sections faites dans une même pyramide par des plans parallèles entr'eux et placés à égales distances de part et d'autre du sommet. Donc, enfin, les deux pyramides qui ont leur sommet commun au centre de gravité, et qui ont pour bases , l'une le triangle ABC, l'autre le triangle A' B'. C', sont opposées au sommet, semblables et parfaitement égales entre elles.

Actuellernent, si par chacun des points a, b, c, on mène un plan perpendiculaire à l'arête dont ce point est le milieu, on aura trois plans qui se couperont dans le centre de la sphère circonscrite, et qui formeront une pyramide qui sera placée d'une manière déterminée par rapport à la pyramide qui a son sommet au centre de gravité et dont la base est A'B'C'. De même,si par les milieux a',6',c' des trois côtés de la base ABC, on mène des plans perpendiculaires aux arêtes opposées, ces trois plans seront placés par rapport à la pyramide dont le sommet est au centre et dont la base est ABC, de la même manière que les trois plans qui donnent le centre de la sphère circonscrite, le sont par rapport à la pyramide opposée au sommet. Ces plans formeront donc une pyramide dont le sommet sera place dans la pyramide inférieure au centre de gravité, comme le centre de la sphère circonscrite est place dans celle qui est supérieure au centre de gravité. Donc les sommets de ces deux pyramides sont semblablement placés dans les pyramides opposées , et par conséquent sont sur une droite qui passe par le centre de gravité. Enfin, comme les pyramides opposées sont égales entr'elles, il s'ensuit

que les deux sommels sont à égales distances du centre de gravité. Mais le dernier sommet n'est autre chose que le troisième point dont il s'agit dans l'énoncé. Donc. ..., etc.

Tout ce qui précède peut être singulièrement réduit. Car si on mène les droites A'a', B'b', C'c', qui se rencontrent en un point D', on formera' la pyramide conjuguée (voyez page 441 , 1€. vol. de la Correspondance ) A'B'C'D', qui aura même centre de gravité que ABCD, et le troisième point que nous avons déterminé ne sera autre chose que le centre de la sphère circonscrite à la pyramide conjuguée. La proposition dont il s'agit se réduit donc à ceci. Etant donnée une pyramide triangulaire quelconque, si l'on considère en même temps la pyramide conjuguée qui aura nécessairement le même centre de gravité, les sphères circonscrites aux deux pyramides auront des rayons égaux, et leurs centres seront en ligne droite avec le centre de gravité, el à égales distances de part et d'autre.

PROPRIÉTÉS DES CENTRES DE GRAVITÉ.

Par M. BLONDAT, élève.

Soit a b c, fig. 2, pl. 4, un triangle situé d'une manière quelconque, par rapport à un plan a' b' d' d'... ou (x, y).

On sait que la perpendiculaire abaissée du centre de gravité de son aire est donnée par l'equation

aa' + b3 + cc

3 On sait aussi que le volume du prisme triangulaire abca' b'c! est donné par l'équation

aa' + bb' to cc

a' b'di

3 donc V = a' b'c'..p, en sorte que le volume du prisme abc a'b'd' est équivalent au produit de sa base par la perpendiculaire abaissée du centre de gravité de sa face supérieure.

Conclusions.

1°. Ce théorème est général et a lieu , quel que soit le polye gone supérieur, pourvu qu'il soit plan.

En effet, la perpendiculaire abaissée de son centre de gravité étant P, et pi p', p ... étant celles correspondantes aux triangles abc, acd, .... On a l'équation :

P (abc + acd t. .)=p. abc to placd+...... la multipliant par cos a, (a étant l'angle du plan du polygone supérieur avec le plan (36,y)], elle devient Psabc.cosa tacd.cosa t...)=p.abc.cosa + p'.aed.cosa t... ou en remplaçant abc . cos a par la projection all! d', etc, ilen résulte Pla' bl d'Halddat ... )=p.a'b'c! + p'a'd' d' to....

Or, p.al b'd est, d'après la remarque précédente, le volume du prisme abc a' b'c', ainsi des autres ; donc le volume du prisme total =P(a' b'c' d'e'...)= la base du prisme par la perpendiculaire abaissée du centre de gravité du polygone supérieur.

2°. Ce théorème ayant lieu, quel que soit le nombre des côtés du polygone, a encore lieu forsque ce polygone dégénère en courbe.

3o. Ces remarques ne fournissent, à la vérité, une expression du volume des cylindres , qu'autant que leur base est perpendiculaire à leurs arêtes ; mais on peut aussi en déduire une expression fort simple, lorsque cette base est inclinée d'une manière quelconque.

Je démontrerai d'abord que si l'on fait une suite de sections dans un cylindre , ces sections faisant entre elles des angles quelconques, leurs centres de gravité se trouvent sur une même ligne droite.

Fig. (15). Considérons un prisme quelconque (car il suffit de démontrer cette propriété pour les prismes).

Prenons pour plan(x, y) un plan qui lui soit perpendiculaire. Soit (a' b'd' de'.... ) sa section par ce plan; la distance du centre de gravité au plan (y, ) sera dounée par l'équation

(a' b'd') x! + alc' d'.." +
a' b'c',
+ acid

+.... La distance du centre de gravité de la section abcd e.... au même plan, sera donnée par

abc X + acd X" +
abc
tacd

X =

t... Or, a=X', car la distance des centres des triangles al blc, abc au plan des (y,z) est évidemment la même. On voit de même que

X!! X"...

de plus

cos a , abc = a!!! !

cos a .acd=a'c' di

a étant l'angle du plan du polygone supérieur avec le plan (x,y), donc

all!c! alcd

..! +
abc X'tacd X" to...
abc
t... a'b'c'

a'c'di
+

t...

oc" to...

COS a

COS at

+ acd

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COS a

Donc les distances des centres de gravité des deux sections au plan (y, z) sont égales ; donc ces centres se trouvent dans un même plan parallèle au plan (4,2). On démontreroit de la même manière qu'ils sont aussi dans un même plan parallèle au plan des ( 36, 3).

Ces deux centres se trouvent donc dans une même ligne parallèle à l'axe des z.

Revenous maintenant à nos cylindres.

Soient A et B les deux sections d'un cylindre, ou autrement ses deux faces; soit C la section par un plan perpendiculaire à ses arêtes.

On voit bien évidemment, d'après ce que j'ai démontré, que la ligne qui joint le centre de gravité A, et celui de B, étant représentée par l., l'expression du volume du cylindre sera

v=l.c, oul.A . cosa , ou=l.B.cosh, puisque C=A cos a = B. cos b, a et b étant les angles du plan de Ä et de B avec celui de C.

4°. Soient PCQ, PBQ, fig. 3, pl.4, deux courbes égales, dont les centres de gravité soient Bl et c', et dont les plans qui se coupent suivant PQ, forment un angle BAC = 4

Le volume compris entre ces faces, et la surface cylindrique PBCQ, engendrée par une ligne de direction perpendiculaire à PQ, qui glisseroit sur les deux courbes, sera

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ou en faisant Ad=r, PBQ=S, V = Sir. sin a.

50. Maintenant considérons la surface dont les sections, par une suite de plans parallèles, présentent des polygones réguliers semblables , ayant leurs côtés parallèles et leurs centres sur une même droite perpendiculaire aux plans sécans; les surfaces de révolution en sont des cas particuliers. Leur volume se composant d'un nombre de solides semblables à ceux que nous venons d'examiner (4°), égal au nombre des côtés du polygone, on a

V=mor.sip «.S, (m étant le nombre des côtés du polygone,) ou puisque m= 26 étant la circonférence dont le

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sin a

6'. Si la surface est de révolution, le nombre des côtés est infini; l'angle a est égal à zéro, et la formule V=2.7.r.S. devient

V2.6.rs; ce qui démontre le théorême de Guldin d'une manière directe.

7°. Si le plan d'une courbe se meut normalement à une courbe quelconque, le volume engendré par l'aire de cette courbe a pour expression

v=dis, (A étant l'aire de la courbe mobile, S étant la courbe décrite par le centre de gravité de cette aire).

Èn effet, le volume compris entre deux positions voisines de l'aire de la courbe mobile peut être considéré comme celui d'un cylindre dont les arêtes sont perpendiculaires au plan de cette

aire,

La somme des élémens successifs du volume, ou le volume lui-même , est donc

A(1+1+2+.. ), 1 étant la ligne qui joint les centres de gravité de deux positions voisines de l'aire mobile; t étant Or 1 toll +211 to forment la courbe décrite par le centre de gravité; donc, etc.

Ce théorême comprend aussi les surfaces de révolution, puisqu'elles sont engendrées par une courbe dont le plan se meut normalement à un cercle.

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