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a étant l'angle du plan du polygone supérieur avec le plan (x,y), donc

a'b'c! a'c'd
abc X'tacd X"' to...
abc
to... a'b'c'

a'c'di
+

+...

ox't

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COS a

COS a

+ acd

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COS a

Donc les distances des centres de gravité des deux sections au plan (y, z) sont égales ; donc ces centres se trouvent dans un même plan parallèle au plan (y,z). On démontreroit de la même manière qu'ils sont aussi dans un même plan parallèle au plan des ( 3€, z).

Ces deux centres se trouvent donc dans une même ligne parallèle à l'axe des z.

Revenons maintenant à nos cylindres.

Soient A et B les deux sections d'un cylindre, ou autrement ses deux faces; soit C la section par un plan perpendiculaire à ses arêtes.

On voit bien évidemment, d'après ce que j'ai démontré, que la ligne qui joint le centre de gravité A, et celui de B, étant représentée par l., l'expression du volume du cylindre sera

V=2.C, ou l.A . cosa, ou=1.B.cosh, puisque C=A cos a=B.cos.b, a et b étant les angles du plan de À et de B avec celui de C.

4°. Soient PCQ, PBQ, fig.3, pl.4, deux courbes égales , dont les centres de gravité soient B' et c', et dont les plans qui se coupent suivant PQ, forment un angle BAC =

Le volume compris entre ces faces, et la surface cylindrique PBCQ, engendrée par une ligne de direction perpendi. culaire à PQ, qui glisseroit sur les deux courbes , sera

V=PBQ.cos

puisque B' C A étant un triangle isocèle,

cos () - B'C=PbQcos ().2c.sin(s)

.sin().

BI CE2.A C. sin

ou en faisant AC=T, PBQ=S, V=Sir. sin a.

5o. Maintenant considérons la surface dont les sections, par une suite de plans parallèles, présentent des polygones réguliers semblables , ayant leurs côtés parallèles et leurs centres sur une même droite perpendiculaire aux plans sécans; les surfaces de révolution en sont des cas particuliers. Leur volume se composant d'un nombre de solides semblables à ceux que nous venons d'examiner (4°), égal au nombre des côtés du polygone, on a

V=mor.sip «.S, (m étant le nombre des côtés du polygone,) ou puisque 2 q étant la circonférence dont le

27

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sin a

6. Si la surface est de révolution, le nombre des côtés est infini; l'angles est égal à zére, et la formule V=2.7.r.S. devient

V2.5.1.S; ce qui démontre le théorême de Guldin d'une manière directe.

7°. Si le plan d'une courbe se meut normalement à une courbe quelconque, le volume engendré par l'aire de cette courbe a pour expression

V=A.S (A étant l'aire de la courbe mobile, S étant la courbe décrite par le centre de gravité de cette aire).

Èn effet, le volume compris entre deux positions voisines de l'aire de la courbe mobile peut être considéré comme celui d'un cylindre dont les arêtes sont perpendiculaires au plan de cette , aire.

La somme des élémens successifs du volume, ou le volume lui-même, est donc

A(1+1+2+. ), i étant la ligne qui joint les centres de gravité de deux positions voisines de l'aire mobile;

u étant Or 1 to 11 + 211 to forment la courbe décrite par le centre de gravité; donc, etc.

Ce théorème comprend aussi les surfaces de révolution, puisqu'elles sont engendrées par une courbe dont le plan se meut normalement à un cercle.

PROBLÊMES DE GÉOMÉTRIE (*).

1o. Mener un cercle tangent à trois cercles donnés ?

2°. Par un point donné dans le plan d'un parallelogramme, mener avec la règle un parallèle à une droite située dans co plan?

Le premier problême peut se ramener à celui-ci : Mener par un point un cercle tangent à deux cercles donnés, en dimi. nuant ou augmentant le rayon du cercle cherché du

rayon

du plus petit des trois cercles, suivant qu'il doit toucher ce dernier cercle extérieurement ou intérieurement, ce qui revient à augmenter ou diminuer également les rayons des deux autres cercles d'après la nature de leur point de contact.

Je vais d'abord démontrer la proposition suivante sur laquelle se fonde la solution du problême dont il est question : Si par le point o, fig. 4, pl. 4, où secoupent les tangentes extérieures communes aux cercles Xet Y, et par le point # où doit passer le cercle tangent à ces deux cercles, on mène une droite 40, que l'on fasse passer ensuite par le point o une sécante quelconque Or, qui vient couper

les cercles X et Y intérieurement en T et T'; qu'enfin par ces deux points T et Tl et par le point A on fasse passer un cercle, cette circonférence de cercle coupera A Q en un point B qui sera le même, quelle que soit la sécante OT,

En effet, OB et O T étant les sécantes d'un même cercle ABT,

on a :

AO X OB=QT X OT'. Mais si l'on mène une nouvelle sécante O't, on a aussi ( voyez la page 20 du 1er vol. de la Correspondance),

OTXOTE OLX OL; donc 40 X OB = 0+XON

(1). Il est évident, d'après cette dernière équation (1), que les quatre points T, T', A et B sont placés sur une même circonférence de cercle.

(*) Les solutions des deux problê mes suivans m'ont été communiquées par M. Ponçelet, admis cette année dans le génie militaire.

H. C.

sur

Il est démontré aussi dans l'article cité, que tout cercle tangent aux cercles X et Y, a ses deux points de contact placés

une droite qui passe par le point 0, dans les deux cas où il laisse entièrement hors de sa circonférence, ou qu'il renferme à-la-fois les deux cercles X et Y. Il suit de là et de ce que j'ai démontré plus haut, que le cercle tangent aux cercles * et Y, et qui passe par le point A, passe aussi par le point B. Ainsi le problême dont il s'agit se trouve ramené à celui-ci : Par deux points A et B, mener un cercle qui touche le cercle X ou Y.

Comme ce dernier problême est susceptible de deux solutions, il est bon de faire voir que celle qui correspond au cas où le cercle est touché extérieurement, appartient aussi au cercle qui, passant par le point A , toucheroit extérieurement les cercles X et Y.

Pour le démontrer, il suffit de faire voir que tout cercle passant par le point A et par deux points p et p', où uno sécante quelconque Ot vient couper extérieurement les cercles X et Y, passera aussi par le même point B; car alors le cercle qui passe par le point A , et qui touche extérieurement les cercles X et , ayant ses points de contact dans la direction du point 0, passera évidemment par les points A et B. Or, on voit sans peine (*) que OT XOT= Op X Op'; donc, d'après l'équation (1),

Op X Op = AO X OB. Cette équation prouve que les points A, B, p,p', sont placés sur la même circonférence de cercle.

Voici maintenant comment on achevera la solution du problême : Ayant tracé le cercle A T T!, ainsi que je l'ai dit, on menera la corde 1 T qui coupera A 0 en un point P. Par ce paint on menera les tangentes Pm, Pm', au cercle X; et les points m et m' de contact seront les points de tangence des cercles cherchés, dont l'un touche intérieurement, et l'autre extérieurement, le cercle X. En effet, on a

Pm = PI X PT;

PIX PT = PB X PA; donc

Pm PB X PA. Cette dernière équation prouve évidemment que le cercle qui

or

(*) Il suffit de comparer chacun des produits OTXOT', Op X Op', au produit qu'on obtiendroit pour la tangente commune aux cerclés X et Y.

passeroit par les trois points A, B et m, seroit touché par la droite Pin en m. On conclut aussi de la même équation , P m' étant égal à Pm, que le cercle A B m', touche le cercle X en m!

En considérant le point 0', où se croisent les tangentes intérieures, communes aux cercles X et Y, on obtiendroit, par une construction semblable, deux autres solutions du problème de mener par un point un cercle tangent à deux cercles donnés. On peut voir facilement, en examinant les différentes circonstances du contact, que ce dernier problême est susceptible de quatre solutions, et que par conséquent il se trouve entièrement résolu par ce que j'ai dit.

Voici une proposition analogue à celle que j'ai démontrée précédemment, et qui donne une solution simple du probleme de mener une sphère tangente à quatre sphères données.

Si par la droite qui joint les sommets des trois cônes circonscrits deux à deux à trois sphères, et par un point donné on mène un plan P; qu'ensuite par la mémne droite on mène un plan qui coupe les sphères ; que par le cercle tangent aux cercles d'intersection et par le point donné, on fasse passer la surface d'une sphère, cette surface coupera le plan P suivant un cercle qui restera le même, quelle que soit la section qu'on ait faite dans les sphères. On voit aisément que la sphère qui passe par le point donné , et qui est tangente aux trois sphères dont il s'agit, devra passer aussi par ce cercle; car ceite sphère doit avoir ses points de contact placés sur un plan qui passe par la droite qui joint les trois sommets des cônes. Solution du second probléme (voyez no. 8 du 1er volume

de la Correspondince, pag. 305.)

« Par un point A, fig. 5, pl. 5, donné dans le plan d'un pa-, rallelogramme BCDE, mener avec la règle une parallèle à la droite MN située dans ce plan. »

Prolongez les côtés BE et D E jusqu'à leur rencontre avec M N ; par ces points de rencontre et par un point quelconque

K de la diagonale EC, menez les droites Get KH qui viennent couper les deux autres côtés du parallelogramme respectivement en G et en H; menez la droite GH qui sera parallèle à M N.On achevera ensuite la solution, d'après ce qui a été dit dans le no. 8 du premier volume de la Correspondance où il s'agissoit de mener par un point donné une droite qui allât concourir avec deux droites données, sans employer le compas;

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