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PROBLEMES DE GÉOMÉTRIE (*).

jo. Mener un cercle tangent à trois cercles donnés ?

2°. Par un point donné dans le plan d'un parallelogramme, mener avec la règle un parallèle à une droite située dans ce plan?

Le premier problême peut se ramener à celui-ci : Mener par un point un cercle tangent à deux cercles donnés, en dimi. nuant ou augmentant le rayon

du cercle cherché du

rayon

du plus petit des trois cercles, suivant qu'il doit toucher ce dernier cercle extérieurement ou intérieurement, ce qui revient à augmenter ou diminuer également les rayons des deux autres cercles d'après la nature de leur point de contact..

Je vais d'abord démontrer la proposition suivante sur laquelle se fonde la solution du problême dont il est question : Si par le point 0, fig. 4, pl. 4, où secoupent les tangentes extérieures communes aux cercles Xet Y, et par le point A où doit passer le cercle tangentà ces deux cercles, on mène une droite 40, que l'on fasse passer ensuite par le point o une sécante quelconque OT, qui vient couper les cercles X et Y intérieurement en T et T"; qu'enfin par ces deux points T et Tl et par le point A on fasse passer un cercle, cette circonférence de cercle coupera A O en un point B qui sera le même, quelle que soit la sécante OT

En effet, OB et OT étant les sécantes d'un même cercle ABT,

on a :

AO XOB=OTXOT'. Mais si l'on mène une nouvelle sécante Ot', on a aussi ( voyez la page 20 du 1 er vol. de la Correspondance),

OTXOT= OtX Oti donc

AO X OB OXO Il est évident, d'après cette dernière équation (1), que les quatre points T, T', A et B sont placés sur une même circonférence de cercle.

(*) Les solutions des deux problèmes suivans m'ont été communiquées par M. Ponçelet, admis cette année dans le génie militaire.

H. C.

sur

Il est démontré aussi dans l'article cité, que tout cercle tangent aux cercles X et Y, a ses deux points de contact placés

une droite qui passe par le point 0, dans les deux cas où il laisse entièrement hors de sa circonférence, ou qu'il renferme à-la-fois les deux cercles X et Y. Il suit de là et de ce que j'ai démontré plus haut, que le cercle tangent aux cercles et Y, et qui passe par le point A, passe aussi par le point B. Ainsi le problême dont il s'agit se trouve ramené à celui-ci : Par deux points A et B, mener un cercle qui touche le cercle X ou Y.

Comme ce dernier problême est susceptible de deux solutions, il est bon de faire voir que celle qui correspond au cas où le cercle est touché extérieurement, appartient aussi au cercle qui, passant par le point A, toucheroit extérieurement les cercles X et Y.

Pour le démontrer, il suffit de faire voir que tout cercle passant par le point A et par deux points p et p', où uno sécante quelconque Ot vient couper extérieurement les cercles X et Y, passera aussi par le même point B; car alors le cercle qui passe par le point A , et qui touche extérieurement les cercles X et Ý, ayant ses points de contact dans la direction du point 0, passera évidemment par les points A et B. Or, on voit sans peine (*) que OT XOT= Op X Op'; donc, d'après l'équation (1),

Op X Op' = AOX OB. Cette équation prouve que les points A, B, p,p', sont placés sur la même circonférence de cercle.

Voici maintenant comment on achevera la solution du problême : Ayant tracé le cercle ATT', ainsi que je l'ai dit, on menera la corde l T qui coupera A ( en un point P. Par ce point on menera les tangentes Pm, Pm', au cercle X; et les points m et mde contact seront les points de tangence des cercles cherchés, dont l'un touche intérieurement, et l'autre extérieurement, le cercle X. En effet, on a

Pm' =PLX PT;

PlX PT = PB X PA; donc

Pm' = PB X PA. Cette dernière équation prouve évidemment que le cercle qui

or

(*) Il suffit de comparer chacun des produits OTXOT', Op X Op!, au produit qu'on obtiendroit pour la tangente commune aux cercles X et Y.

passeroit par les trois points A , B et m , seroit touché par la droite Pin en m. On conclut aussi de la même équation , P m' étant égal à Pm, que le cercle A B m', touche le cercle X en m!

En considérant le point o', où se croisent les tangentes intérieures, communes aux cercles X et Y, on obtiendroit, par une construction semblable, deux autres solutions du probleme de mener par un point un cercle tangent à deux cercles donnés. On peut voir facilement, en examinant les différentes circonstances du contact, que ce dernier problême est susceptible de quatre solutions, et que par conséquent il se trouve entièrement résolu par ce que j'ai dit.

Voici une proposition analogue à celle que j'ai démontrée précédemment, et qui donne une solution simple du probleme de mener une sphère tangente à quatre sphères données. .

Si par la droite qui joint les sommets des trois cônes circonscrits deux à deux à trois sphères, et par un point donné on mène un plan P; qu'ensuite par la méme droite on mène un plan qui coupe les sphères ; que par le cercle tangent aux cercles d'intersection et par le point donné, on fasse passer la surface d'une sphère, cette surface coupera le plan P suivant un cercle qui restera le même, quelle que soit la section qu'on ait faite dans les sphères. On voit aisément que la sphère qui passe par le point donné , et qui est tangente aux trois sphères dont il s'agit , devra passer aussi par ce cercle; car ceite sphère doit avoir ses points de contact placés sur un plan qui passe par la droite qui joint les trois sommets des cônes.

Solution du second probléme (voyez no. 8 du ser volume

de la Correspondance, pag. 305.)

« Par un point d, fig. 5, pl. 5, donné dans le plan d'un parallelogramme BCDE, mener avec la règle une parallèle à la droite MN située dans ce plan. >>

Prolongez les côtés B E et D E jusqu'à leur rencontre avec M N ; par ces points de rencontre et par un point quelconque K de la diagonale EC, menez les droites K G et KH qui viennent couper les deux autres côtés du parallelogramme respectivement en G et en H; menez la droite GH qui sera parallèle à M N On achevera ensuite la solution, d'après ce qui a été dit dans le no. 8 du premier volume de la Correspondance où il s'agissoit de mener par un point donné une droite qui allai concourir avec deux droites données, sans employer le compas;

car la solution convient aussi au cas où les deux droites sont parallèles, comme le sont les droites MN et G H.

Ii resteroit à démontrer ce qui est supposé dans cette solution , savoir, que GH est parallèle à MN. Pour cela j'observe que le triangle MEK étant semblable au triangle CKH, et le triangle EKI au triangle CKG, on a la proportion

G C:CH::EI:ME.

De plus, les angles MEI, GCH, sont égaux; donc les triangles MEI et GCH sont semblables, comme ayant un angle égal compris entre des côtés proportionnels, et la droite GH est parallèle à MN.

C. Q. F. D.

Sur le point brillant d'une surfæce de révolution.

M. Delavenne (élève admis cette année dans l'artillerie) m'a remis une note sur la détermination du point brillant d'une surface de révolution. Il propose une modification à la solution que j'ai donnée page 303 du 1er volume de la Correspondance. Il suppose qu'on ait construit sur la surface de révolution la ligne qui est le lieu des pieds des perpendiculaires à cette surface, abaissées de tous les points de la droite qui joint le point lumineux et l'oeil du spectateur. Les rayons de lumière réfléchis de tous les points de cette ligne courbe étant projetés sur un des plans de projection, M. Delavenne construit une courbe tangente à ces rayons de lumière projetés; et, par la projection de l'ail sur le même plan, il mène une tangente à cette dernière courbe: cette tangente prolongée coupe la ligne des pieds des normales en un point qui est le point brillant demandé.

Quoique cette construction ne soit pas rigoureuse , puisqu'il faut mener une tangente à une courbe du genre des caustiques par un point donné hors de cette courbe , en faisant tourner une règle autour de ce point jusqu'à ce qu'elle touche la courbe; cependant elle est suffisante pour la pratique, parce qu'elle donne la position de la tangente et le point où cette tangente coupe une courbe connue, sans qu'on soit obligé de considérer le point où elle touche la caustique des rayons réfléchis.

Dans une seconde note, M. Delavenne détermine par une autre considération le point brillant d'une surface de révolution, dans l'hypothèse d'un point lumineux. Il conçoit par le point brillant la normale à la surface, et les rayons incident, réfléchi, qui correspondent à ce point; il considère ensuite le triangle formé par la portion de normale comprise entre la surface et l'axe de révolution, par le rayon réfléchi et par une parallèle au rayon incident mené par le point où la normale rencontre l'axe de révolution. Ce triangle est isocèle, puisque les rayons incident et réfléchi font avec la normale des angles égaux. Dans tout autre plan normal à la surface, la portion de normale comprise entre la surface et l'axe de révolution, la droite menée vers l'oeil par le point où la normale coupe la surface, la parallèle au rayon lumineux qui tombe en ce même point, forment un triangle qui n'est pas isocèle. Donc, si l'on porte le côté de ce triangle, qui est sur la parallèle au rayon incident, sur la direction du rayon réfléchi , on obtiendra sur ce rayon

le point d'une courbe , dont l'intersection avec une autre ligne déjà connue ( le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées sur la surface de révolution par la droite qui joint le point lumineux et l'oeil) détermine le point brillant de la surface de révolution,

H. C..

MÉCANIQUE Un ancien Elève, Directeur des Douanes à Fuligno, département de Trasimene (M. Dubois-Aymé), se promenoit sur le bord de la mer; il aperçut à quelque distance une personne de sa connoissance, et se mit à courir pour l'atteindre; son chien qui s'étoit écarté, courut vers lui en décrivant une courbe dont Pempreinte resta sur le sable. M. Dubois revenant sur ses pas, fut frappé de la régularité de cette courbe, et il en chercha l'équation, en supposant 1o. que le chien se dirigeoit toujours vers le lieu que le maître venoit de quitter; 2°. que le maître parcouroit une ligne droite; 3o. que les vitesses du maître et du chien étoient uniformes.

Prenant pour axe des y le chemin du maître, et pour axe des a la perpendiculaire abaissée du point de départ du chien sur l'axe des y, on trouve pour l'équation de la courbe,

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tang (p)a

nti dans laquelle n est le rapport des vitesses du chien et de son

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