pourvu qu'on joigne aux solutions déterminées par la suite du calcul celles des deux dernières équations (*).

Supposons, en deuxième lieu, que D soit un facteur en étranger au premier terme du dividende, et qui ne soit pas commun à tous les termes du diviseur : la division deviendra possible en termes entiers, en multipliant A par D. Mais alors aux équations A=0, Bo, l'on substitue A Do, B≈0. Or, celles-ci sont satisfaites non seulement par les solutions de

D'où l'on voit que la suite du calcul doit donner de trop les solutions des deux dernières équations; donc il faudra les supprimer.

Enfin, il pourroit arriver que parmi les facteurs du premier terme du diviseur qui empêchent la division de réussir, les uns fussent communs à tous les termes du diviseur, et que les autres ne le fussent point. Soit D le produit des premiers, et D' celui des seconds, il ne suffira pas, pour rendre la division possible, de supprimer D dans B; mais il faudra encore multiplier A par D'. La première opération supprime dans le calcul toutes les solutions de A≈o, D≈0; donc il faudra les rétablir: au contraire, la deuxième introduit celles de D'o, Bo; donc il faudra les supprimer.

=

Concluons à présent qu'une marche tout-à-fait semblable à celle qui fait trouver le plus grand commun diviseur de deux polynomes, conduira enfin à deux restes, dont le dernier ne contiendra que y. Soient Z' et Z ces deux restes, les équations

donneront les solutions des proposées, abstraction faite de celles que l'on a introduites ou supprimées.

Pour déterminer ces dernières, nommons S, S', etc., les facteurs en y, supprimés pour rendre les divisions possibles sur les dividendes respectifs U, U, etc.; nommons I, I', etc., les facteurs que l'on a introduits pour rendre possibles les divi

(*) Il est bon de remarquer, en général, que si B peut se décomposer en facteurs B, B', etc., l'on pourra ramener la résolution de A0,B=0, à celle des systêmes d'équation A — •, B' = 0 ; A =0, B1=o; etc.

sions par les diviseurs V, V, etc. Il faut joindre aux solutions de Z'o, Zo, celles des systêmes d'équations

U=0, S=0; U'o, S'o; etc.;

et parmi toutes ces solutions réunies, supprimer celles des systêmes suivans:

V=0,I= 0; Vo, I'=o; etc.

Ce qui précède réduit toute la difficulté à la résolution de deux équations, dont la première est à une seule inconnue. Soient donc

M=0, N=0

deux semblables équations, M ne contenant que y. Pour les résoudre, il suffit de déduire de la première toutes les valeurs qu'elle donne pour y, et de les substituer dans la deuxième, qui fait alors connoître les valeurs de x correspondantes.

Si une de ces valeurs de y rendoit N égale à une quantité donnée, elle devroit être rejetée. Il est même facile de séparer de Mo cette sorte de racines, sans résoudre aucune équation. Nous ne nous y arrêtons pas.

Nous terminerons par faire remarquer que s'il étoit intéressant d'obtenir l'équation finale, c'est-à-dire celle qui contient toutes les valeurs de y, habiles à former des solutions aux équations proposées A0, Bo, et qui n'en contient pas d'autres, l'opération n'auroit aucune difficulté: il suffit, pour y parvenir, d'effectuer des multiplications et des divisions.

Nous ne présentons pas de remarques sur le sujet que nous venons de traiter; celles qui méritent quelqu'attention s'offriront d'elles-mêmes.

CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES DE PARIS.

On a proposé au dernier concours (de l'an 1810) les deux questions suivantes :

Mathématiques. L'hyperbole dont l'équation est

étant supposé faire une révolution autour de l'axe des x, trouver,

1o. L'équation de la surface du solide engendré par cette révolution;

2. Par un point quelconque pris sur cette surface et déterminé par les trois coordonnées f, g, h (dont deux f, g, sont dirigées suivant les axes des x et y de l'hyperbole génératrice, et la troisième, est perpendiculaire à leur plan), faire passer une ligne droite qui soit située toute entière sur cette surface.

Pour satisfaire à la seconde partie, il faudra prouver qu'en effet une ligne droite peut être menée par le point donné, de manière que tous ses points se trouvent sur la surface de l'hyperboloïde dont il s'agit, et donner en même-temps les deux équations de cette droite.

(Voyez l'article hyperboloide de révolution, page 242 du Ir volume de la Correspondance).

Physique. Expliquer le phénomène produit par l'instrument électrique, appelé Bouteille de Leyde. On fera voir comment s'exercent les actions électriques qui conduisent la bouteille par degrés jusqu'au terme où elle est chargée à saturation.

On supposera que la décharge s'opère soit par des contacts alternatifs, soit d'une manière subite, et l'on exposera les effets qui ont lieu dans l'un et l'autre cas.

MM. Larabie et Lacave, élèves du Lycée Napoléon, tous deux admis cette année à l'Ecole Polytechnique, ont obtenu l'un le prix de mathématiques, et l'autre le prix de physique.

SCIENCES

S. II.

PHYSIQUES.

De la double Réfraction de la Lumière, par M. HACHETTE.

La connoissance du phénomène de la double réfraction est due à Erasme Bartholin, Danois, auteur d'un Traité sur le Cristal d'Islande, imprimé à Copenhague en 1670. Huygens a, le premier, découvert la loi que suit la lumière en se réfractant dans ce cristal; l'hypothèse qui l'a conduit à cette découverte, l'accord parfait des principaux phénomènes de la double réfraction avec cette hypothèse, sont l'objet d'un Traité sur la Lumière, écrit en françois, et publié à La Haye en 1690.

En 1809, M. Laplace a fait voir (*) que la loi de la réfraction découverte par Huygens étoit une conséquence du principe de moindre action. Ce principe, appliqué au mouvement de la lumière, se réduit à ce que la lumière parvient d'un point pris au-dehors d'un cristal, à un point pris dans l'intérieur de ce même cristal, par une route telle, que si on ajoute le produit de la droite que la lumière décrit au-dehors par sa vitesse primitive, par le produit de la droite qu'elle décrit au-dedans par sa vitesse correspondante, la somme soit un minimum ; d'où il conclut que la réfraction ordinaire et la réfraction extraordinaire de la lumière dans le cristal d'Islande sont dues à des forces de même genre, attractives et répulsives, et dont l'action n'est sensible qu'à des distances insensibles.

De la Réfraction d'un rayon de lumière dans le cristal d'Islande.

Le cristal d'Islande est de forme rhomboïde. Chaque face est un rhombe dont l'angle obtus est de 101° 55' (division en 360°). Deux des angles trièdes du rhomboïde sont composés des angles obtus de trois rhombes égaux, qui se réunissent aux sommets de ces angles. La droite qui joint ces deux sommets, est l'axe du cristal. On nomme section principale d'une face quelconque naturelle ou artificielle du cristal, la section faite dans ce cristal par un plan mené perpendiculairement à la face et parallèlement à l'axe du cristal.

Lorsqu'un rayon de lumière tombe sous un angle quelconque sur une face plane naturelle ou artificielle d'un cristal d'Islande, il se décompose en deux rayons réfractés; le premier de ces rayons est dans le plan incident, c'est-à-dire dans le plan mené par le rayon incident perpendiculairement à la face; le rapport du sinus d'incidence au sinus de réfraction est constant pour ce rayon, qu'on nomme par cette raison rayon ordinaire; ce rapport est, d'après les expériences, 1, 656.

Pour déterminer la position du second rayon, ou du rayon extraordinaire, que l'on se représente un ellipsoïde de révolution, qui a son centre au point d'incidence du rayon de lumière direct, et dont l'axe de révolution est parallèle à l'axe du cristal; le rayon extraordinaire se dirige nécessairement suivant un diamètre de l'ellipsoïde, donc, si par ce diamètre

(*) Voyez le nouveau Bulletin de la Société Philomatique, pag. 303 du 1. volume.

et par l'axe de révolution, petit axe de l'ellipsoïde, on imagine l'ellipse génératrice, la direction du rayon extraordinaire se confond avec l'un des diamètres de cette ellipse. Nommant a et b les demi-axes de l'ellipsoide ou de l'ellipse génératrice, on démontre dans tous les traités de géométrie analytique, que V étant l'angle d'un diamètre de l'ellipse génératrice, avec le petit axe 2 b, on a pour l'expression d'un diamètre

Va2 — (a2

a b

M. Laplace a prouvé par le principe de la moindre action, que la vitesse du rayon direct dans le vide étant l'unité, on pouvoit prendre pour la vitesse du rayon extraordinaire suivant un diamètre de l'ellipsoïde, une quantité égale à l'unité divisée par ce diamètre ; cette expression de la vitesse du rayon extraordinaire, qui s'accorde avec la loi d'Huygens, devient

d'où il suit: 1°. que, lorsque le rayon extraordinaire se réfractera dans le sens de l'axe du cristal, sa vitesse sera

1

puisque, dans

ce cas, sin = 0; 2°. lorsque le rayon extraordinaire se réfractera perpendiculairement à l'axe du cristal, sa vitesse sera , puisqu'alors sin V1.

I

I

Lorsque la face d'incidence est perpendiculaire à l'axe du cristal, et que le rayon direct est parallèle à cet axe, les rayons ordinaire et extraordinaire qui résultent de la double réfraction se confondent; ils sont tous deux dirigés suivant une parallèle à l'axe du cristal; mais dans ce cas la vitesse du rayon extraordinaire est, donc la vitesse du rayon ordinaire est la même ; d'où il suit que best le rapport de la vitesse 1 du rayon direct dans le vide à la vitesse b rayon ordinaire dans le cristal; donc best, ainsi qu'Huygens l'avoit déjà remarqué, le rapport des sinus d'incidence et de réfraction du rayon ordinaire; rapport qu'on a trouvé par expérience de 1,656.

1

du

I

La droite suivant laquelle la double réfraction se réduit à une réfraction simple, est une ligne très-remarquable dans les substances du genre du cristal d'Islande; on la nomme Axe de réfraction. Il paroît qu'en général cet axe est placé symétriquement par rapport aux faces des cristaux de forme primitive.