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Sur la projection stéréographique; solution d'un problême de trigonométrie sphérique; par M. HACHETTE.

Sur la transformation des coordonnées obliques en d'autres coordonnées obliques; par M. HACHETTE.

Sur les Polyèdres; par M. CAUCHY.

Sur la courbe d'intersection de deux ellipsoïdes de révolution, tracée par la ligne droite et le cercle; par M. CHAPUY, élève. Extrait de l'Almageste de Ptolémée; par M. BRIANCHON, ancien élève de l'Ecole Polytechnique, officier d'artillerie. Sur le parallelipipède et la pyramide triangulaire ; par M. MONGE. Propriétés des centres de gravité; par M. BLONDat, élève. Solutions de plusieurs problêmes de géométrie; par MM. PONCELET et DELAVENNE, élèves admis cette année à l'école de l'artillerie et du génie.

Solution d'un problême de mécanique; par M. DUBOIS AYMÉ, ancien élève de l'Ecole Polytechnique, Directeur des Douanes. Algébre. Résolution de deux équations à deux inconnues; par M. LEFÉBURE, répétiteur adjoint à l'Ecole Polytechnique.

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Questions proposées au concours général des Lycées de Paris, de l'an 1810.

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De la double réfraction de la lumière; de sa polarisation. - Sur l'évaporation de l'eau dans le vide; par M. HACHEtte. Sur le nautile marîn.

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Liste des Elèves admis, en 1810, à l'Ecole Polytechnique. Le nombre total des Elèves admis à l'Ecole depuis son établissement est de 2473.

S. V.

Actes du Gouvernement relatifs aux services publics.

SUK

L'ÉCOLE IMPÉRIALE POLYTECHNIQUE;

Rédigée par M. HACHETTE.

N°. 4. Juillet 1812. (II. Volume.) (*).

S. I.

Des Surfaces du second degré.

M. MONGE à M. HACHETTE ( 22 mars 1812 ).

Vous aviez proposé aux élèves de l'Ecole Polytechnique de trouver les relations qui doivent exister entre les coefficiens de l'équation générale des surfaces du second degré, pour que la surface soit de révolution : trois élèves, MM. Urban, Merle et Mondot, ont très-bien résolu la question; et en publiant leurs solutions, vous avez prouvé les progrès qu'ils avoient faits dans la géométrie et l'analyse. Mais je suis surpris de ce que, pour la question dont il s'agit, les élèves de l'Ecole Polytechnique, qui connoissent si bien l'équation des surfaces de révolution, n'ont pas fait usage de cette équation générale, qui semble n'avoir pas d'autre destination, et qui les auroit dispensés de toute considération géométrique nouvelle. Je vis le faire.

I. Je suppose, comme M. Mondot, que la surface soit rapportée à son centre comme origine, et que son équation soit

Ax2+By+Cz2+2(Dyz + Ezx+Fxy)=H.

Si cette surface est de révolution, son axe de révolution doit

(*) Il y a une erreur de pagination dans le troisième cahier qui précèdé celui-ci. La première page de ce cahier est cotéo 187 : elle devoit être marquée du nombre 137.

C

passer par le centre, et les équations de cet axe sont de la forme

y = nz

dans lesquelles les constantes m n, sont encore indéterminées. Or, les élèves savent que l'équation aux différences partielles de la surface de révolution autour de cet axe est

p(nz—y) ~ q ( m z − x) + nx — my = 0;

il faut donc que cette équation soit satisfaite par celle de la surface du second degré.

Si l'on différencie aux différences partielles l'équation de la surface du second degré, pour avoir les valeurs de p et de 9,

on a

Ax+Fy+ Ez+p {Ex+Dy+Cz}=0,
Fx+By+Dz+q{Ex+Dy+Cz}=o;

et si l'on substitue pour p et q ces valeurs dans l'équation des surfaces de révolution, on obtient

—(nz—y) (Ax+Fy+Ez)+(mz−x) { Fx+By+Dz} +(nx—my {Ex+Dy+Cz } =

qui, ordonnée par rapport aux trois coordonnées x, y, z, devient

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Cette équation appartient à une troisième surface qui passe par la courbe de contact de la surface de révolution et de celle du second degré. Mais il faut que ces deux dernières surfaces se touchent par-tout, et par conséquent se confondent ; donc la

dernière équation doit avoir lieu pour toutes les valeurs de x, y, z, c'est-à-dire indépendamment de ces valeurs; donc il faut que les six coefficiens soient chacun égal à zéro, ou que l'on ait en même temps les six équations

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Mais, de ces six équations, les deux premières comportent la troisième, et servent à déterminer les valeurs de m et n, qui sont

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et par conséquent à déterminer la direction de l'axe de révolution; de plus, si l'on met pour m et n leurs valeurs dans les trois dernières, elles deviennent

(A−B) DE + F ( D1 — E1 ) = 0

( C − 1) F D + E ( F1 — D2 ) =0

(B-C) E F + D ( E1 — F1)=0

dont deux quelconques comportent encore la troisième.

Donc, la surface du second degre sera de révolution, lorsque deux quelconques des trois dernières équations seront satisfaites; et les équations de l'axe de révolution seront

DxFz, Ey=Fz

ce qui est conforme aux résultats donnés par MM. Urban Merle et Mondot.

II. On peut employer de la même manière l'équation aux différences partielles de toute autre surface générale; je vais en donner quelques exemples.

Posons qu'il s'agisse de trouver la relation qui doit exister entre les coefficiens de l'équation de la surface du second

degré, pour que cette surface soit cylindrique. On sait que si les équations de la droite menée par l'origine, et à laquelle la génératrice de la surface est constamment parallèle, sont

> r = nz

l'équation générale des surfaces cylindriques est

mp+nq=1.

Si l'on substitue pour p et q les valeurs que donne l'équation des surfaces du second degré, et que nous avons données dans l'article précédent, on a

m{Ax+Fy+Ez}+n{Fx+By+Dz}+Ex+Dy+Cz=o qui, ordonnée par rapport aux coordonnées x, y, z, devient z{1m+Fn+E}+y{Fm+Bn+D} +z {Em+Dn+C}=

=0

Cette équation doit être satisfaite, indépendamment des valeurs de x, y, z; on aura donc les trois équations

AmFn+E=0

Fm+Bn+D=0

Em+Dn+Cao

(

dont deux quelconques, par exemple les deux premières, détermiueront les valeurs suivantes de m et n,

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n (AB — F1 ) + A D−EF=0.

et qui, par l'élimination de met n, donneront l'équation

A D2 + B E 2 + CF2 = ABC+2 DE F

qui doit avoir lieu entre les coefficiens.

Ainsi, la surface du second degré sera cylindrique, lorsque les coefficiens de l'équation génerale satisferont à l'équation précédente; et alors la direction de la droite génératrice d cylindre sera déterminée par les valeurs de m et n

III. S'il s'agit de trouver la relation qui doit exister entre nofficions de la surface du second degré pour que cette

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