face soit conique, on remarquera d'abord que le centre, c'està-dire le sommet, de la surface conique sera placé à l'origine. Or, l'équation des surfaces coniques, dont le sommet est à l'origine, est

Substituant donc pour p et q leurs valeurs prises dans l'équation de la surface du second degré, on aura z{1x+Fy+Ez}+y{Fx+By+Dz}+z{Ex+Dy+Cz}=a

qui, ordonnée par rapport aux coordonnées, devient

A x2 + By 3 + C z + + 2 { D y z + Ez x + F xy} =0

et qui doit être satisfaite. Mais cette équation n'est autre chose que le premier membre de l'équation des surfaces du second degré, et ne peut subsister à moins que le second membre soit aussi égal à zéro. Donc la surface du second degré sera conique, lorsque son dernier terme sera nul, c'est-à-dire lorsqu'on aura Ho. Ce que l'on savoit déjà.

IV. Pour terminer, je vais chercher les relations qui doivent exister entre les coefficiens de la surface du second degré, pour que cette surface soit développable.

On sait que l'équation générale des surfaces développables est

il faut donc différencier partiellement les valeurs de p et q qui appartiennent à la surface du second degré, pour avoir celles der,s,t. Cette différenciation donne

F÷Eq+Dp+Cpq+s{Ex + Dy + Cz}=

+r{Ex+ Dy + Cz} = o

{4+aEp+Cp•} {B+2Dq+Cq•}—{F+Eq+Dp+Cpq}*=•

qui, ordonnée par rapport aux deux variables p, q, devient

p3(BC—D1)+q1(CA—E2 )+A B — F

+2{pq(DE—CF)+p(BE~DF)+q(AD—EF)}{

leurs valeurs en x, y

Substituant enfin pour p et 9, nous avons données, art. I, on a

(M)

{A x + Fy + Ez } 1 (B C —D3)) + {Fx+By+D z} '(CA — E') + {Ex+Dy + Cz}'(AB — F2)

, que

+2{Ax+Fy+Ez} {Fx+By+Dz} (DE—CF) + 2 { E x + Dy + Cz} {Ax+Fy+Ez} (DF—BE) +2{Fx+By+Dz} {Ex+Dy+Cz} (EF—AD)}

équation qui doit être satisfaite, quelles que soient les valeurs x,y,z, pour que la surface du second degré soit développable: or, si l'on développe cette équation, on reconnoît facilement qu'elle est composée des deux facteurs

A x2+By2+Cz2 + 2 (Dyz+Ez x + F xy)=0

AD+BE+CF ABC-2 DEF

--

qui peuvent avoir lieu indépendamment l'un de l'autre ; de plus, le premier de ces facteurs est le premier membre de l'équation des surfaces du second degré, et se réduit à Ho, donc la surface du second degré sera développable dans les deux cas suivans, 1°. Lorsqu'on aura

2o. Lorsqu'on aura

H=0,

A D2 + B E2 + Ç F2 — A B C — 2 D E F = 0 ce qui reproduit le cas des surfaces cylindriques et celui des surfaces coniques, que nous avons traites, art. II et III.

Enfin la surface du second degré sera encore développable lorsque l'équation (M) sera satisfaite, indépendamment des valeurs de x, y, z, ce qui aura lieu lorsqu'on aura les six équations suivantes,

BC Do, CA E o, AB - F2 = 0,

DE-CF=0, EF-AD≈0, FD-BE=0.

Or, il est facile de voir que si les trois équations de la première ligne ont lieu, celles de la seconde ligne s'ensuivent nécessairement; donc la surface du second degré sera encore développable, lorsqu'on aura les trois équations

et alors son équation deviendra

{x VI+yVB+zVC}'=H,

qui appartient au systême de deux plans parallèles entr'eux ; ce qui est un cas très-particulier des surfaces cylindriques.

Des Propriétés générales des Surfaces du second degré.

M. Monge doit publier, dans le prochain cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique, un mémoire sur quelques propriétés générales des surfaces du second degré; nous allons en extraire les principaux résultats, sans en rapporter les démonstrations.

I. Lorsque deux surfaces quelconques du second degré sont concentriques, il y a toujours dans chacune d'elles trois diamètres conjugués, dont les directions sont les mêmes que celles de trois diamètres conjugués considérés dans l'autre ; en sorte que, si l'on circonscrit à chacune de ces surfaces le paralléTipipède formé sur les trois diamètres conjugués dont il s'agit, ces deux parallelipipèdes, qui ne seront point semblables entre eux, seront néanmoins tels, que toutes les faces de l'un seront respectivement parallèles aux faces de l'autre.

On peut donner le nom de droites diametrales conjuguées communes, aux trois directions communes de ces six diamètres considérés deux à deux.

II. Si l'on rapporte les deux surfaces concentriques à leurs trois droites diametrales conjuguées communes par des coordonnées qui soient respectivement parallèles à ces droites, leurs équations seront symétriques, et de la forme

▲ x2 + B y2 + C 22 = 1 pour l'une,

et 'x' + B'y' + C'z' 1 pour l'autre.

Par conséquent l'intersection des deux surfaces sera toujours comprise en même temps sur les surfaces de trois cylindres qui auront pour bases des sections coniques, et qui seront parallèles aux trois droites diamétrales conjuguées communes : en sorte que les deux surfaces du second degré et les trois surfaces cylin

driques se couperont toutes cinq dans la même intersection

commune.

Cela fournit une construction des trois droites diamétrales conjuguées communes, qui deviennent les trois axes rectangulaires de l'une des deux surfaces, lorsque l'autre est celle d'une sphère.

III. Les trois droites diamétrales conjuguées communes ne jouissent pas toutes trois des mêmes proprietés. Pour deux de ces droites, si les diamètres des deux surfaces qui se trouvent sur l'une d'elles sont égaux entr'eux, les surfaces se touchent dans deux points diamétralement opposés, et n'ont pas d'autres points communs : pour la troisième, si les diamètres des deux surfaces sont égaux entr'eux, non-seulement les surfaces se touchent en deux points diametralement opposés; mais encore elles se coupent dans le systême de deux courbes planes pour lesquelles les deux points de contact des surfaces sont deux points d'inter

section.

Cela oblige à distinguer les trois droites diametrales conju guées communes en deux extrêmes et une moyenne.

IV. Dans le cas général, c'est-à-dire lorsque les deux surfaces quelconques du second degré ne sont pas concentriques, et quelque part que soient places leurs centres, il y a toujours dans chacune d'elles trois diamètres conjugués, qui sont respectivement parallèles à trois diamètres conjugués considérés dans l'autre. Les deux surfaces n'en ont pas moins trois droites diamé trales conjuguées communes; mais ces trois droites ne contiennent plus effectivement, comme dans le premier cas, les deux diamètres conjugués respectifs : elles leur sont simplement parallèles.

En sorte que, si l'on rapporte les deux surfaces à ces trois droites diametrales par des coordonnées qui soient respectivement parallèles à ces droites, et en nommant a, b ,c, les trois nistances des deux centres mesurées dans les sens des coordondées, les équations des deux surfaces seront

Ax+By+C2 = i

pour celle dont le centre est placé à l'origine,

et '(x—a)' + B' (y—b) ' + C' (z —c)' =& pour l'autre.

De ces trois droites diamétrales conjuguées communes, deux sont extrêmes, tandis que l'autre est moyenne.

V. Lorsque deux surfaces quelconques se touchent en deux points, la corde commune qui passe par les deux points de contact est toujours parallèle à l'une des trois droites diamétrales conjuguées communes cette droite diamétrale est une des extrêmes, si les deux surfaces n'ont d'autres points communs que leurs deux points de contact; elle est, au contraire, la droite diametrale moyenne, si les deux surfaces se coupent en même, temps qu'elles se touchent, et alors l'intersection est composée du systême de deux courbes planes pour lesquelles les deux points de contact des surfaces sont deux points d'intersection.

Dans les deux cas, le plan mené par les centres des deux surfaces et par le milieu de la corde commune est le plan diamétral commun, opposé à la corde commune : et de plus, les deux plans tangens communs aux deux surfaces et menés par les deux points de contact se coupent dans une droite qui est comprise dans ce plan diametral.

VI. Deux surfaces quelconques du second degré étant données, si 1o. leurs centres sont placés sur une même droite diamétrale conjuguée commune extrême; et si 2°. les sections faites dans les deux surfaces par le plan diamétral opposé à cette droite diamétrale commune, sont semblables entr'elles et semblablement placées, l'intersection des deux surfaces est composée du systême de deux courbes planes du second degré, semblables entr'elles, semblablement placées, et dont les deux plans sont parallèles au plan diametral, et par conséquent parallèles entre eux. La distance de ces deux plans dépend alors de celle des deux centres et du rapport commun qui existe entre les dimensions homologues des sections semblables faites par le plan diamétral.

Si, de plus, le rapport entre les dimensions homologues des sections semblables est tel, que la distance de ces deux plans soit nulle, les deux surfaces sont circonscrites l'une à l'autre, c'està-dire qu'elles se touchent dans une courbe. Cette courbe est toujours plane, et son plan est parallèle au plan diamétral opposé à la droite diametrale menée par les deux centres.

Deux surfaces du second degré ne peuvent être circonscrites l'une à l'autre, à moins que ces conditions soient toutes trois satisfaites.

VII. Lorsque deux surfaces quelconques du second degré sont circonscrites à une même troisième surface du second degré, elles se coupent toujours dans le systême de deux courbes planes du second degré.

Les plans de ces deux courbes se coupent toujours dans la même droite que les plans des courbes de contact des deux sur