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faces avec la troisième, et cette droite est parallèle à la droite diametrale conjuguée moyenne commune aux deux surfaces.

Les deux courbes planes de l'intersection et les deux courbes planes de contact des deux surfaces avec la troisième passent toutes quatre par deux mêmes points qui sont en même temps deux points de contact communs aux trois surfaces.

Enfin, en regardant le systême de deux plans comme une surface du second degré, les cinq surfaces du second degré suivantes, savoir,

1

Les deux surfaces circonscrites à la même troisième,

Le systême des deux plans de leurs courbes de contact avec la troisième,

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Le systême des deux plans de leur intersection mutuelle,

Et le systême des deux plans tangens communs aux trois surfaces, ont toutes les mêmes droites diametrales conjuguées communes; et la moyenne de ces droites diametrales est celle qui est parallèle à la droite menée par les deux points de contact

communs.

VIII. Lorsque deux surfaces quelconques du second degré se coupent dans le systême de deux courbes planes, ces deux courbes se trouvent toujours en même temps sur deux surfaces coniques du second degré, et sont par conséquent les intersections mutuelles de quatre surfaces du second degré.

Ces quatre surfaces, et le systême des deux plans de leur intersection commune, ont les mêmes droites diametrales conjuguées communes; la moyenne de ces droites diamètrales est parallèle à la droite dans laquelle se coupent les deux plans de l'intersection; et le plan diametral opposé à cette droite contient les sommets des deux surfaces coniques.

IX. Etant données une surface quelconque du second degré et une droite placée d'une manière quelconque par rapport à elle : si par la droite on fait passer tant de plans qu'on voudra, et dont chacun coupe la surface suivant une courbe; et si pour chaque plan on conçoit la surface conique circonscrite à la surface donnée, et qui la touche dans la section faite par le plan, on aura autant de surfaces coniques différentes, circonscrites a la même surface du second degré, qu'on aura de plans. Cela posé,

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1. Les sommets de toutes les surfaces coniques circonscrites seront dans une même seconde ligne droite;

2o. Chaque surface conique coupera chacune des autres dans le systême de deux courbes planes;

3o. Les plans des intersections mutuelles des surfaces coniques passeront tous par la droite donnée;

4°. La surface donnée, toutes les surfaces coniques circons crites, et tous les systêmes de plans qui renferment les intersections des surfaces coniques, considérées deux à deux, auront les mêmes droites diametrales conjuguées communes. La droite donnée sera parallèle à la droite diametrale moyenne, et la droite qui passe par les sommets des surfaces coniques sera parallèle à une des droites diamétrales extrêmes.

Les deux droites que nous avons considérées dans cet article jouissent, l'une par rapport à l'autre, de propriétés qui sont réciproques; c'est-à-dire que tout ce que nous avons dit de la seconde par rapport à la première, doit être dit réciproquement de la première par rapport à la seconde; excepté que si l'une d'elles coupe la surface, l'autre ne la coupe pas.

Enfin, si par le centre de la surface on mène la droite qui coupe en même temps les deux droites que nous venons de considérer chacune en un point, cette troisième droite coupera la surface en un troisième point. Cela posé, les distances de ces trois points au centre de la surface sont en proportion géométrique continue, et c'est la distance du point de la surface qui est la moyenne.

THEOREME

Sur les Surfaces du second degré.

Par M. J. BINET.

Dans le deuxième numéro du premier volume de cette Correspondance, M. Livet a énoncé les deux théorêmes suivans: La somme des carrés des trois axes conjugués d'une surface du deuxième degré est constante;

ག ་

Le volume du parallelipipède construit sur ces axes est

constant.

Il existe une troisième relation entre ces axes conjugués, que l'on peut énoncer ainsi :

La somme des carrés des faces de ce parallelipipède est

constante.

T

Si donc l'on désigne par a',b,c', les trois demi axes conjugués, réels ou imaginaires, d'une surface du second ordre, on aura

a22 + b'2 + c'1=L,

■'b' "sin" (a', 'b') +a' 'c'' sin2 (a', c') +¿13c'»sin' (b',c')=M,

'cos2 ('a',b') — cos3 (a', c') — cos2 ( b', c!)

+ 2 cos (a', b') cos (a, c) cos (b', c')

=N.

Lorsque les angles (a', b'), (a', c!), (b', c') de ces axes conjugués deviendront droits, ces axes se confondront avec les axes principaux de la surface. On aura donc alors, en désignant par a, b, c, ces demi axes principaux,

a2+b2+c=L,

a2b1+a2c2+b2c2=M,

a2bc'=N;

en sorte que les trois constantes L, M N, sont les coefficiens d'une équation ayant pour racines les carrés des trois demi axes principaux : cette équation seroit

p3 — Lp2 + Mp—No.

De l'Equation qui a pourracines les carrés des demi-axes principaux d'une surface du second degré.

Par M. HAchette.

L'équation générale des surfaces du second degré rapportées à trois axes rectangulaires, passant par le centre de ces surfaces,

est

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(1) ``\ Ax2+A'y2 + A"z2 + 2 Byz + 2 B'xz + 2 B"xy = 1; équation qui se réduit à

(2)

Px2 + P'y2+P" x2 = 1,

lorsque les axes des coordonnées se confondent avec les axes principaux de la surface.

Les axes réels ou imaginaires étant 2 a, 2 b, 2c,

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on a

les valeurs de P, P, P, sont les trois racines de l'équation suivante en t,.

̈ ́?−(A+A'+A") t2+(A'A"+A"A+AA'÷B'—B' —B"") t

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+AB'+A'B' +A"B" - 2 BB'B"AAA"

}=0(E).

et les valeurs des carrés a', b', c', des demi axes principaux

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dans laquelle

'A'A" + A" A + AA' — B2 — B'2 — B"3)

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K=AAA" + 2BB'B"-AB' — A'B"-4"B".

Cette équation en u est identique avec l'équation en p de l'article précédent,

p3 - Lp'+Mp-No.

quant à l'équation (E), M. Petit l'obtient par un calcul trèssimple, qui est fondé sur cette considération, que l'expression de x2 + y2+', ne change pas, quel que soit le systême des trois coordonnées rectangulaires x, y, z, auxquelles la surface est rapportée.

Nommant u cette expression, x2 + y2 + s',

on aura, en faisant x=α x, y = ßx,

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mettant dans cette équation pour sa valeur tirée de l'équation (1), on a

(a) t=

Aa2 + A'ß2 + A" + 2 Bß + 2 B'a + 2B" aß

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Substituant dans l'équation (2) pour x et y les valeurs a', ß' x on en conclut la valeus et par suite la valeur suivante de

(b)

Pa'' + P'ß'2 +P!!
I + α22 + Bla

2.

Les valeurs maxima ou minima, et en général les valeurs singulières de t, seront également données par les équations (a) et (6), pourvu qu'on fasse dans la première (a),

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mais si on met l'équation (6) sous la forme :

`(1+ala + B'a) = Pa'2 + P'ß'a + P",

en la différenciant successivement par rapport à a', et à s', et éliminant a', ', l'équation finale (c)

(c)

(t-P) (t-P) (t-P)=o.

a évidemment pour racines les quantités P, P',P". Mettant l'équation (a) sous la forme

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(a') · ¿(1+a2+ß3)=Ax2+A'ß3+A!!+2 Bß+2B'a +2 B"aß.

la différenciant successivement par rapport à « et à ß, et faisant

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Si maintenant des équations (a'), (3), (4), on élimine a, b, l'équation finale en i devra avoir les mêmes racines que l'équation (c).

Tirant les valeurs de a, s, des équations (3) et (4), on trouve

a = B' (t − A') + BB' : (t — A) ( t — A') — B'!”,

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