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ajoutant l'équation (3), multipliée par «, à l'équation (4) multi-
pliée par s, et retranchant de l'équation (a'), on trouve

t—A"= Bß + B'a.

Substituant dans cette dernière les valeurs précédentes de a, ß,

on a

(t~ A)(t— A')(t—A") -B2 (~A)-B'' (t~A') - B" (t-A")-2BB'B"=0. Si l'on effectue les produits indiqués, on retrouve l'équation (E), qui a pour racines les trois quantités P, P', P' de l'équation (2). Cette équation ayant nécessairement ses trois racines réelles, puisque les quantités P, P', P", le sont, M. Petit conclut qu'on pourra déterminer les signes de ces racines, au moyen de la règle de Descartes. Ou les trois racines seront positives, ou deux seront positives et une négative, ou on aura une racine positive et deux négatives, ou enfin les trois racines seront négatives.

Dans le premier cas, la surface sera un ellipsoide; dans le second cas, un hyperboloïde à une nappe; dans le troisième cas, un hyperboloide à deux nappes; dans le quatrième cas, la surface est imaginaire.

Si l'une des valeurs de test nulle, la surface sera évidemment un cylindre, et la nature de sa base sera déterminée par les signes des deux autres racines.

S'il y a deux valeurs de nulles, la surface sera le systême de deux plans parallèles.

Si le dernier terme de l'équation (1), au lieu d'être l'unité, se réduit à zéro, il est facile de s'assurer que si P,P', P", sont tous trois positifs, ou tous trois négatifs, la surface se réduit à un point.

Si les trois quantités P,P',P", ne sont pas de même signe, la

surface est un cône.

Si l'une des trois quantités P,P',P", est nulle, la surface se réduit à une droite, si les deux autres quantités sont de même signe, ou au systême de deux plans, si elles sont de signes. différens.

Enfin, si deux des trois quantités P,P',P", sont nulles, la surface se réduit à un plan.

Méthode pour discuter l'équation générale du second degré
entre trois variables
› X, Y, Z.

On cherchera d'abord les coordonnées du centre de la surface.
La manière la plus simple de les obtenir consiste à différencier

l'équation proposée successivement par rapport à x, ày, à z. Les trois équations linéaires qui résultent de cette différentiation donneront pour les coordonnées du centre, ou trois valeurs finies, ou des valeurs indéterminées, ou des valeurs infinies.

1o. Supposons les trois valeurs finies. La surface ayant un centre, on la rapportera à ce centre comme origine des coordonnées rectangulaires; on formera l'équation (E), et on déterminera la nature de la surface par la règle énoncée page précédente.

2°. On suppose que les équations qui donnent les coordonnées du centre se réduisent à une ou à deux, auquel cas ces coordonnées sont indéterminées; si les trois équations se réduisent à une seule, la surface est le systême de deux plans parallèles; si elles se réduisent à deux, la surface est alors un cylindre dont l'axe est la droite représentée par les deux équations restantes; en coupant ce cylindre par un plan perpendiculaire à son axe, la section déterminera la nature du cylindre; lorsque cette section sera le systême de deux droites, le cylindre sera réduit à deux plans qui se coupent.

3o. On suppose que les coordonnées du centre soient infinies, ce qui est indiqué par les trois équations qui doivent donner les coordonnées du centre, et qui deviennent incompatibles; alors on coupera la surface par un plan quelconque. Si, quelle que soit la position du plan sécant, la section est une parabole, la surface sera un cylindre parabolique. Si la section ne peut pas devenir une ellipse, la surface proposée sera un paraboloide hyperbolique; si la section ne peut pas devenir une hyperbole, l'équation proposée représente un paraboloïde elliptique.

On a d'ailleurs indiqué (pages 203 et 315 de ce volume) un moyen de reconnoître si la surface proposée est de révolution. On a alors entre les constantes de l'équation générale (1), les équations suivantes :

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dont deux quelconques comportent la troisième.

La droite des équations B-x- Bzo, B'y➡ BY 2 =0, est parallèle à l'axe de révolution.

Du Plan tangent à l'hyperboloide à une nappe. (Voyez le Supplément de la Géométrie Descriptive, art. 56, pag.48);

Par M. HACHETTE.

Soient PS, RQ, planche A (fig. 1), les axes principaux réels de l'hyperboloïde à une nappe, PQRS l'ellipse construite sur ces droites comme axes, et XAYA', la section faite dans cette surface par un plan parallèle à celui de l'ellipse PQRS. Soient de plus xpx', ysy' (fig. 2), les deux branches de l'hyperbole contenue dans le plan XY (fig. 1) perpendiculaire au plan des axes principaux PS, QR.

ps (fig. 2) étant la projection de l'ellipse PQRS, xy ou x'y' sera la projection le l'ellipse XAYA' sur le plan de l'hyperbole principale, dont les axes sont dirigés suivant les droites pos, zos, l'une horizontale, et l'autre verticale.

On donne la projection horizontale M d'un point de l'hyperboloïde, et on demande le plan qui le touche en ce point? La verticale élevée par le point M coupe l'hyperboloïde en deux points; d'où il suit qu'à la projection horizontale M correspondent deux points m, m', en projection verticale (fig. 2). Pour trouver ces derniers points, on mène par le point M la droite AMA', qui touche l'ellipse PQRS au point T; on projete les points T, A, A' (fig. 1) en (fig. 2) t, a oua, a oua, et on joint les points a, t, a, par une droite, et les points a', t, a par une autre droite. Ces deux droites sont coupées par la verticale Mmm aux points cherchés m, m'.

On auroit pu mener par le point M une autre tangente BMB' à l'ellipse PQRS. En projetant les points T',B, B' (fig. 1) en t', b ou ß, b' ou s', et joignant les points bt'p', b't'ß, on obtient deux droites qui sont encore coupées par la verticale Mmm! aux mêmes points m, m'. Il résulte de cette construction que le point de l'hyperboloïde dont la projection horizontale est M, à pour projection verticale m ou m'. Le plan tangent en ce point passe par les deux droites de la surface qui se coupent en ce point; d'où il suit que le plan tangent au point M, m, n pour trace horizontale la droite AB, et le plan tangent au point M, m', a pour trace la droite A'B'.· ́

En considérant la droite M, (fig. 1), mm' (fig.2), comme une corde de l'hyperboloïde, on voit que des quatre droites de cette surface, menées par les extrémités de la corde, la corde et deux

de ces droites sont dans un même plan. En substituant à la corde M, mm', toute autre corde MN, m'n', la même coïncidence aura lieu. En effet, tout plan qui passe par une corde de l'hyperboloide et par une droite de cette surface, contient nécessairement une seconde droite, et cette dernière droite coupe la première en un point dans lequel le plan touche la surface.

Pour construire la fig. 1, qui représente les projections de la génératrice de l'hyperboloide dans les deux systèmes de génération, on peut diviser la demie ellipse XAY d'une ma. nière arbitraire, et mener par chaque point de division deux tangentes à l'ellipse principale PQRS. Elles seront les projec tions de deux droites partant d'un même point de la surface. Mais ces couples de droites étant menées arbitrairement, la demie ellipse XA'Y ne sera pas divisée de la même manière que la première moitié XAY; pour que les deux divisions soient symétriques, M. Monge a observé que les petits arcs d'ellipse X1, 12, 34, etc., devoient être les projections d'arcs égaux X1', 1'2', 3'4', etc. d'un cercle qui auroit pour diamètre la droite XY. C'est d'après cette division du cercle, qu'il faudroit construire les figures 1 et 2, si l'on vouloit exécuter un support de vase, ou une corbeille de la forme de l'hyperboloide à une nappe. Nous terminerons cet article par une remarque sur les para boloides. J'ai démontré que les deux paraboloïdes étoient représentées par l'équation:

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pet p' étant des paramètres de la surface; en coupant cette surface par un plan quelconque de l'équation,

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sui

et substituant cette valeur dans l'équation précédente, les coefficiens de y et de ne varient pas; d'où il suit que quel que soit le plan secant, les sections se projètent sur le plan des vant des courbes semblables, donc de quelque manière qu'up paraboloïde soit situé dans l'espace, il existe un plan sur le quel toutes les sections planes du paraboloide se projetent sui vant des courbes semblables.

Sur le Contact des Surfaces engendrées par une ligne droite;

Par M. J. BINET.

Ces surfaces sont très-fréquemment employées dans l'application de la géométrie aux arts. Quand elles ne sont pas déve loppables ou les appelle surfaces gauches. Les méthodes dont on se sert pour leur mener des plans tangens, reposent sur le théorême suivant que M. Hachette a donné dans des Additions à la Géométrie Descriptive de M. Monge.

Deux surfaces engendrées d'une manière quelconque par une ligne droite, qui ont une génératrice commune, et en trois points de cette génératrice trois plans taugens communs, sont tangentes l'une à l'autre dans tous les points de cette génératrice.

Par les trois points déterminés a, b, c sur une génératrice d'une telle surface, concevons trois courbes quelconques A,B,C, tracées sur cette même surface, et pouvant être considérées comme les trois directrices du mouvement de la génératrice; désignons par a', b', c' les trois points où ces courbes sont rencontrées par une autre génératrice à distance de la première. Imaginons une courbe quelconque A', passant par les points a et a'; une autre courbe quelconque B' passant par les points bet b'; une troisième courbe C passant par les points c et c'; et regardons les courbes A', B', C', comme servant de directrices au mouvement d'une ligne droite, qui alors engendrera une surface, rencontrant la première suivant les deux lignes droites ube, et a'b'c', Que l'on conduise un plan qui rencontre la ligne abc en un point d, la ligne a'b'c', en un point d'; il coupera la première surface suivant une courbe D et la deuxième suivant une autre courbe D', et ces deux courbes Det D'auront les deux points det d' communs. Tout cela posé, si l'on conçoit que la droite a b'e se meuve sur la preniere surface, de manière à se rapprocher indéfiniment de la droite a bc, les points a', b', c, d se mouveront respectivement sur les courbes A, B, C, D, de manière à se rapprocher indéfi niment aussi des points a, b, c, d; en sorte que lorsque la ligne a'b' c', atteignant la limite des positions qu'elle doit prendre, se confondra avec abc, les courbes A', B, C, D' deviendront ensemble tangentes en a, b, c, d, aux courbes A,B, C, D. La surface engendrée par la droite s'appuyant sur les courbes A', B', C', devenues tangentes aux courbes A, B, C, sera tangente à la première surface, dans toute l'étendue de la droite

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