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projection verticale (fig. 2) est le système des deux quadri

(o) (y horizontales a', s', u',N, des sommets de pyramides qui correspondent à la courbe Z A' B'C', forment un quadrilatère a' B'y! , dont la projection verticale (fig. 2) est le système de deux quadrilatères c'B' gl , et (c) (8) (') (OM).

Cette solution fait voir que les pyramides qui ont pour bases le triangle XYZ, et pour angles opposés aux côtés de cette base, les angles déterminés par les arcs XFZ, ZOY, YGX, et leurs supplémens, sont au nombre de seize; nous allons démontrer que ce nombre de solutions est le plus grand possible.

M. Lagrange a appliqué la méthode des Courbes d'Erreurs à Ja solution de cette même question, relative à la pyramide triangulaire. (Voyez ses leçons à l'ancienne Ecole Normale , qu'on vient de réimprimer pour en former les cahiers 7 et 8 du Journal de l'Ecole Polytechnique.) Nommant a, b, c les trois côtés de la basé; , B, y les cosinus des angles des faces opposés aux côtés; x, y, z les trois arêtes, on a les trois équations suivantes :

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U

II

M. Lagiange observe qu'en faisant =

y

t, ces trois équations deviennent,

a' = x(i tu' - 2 & 4 ).
b* =** (uo + 1 - 2 ß ut).

c'=x*(1 +ť - 27t). De ces trois équations on déduit les deux suivantes du second degré en u et t;

jai (1 ti-Źxt)=0( 1 tu'- 2 au). (E).

16" (i + t —271) = c(u' +72 B'ut). L'élimination de r ou de l entre ces deux équations, conduit à une équation du quatrième degré en u ou to Substituant les quatre valeurs de-u dans l'équation

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2 IL

2 14

on aura les quatre valeurs de se correspondantes, et à cause de la double valeur da cosinus , qui peut être pris positivement ou négativement, l'arête x a huit valeurs differentes. Les huit valeurs correspondantes de l'arèie y sont données par l'équation y=xu. Mais par l'élimination de t* entre les équations (E), on obtient une équation linéaire en t, qui détermine les quatre valeurs de t qui correspondent aux quatre valeurs de u et aux huit valeurs de x; combinant les valeurs de cet de t qui se correspondent, l'équation z=xt, donnera les huit valeurs de qui correspondent aux huit valeurs de x. De cette manière on déter minera les huit systèmes d'arêtes *,1,5, qui forment la pyramide dont la base triangulaire a pour côtés les droites a, b, c, et dont les angles compris entre les arêtes ont pour cosinus Ed, Eß,

Aux huit pyramides qui ont pour arêtes les droites x, y, s. on doit en ajouter huit autres qui leur sont symétriques. Ces dernières ont même base que les premières, mêmes arêtes, mêmes angles opposés aux côtés de la base; elles n'en different que par la position des sommets. Les sommets d'une pyramide et de celle qui lui est symétrique, sont placés à des distances égales et opposées du plan de la base.

En appliquant l'analyse à la solution géométrique précédente, on arrive aux mêmes conclusions.

Soient a, b, 2c, les trois côtés XZ, ZY, YX, de la base XYZ ( fig. 1), p et q les cosinus des angles opposés aux côlés a et b, et l, m, n, les trois arêtes de la pyramide. Prenant pour origine des coordonnées le milieu de la droite XY, chaque point de la courbe Z ABC, ZA'B'C', résulte de l'intersection de deux cercles décrits des points X et Y comme centres, avec des rayons égaux aux arêtes l et ne, qui passent par les points X et Y. de la base ; ces cercles ont pour équations,

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Les arétes l et n comprennent entr'elles l'angle dont le cosienis est p; les arêtes met n comprennent l'angle do le cosinus est; d'où il suit qu'on aura les equatious suivantes

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1

Éliminant de ces quatre équations 1, m, n, l'équation finale en x, y, appartient à la courbe Z ABC, ZA'B'C'. Retranchant l'équation (4) de l'équation (3), on a

a' - 6'=l-m'- 2nlp-ma);

m' + b' -a 2 ( lp - mg)

Substituant cette valeur de n dans l'équation (4),

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mettant dans cette équation pour l, m, l", m, m', leurs
valeurs données par les équations (1), (2), on parvient à l'équa-
tion suivanle ,
(polys+(c)-)(b1-y--(2+c)+90(ya+(+c)(az-ya-(3-c)
-(62-21-4cx)2

--(x=+ya+co)) (r+ya+ca)2—4c»r»)
du huitième degré en 2,5, et les constantes a,

b,c,P,9; cette équation'est remarquable en ce que dans les termes qui contiennent petq, les exposans de ces quantités sont pairs, et élevés seulement à la seconde puissance. D'où il suit que cette équation ne varie pas', quel que soit le signe de ces cosinus. La courbe de cette équation est coupée par le cercle capable de l'angle opposé au côté 2c , et qui a pour équation

(6) x + (y + h)=r, ou x' + y = r + h - 2 hy. Or, en substituant cette valeur de x' ty dans l'équation de la courbe du huitième degré, cette équatiou se réduit au quatrième degré; d'où il suit que le cercle de l'équation (6) ne peut couper la courbe ZABC, ZA'B'C', qu'en huit points. Mais le cercle capable de l'angle opposé au côté 2 c, peut prendre deux positions XGY, XG'Y symétriques par rapport à l'axe XY (68: 1), et dans la seconde position, il a pour équatiou (7)

x + (ych) ; (l=V7-o', etr est une constante qui dépend de l'anglo

opposé au côté 2c); d'où il suit que les deux cercles des équations (6) et (7), coupent la courbe aux deux branches Z A B C, ZA'B'C' en seize points, qui correspondent à seize sommets de pyramides; les projectious de ces sommets sur le plan du triangle XY2, se réduisent aux huit points a, b, y, d, a, b, y', N.

Des seize sommets, huit sont placés au-dessus du plan du triangle XYZ, et se projètent (fig. 2) en «,B, , d,',B', , : les huit autres se projètent (fig. 2) au-dessous de l'horizontale vv', et sont marqués des mêmes lettres en parenthèse : les points marqués des mêmes lettres sont situés sur une droite perpendiculaire à la trace vvi des plans horizontal et vertical.

De la Sphere.

Par M. H ACHETTE.

J'ai réuni dans le Supplément de la Géométrie Descriptiva de Monge , les propositions relatives à la sphère, qui sont depuis long-temps l'objet de nos leçons sur les plans tangens aux surfaces courbes. On connoissoit la solution de cette question « Mener une sphère tangente à quatre sphères. » Elle n'est pas très-importante par elle-même; mais la soluion que j'en ai donnée m'a paru convenir à un ouvrage classique de Géométrie Descriptive, parce qu'elle offre de nouvelles combinaisons de plans et de sphères. Pour traiter cette question, on pouvoit , comme Fermat, la ramener à des problèmes de géométrie plane. En suivant cette méthode, nous n'aurions pas rempli notre objet , qui est d'habituer l'esprit à des considérations sur les propriétés de l'étendue; et dans ce sens, la solution qu'on doit preférer, est celle qui présente à l'esprit de nouvelles surfaces, remarquables par un mode simple de génération, ou par quelques propriétés qui conduisent à des constructions graphiques élégantes.

On peut expliquer la solation d'un problème de géométrie aux trois dimensions , en désignant les points de l'espace par des lettres ; et c'est cette methode que j'ai suivie dans le Supplement de la Geométrie Descriptive , pour déterminer la sphère qui eu touche quatre autres ; mais lorsqu'une solution doit être suivie d'une construction graphique , il est important que cette solu' tion soit accompagnée d'un dessin qui représente la disposition des données du problème, et les lignes ou les surfaces qu'il s'agit de déterminer. C'est pour remplir cet objet , que

j'ajoute au texte du Supplément de la Géométrie Descriptive une explication des planches C et D, qui se rapporte aux articles du Supplément, dont j'indique les numéros.

Les centres et les rayons de quatre sphères étant donnés, soient (planche C) A, B, C les centres des trois premières sphères ; D' la projection du centre D de la quatrième sphère sur le plan des trois centres A, B, C, plan qu'on supposé horizontal. d Dll est sur le plan vertical Sd, la hauteur du centre de la quatrième sphèrë au-dessus da plap horizontal. Le plan mené par le centre D et par les points A et B étant abattu sur le plan horizontal, ce point D est l'intersection de la droite D' D perpendiculaire à A B , et de la parallèle d' D à A B, menée par le point d' distant du point S d'une quantité S d = SDN.

Les droites qui joignent les quatre centres des sphères forment une pyramide triangulaire à six arêtes ; chaque arête contenant les sommets de deux cônes circonscrits à deux des quatre sphères, il s'ensuit que les cônes extérieurs et intérieurs circonscrits à quatre sphères , sont au nombre de douze. Les sommets de ces douze cônes sont distribués trois, à trois sur une même droite.

Nommant A, B, C, D les sphères qui ont leurs centres aux points désignés ( Planche C) par les mêmes lettres, les six sommets des cônes extérieurs et intérieurs circonscrits aux trois sphères A, B, C, sont ( art. 26 du Supplément ) situés sur quatre droites S SS!!, S sisal sSsl, sis!S", ; ces lettres S,S, S" désignant les sommets de cônes extérieurs , et s, s', s" les sommets de cônes intérieurs. Les six sommets de cônes extérieurs et intérieurs , circonscrits aux trois sphères A, B, D, sont situés sur les quatre droites S R' R", Srps R'r'', s R"; enfin, nommant Q , q'', les sommets des cônes extérieur et intérieur, circonscriis aux deux sphères C et D, les six sommets des cônes extérieurs et intérieurs , circonscrits aux trois sphères A, B, D,, seroient situés sur quatre autres droites,

S' R" O", S" !!.q'', s!! R" q', s". JPT Q". Ces douze droites sont situées trois à trois dans quatre plans, qui passent par trois droites arrangées dans l'ordre suivant :

jer. Plan. --SSS, SRR", STRO".
2°. Plano. : Si su!, S pol gol,

Sul point que
34. Plan. S SO SW,

s Rot, si R"q". 4. Plan,

$ st $'', SR, ó","0".

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