a b c, puisque ces deux surfaces étant coupées par un plan passant par un point quelconque d de cette droite, fournissent des courbes tangentes en ce point.

Il résulte de là, que si aux trois points a, b, c, on mène trois courbes quelconques A', B', C', respectivement tangentes en ces points aux courbes A, B, C, et qu'on les employe comme directrices du mouvement d'une ligne droite, la surface engendrée par cette droite sera tangente à la surface proposée dans toute l'étendue de la droite a b c.

Pour démontrer le théorême qui fait l'objet de cette note, il suffit d'observer que par les trois points où les deux surfaces ont leurs plans tangens communs, il est possible de tracer sur ces surfaces des courbes respectivement tangentes et pouvant être considérées comme directrices des droites génératrices des surfaces proposées; et ces surfaces, par suite de ce que nous venons d'établir, seront tangentes l'une à l'autre dans toute l'étendue de leur génératrice commune.

On prouve d'une manière semblable, que deux surfaces engendrées par une ligne droite assujettie à rester constamment parallèle à un plan, sont tangentes dans toute l'étendue de cette génératrice, sí en deux des points de cette droite, ces surfaces ont des plans tangens communs.

De la Pyramide Triangulaire ;

Par M. HACHETTE.

J'ai donné dans le Supplément de la Géométrie Descriptive, art. 131, une solution de ce problême : connoissant dans une pyramide triangulaire, la base et les angles des faces opposés aux côtés de la base, construire le sommet de cette pyramide. En appliquant l'analyse à cette solution, on démontre rigoureusement que ce problême a dans le cas général seize solutions.

Soient (planche. B) XYZ, fig. 1, la base de la pyramide donnée; XFZf, ZOYO, XGYg, les cercles générateurs des trois surfaces de révolution qui par leur intersection déterminent le sommet de la pyramide. Les deux premières surfaces qui ont pour axes les droites XZ, ZY, se coupent suivant une ligne composée de deux branches, l'une qui résulte de l'intersec. tion des nappes de surfaces engendrées par les grands segmens XFZ et ZOY, et des nappes de surfaces engendrées par les

petits segmens XfZ, ZoY; l'autre, qui résulte de l'intersection des nappes engendrées par un grand segment XFZ, et un petit segment ZoY, ou par un grand segment ZOY et un petit segment XfZ.

La première branche, en tournant autour de l'axe XY, engendre une nappe de la quatrième surface de révolution, dont la section par le plan du triangle XYZ, est ZACB. La section de la seconde nappe par le même plan, est ZA'C'B'; ces deux sections ont pour normale commune l'axe XY, qui divise chacune d'elles en deux parties égales; elles sont coupées par les deux cercles XGYg, et XG'Yg', en seize points, dont huit marqués des chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, appartiennent à la courbe ZABC. Les huit autres points marqués des mêmes chiffres accentués, appartiennent à la courbe ZA'B'C'. Les points 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, mis deux à deux dans l'ordre suivant, 1-8, 2-7, 3-6, 4-5, sont à égales distances de l'axe XY, et sur deux droites perpendiculaires à cet axe. Il en est de même des points 1', 2', 3', 4', par rapport aux points 8', 7', 6',5'.

D'où il suit que les sommets des pyramides cherchées sont situés sur huit cercles du diamètre 18,2-7, 3-6, 4-5, 1'-8', 2'7',3'-6',4'-5'. Ces cercles appartiennent à la troisième surface de révolution, dont l'axe est XY, et qui a pour génératrice les axes XGY, Xgr. Chacun de ces cercles contient deux sommets des pyramides cherchées. En effet, considérons celui dont le diamètre est 1-8, et qui a pour centre un point de l'axe XY. Le point 8 de la courbe ZACB provient de l'intersection de deux cercles décrits par deux points des grands segmens ZOY, ZFX; donc, si l'on porte la droite 18 sur Ya, corde de l'arc ZOY, et la droite Za sur Za', corde de l'arc ZFX, ou la droite X8 sur la corde Xa' du même arc ZFX, les droites Ya, Za, = Za' et Xa', seront les trois arêtes d'une des pyramides cherchées. Abaissant la perpendiculaire a sur l'axe ZY, et la perpendiculaire a'a, sur l'axe XZ, ces deux perpendiculaires se rencontrent en un point du diamètre 1-8, qui est la projection du sommet de la pyramide sur le plan de la başe XYZ. Le même point a est la projection du sommet d'une seconde pyramide, symétrique par rapport à la première.

Le cercle du diamètre i -8 contient les sommets de deux pyramides; ces sommets se projetent en sur le plan horizontal du triangle XYZ, et en a, (a), sur le plan vertical v (fig. 2), perpendiculaire à l'axe XY. Les quatre projections horizontales , B, y, d, des sommets de pyramides qui correspondent à la courbe ZABC, forment un quadrifatère By, dont la

a

α

projection verticale (fig. 2) est le système des deux quadrilatères syd, et (a) (3) (x) (d). Les quatre projections horizontales a', ',,', des sommets de pyramides qui correspondent à la courbe ZA'B'C', forment un quadrilatère '''', dont la projection verticale (fig. 2) est le système de deux quadrilatères a 'y', et (a')' (8') (2') (d').

Cette solution fait voir que les pyramides qui ont pour bases le triangle XYZ, et pour angles opposés aux côtés de cette base, les angles déterminés par les arcs XFZ, ZOY, YGX, et leurs supplémens, sont au nombre de seize; nous allons démontrer que ce nombré de solutions est le plus grand possible.

M. Lagrange a appliqué la méthode des Courbes d'Erreurs à Ja solution de cette même question, relative à la pyramide triangulaire. (Voyez ses leçons à l'ancienne Ecole Normale, qu'on vient de réimprimer pour en former les cahiers 7 et 8 du Journal de l'Ecole Polytechnique.) Nommant a, b, c les trois côtés de la hase; a, ß, y les cosinus des angles des faces opposés aux côtés; x, y, z les trois arêtes, on a les trois équations suivantes: a2= x2 + y2 - 2 α xy.

De ces trois équations on déduit les deux suivantes du second -degré en u et ;

(E).

·Ja2 (1 + 12 — 2 × t ) = c2 ( 1 + u2 — 2 a u ).

L'élimination de u ou de entre ces deux équations, conduit à une équation du quatrième degré en u ou t. Substituant les quatre valeurs de u dans l'équation

on aura les quatre valeurs de x correspondantes, et à cause de l'ai double valeur du cosinus a, qui peut être pris positivement ou négativement, l'arête x a huit valeurs différentes. Les huit valeurs correspondantes de l'arète y sont données par l'équation y=xu. Mais par l'élimination de t' entre les équations (E), on obtient une équation linéaire en t, qui détermine les quatre valeurs de t qui correspondent aux quatre valeurs de u et aux huit valeurs de x; combinant les valeurs de zet de t qui se correspondent, l'équation zxt, donnera les huit valeurs de z qui correspondent aux huit valeurs de x. De cette manière on déter ▾ minera les huit systèmes d'arêtes 2,y,, qui forment la pyra mide dont la base triangulaire a pour côtés les droites a, b, c, et dont les angles compris entre les arêtes ont pour cosinus

Aux huit pyramides qui ont pour arêtes les droites x, y, z, on doit en ajouter huit autres qui leur sont symétriques. Ces dernières ont même base que les premières, mêmes arêtes, mêmes angles opposés aux côtés de la base; elles n'en diffèrent que par la position des sommets. Les sommets d'une pyramide et de celle qui lui est symétrique, sont placés à des distances égales et opposées du plan de la base.

En appliquant l'analyse à la solution géométrique précédente, on arrive aux mêmes conclusions.

Soient a, b, ,2 c, les trois côtés XZ, ZY, YX, de la base XYZ (fig. 1), p et q les cosinus des angles opposés aux côtés a et b, et l, m, n, les trois arêtes de la pyramide. Prenant pour origine des coordonnées le milieu de la droite XY, chaque point de la courbe ZABC, ZA'B'C', résulte de l'intersection de deux cercles décrits des points X et Y comme centres, avec des rayons égaux aux arêtes i et m, qui passent par les points X et Y de la base; ces cercles ont pour équations,

Les arétes / et n comprennent entr'elles l'angle dont le cosious est p; les arètes met n comprennent l'angle dom le cosinus est ; d'où il suit qu'on aura les équations suivantes

Éliminant de ces quatre équations l, m, n, l'équation finale en x, y, appartient à la courbe ZABC, ZA'B'C'. Retranchant l'équation (4) de l'équation (3), on a

'a' — b' — l' — m2 — 2 n ( lp — mq);

Substituant cette valeur de n dans l'équation (4),

(5) i'm'+

(l2 — m2+b2—a3)ˆ ___ mq(l3 — m2 + b2 —aˆ

-

4('lp— mq)'

lp-mq

mettant dans cette équation pour l, m, la, m2, l' — m2, leurs valeurs données par les équations (1), (2), on parvient à l'équation suivante,

Sp2(ya+(x—c)2) (ba—y2—(x+c)2+qa(y2+(x+c)ɔ(a2—y2(x — —c)2) | 2 (—(b2—aa—4cx)2

2

——(x2+ya+c3)) (x2+ya+ca)a—402x2)

du huitième degré en x,y, et les constantes a, b, c, p, q; cette équation est remarquable en ce que dans les termes qui contiennent p et q, les exposans de ces quantités sont pairs, et élevés seulement à la seconde puissance. D'où il suit que cette équation ne varie pas, quel que soit le signe de ces cosinus. La courbe de cette équation est coupée par le cercle capable de l'angle opposé au côté 2e, et qui a pour équation

(6)

x2+(y+h)'= r2, ou x2 + y2 = r2+h' — 2hy.

2

Or, en substituant cette valeur de x2+y' dans l'équation de la courbe du huitième degré, cette équatioù se réduit au quatrième degré, d'où il suit que le cercle de l'équation (6) ne peut couper la courbe ZABC, ZA'B'C', qu'en huit points. Mais le cercle capable de l'angle opposé au côté 2 c, peut prendre deux positions XGY, XO'Y symétriques par rapport à l'axe XY(fig. 1), et dans la seconde position, il a pour équation

{ k = VP — c2, et r est une constante qui dépend de l'angle