opposé au côté 2c); d'où il suit que les deux cercles des équations (6) et (7), coupent la courbe aux deux branches ZAB C, ZA'B'C' en seize points, qui correspondent à seize sommets de pyramides; les projections de ces sommets sur le plan du triangle XYZ, se réduisent aux huit points a, ß, y, d, a', B', y', `d'.

Des seize sommets, huit sont placés au-dessus du plan du triangle XYZ, et se projètent (fig. 2) en a, ß, v, d,a', B',, : les huit autres se projètent (fig. 2) au-dessous de l'horizontale ', et sont marqués des mêmes lettres en parenthèse : les points marqués des mêmes lettres sont situés sur une droite perpendiculaire à la trace v des plans horizontal et vertical.

De la Sphère.

Par M. HACHETTE.

J'ai réuni dans le Supplément de la Géométrie Descriptive de Monge, les propositions relatives à la sphère, qui sont depuis long-temps l'objet de nos leçons sur les plans tangens aux surfaces courbes. On connoissoit la solution de cette question « Mener une sphère tangente à quatre sphères. » Elle n'est pas très-importante par elle-même; mais la solution que j'en ai donnée m'a paru convenir à un ouvrage classique de Géométrie Descriptive, parce qu'elle offre de nouvelles combinaisons de plans et de sphères. Pour traiter cette question, on pouvoit, comme_Fermat, la ramener à des problêmes de géométrie plane. En suivant cette méthode, nous n'aurions pas rempli notre objet, qui est d'habituer l'esprit à des considérations sur les propriétés de l'étendue; et dans ce sens, la solution qu'on doit préférer, est celle qui présente à l'esprit de nouvelles surfaces, remarquables par un mode simple de génération, ou par quelques propriétés qui conduisent à des constructions graphiques élégantes.

On peut expliquer la solution d'un problême de géométrie aux trois dimensions, en désignant ies points de l'espace par des lettres; et c'est cette méthode que j'ai suivie dans le Supplement de la Géométrie Descriptive, pour déterminer la sphère qui eu touche quatre autres; mais lorsqu'une solution doit être suivie d'une construction graphique, il est important que cette solu' tion soit accompagnée d'un dessin qui représente la disposition des données du problême, et les lignes ou les surfaces qu'il s'agit de déterminer. C'est pour remplir cet objet, que

j'ajoute au texte du Supplément de la Géométrie Descriptive une explication des planches Cet D, qui se rapporte aux articles du Supplément, dont j'indique les numéros.

Les centres et les rayons de quatre sphères étant donnés, soient (planche C) A, B, C les centres des trois premières sphères; D' la projection du centre D de la quatrième sphère sur le plan des trois centres A, B, C, plan qu'on suppose horizontal. d D' est, sur le plan vertical Sd, la hauteur du centre de la quatrième sphère au-dessus du plan horizontal. Le plan mené par le centre D et par les points A et B étant abattu sur le plan horizontal, ce point D est l'intersection de la droite D' D perpendiculaire à AB, et de la parallèle d'D à A B, menée par le point d' distant du point S d'une quantité S d'S D".

Les droites qui joignent les quatre centres des sphères forment une pyramide triangulaire à six arêtes; chaque arête contenant les sommets de deux cônes circonscrits à deux des quatre sphères, il s'ensuit que les cônes extérieurs et intérieurs circonscrits à quatre sphères, sont au nombre de douze. Les sommets de ces douze cônes sont distribués trois à trois sur une même droite.

Nommant A, B, C, D les sphères qui ont leurs centres aux points désignés (Planche C) par les mêmes lettres, les six sommets des cônes extérieurs et intérieurs circonscrits aux trois sphères A, B, C, sont (art. 26 du Supplément) situés sur quatre droites S S S!, S sls" s S's'', s s' S"; ces lettres S, S, S" désignant les sommets de cônes extérieurs, et s, s', s' les sommets de cônes intérieurs. Les six sommets de cônes extérieurs et intérieurs, circonscrits aux trois sphères A, B, D, sont situés sur les quatre droites S R' R', Sr' r", s R' r'', s r' R''; enfin, nommant Q', q", les sommets des cônes extérieur et intérieur, circonscrits aux deux sphères Cet D, les six sommets des cônes extérieurs et intérieurs, circonscrits aux trois sphères A, B, D,, seroient situés sur quatre autres droites,

S" R" Q", S" r'' ql', s!! R'l q'', s" p! Q".

Ces douze droites sont situées trois à trois dans quatre plans, qui passent par trois droites arrangées dans l'ordre suivant :

Les quatre petits cercles, lieux des points de contact de la sphère A (c'est-à-dire dont le centre est en 4), sont perpendiculaires, au plan des trois centres A, B, C, et ont pour diamètres les droites (art. 39 du Supplément),

A B C®, A Ba Ci, Æ Bi Cˆ, A' Bi C3,

droites qu'on auroit pu désigner sur la figure ( Planch. C) de la manière suivante:

A B C, A B C, A B Ci, Ai B' C.

Ces quatre petits cercles sont les bases de cônes droits circonscrits à la sphère A, dont les sommets f, g, h, k, sont situés sur les droites, lieux des sommets des cones extérieurs et intérieurs, circonscrits aux trois sphères A, B, C; de sorte que

Considérant le systême des trois sphères A, B, D (1), les points analogues à f, g, h, k, sont ƒ', g', h', k', situés sur les droites SR R", ST, SR", sr R. Ces quatre points f', g', h', k', sont les sommets de cônes droits circonscrits à la sphère A, qui touchent cette sphère suivant les cercles des diamètres :

A B D', A Be D', A Bi D', A Bi D'.

Un quelconque de ces quatre petits cercles coupe en quatre points deux des quatre petits cercles qui ont pour diamètres les droites

A B C, A B C', A Bi C, A B' C',

ce qui détermine les points de contact de la sphère 4 et de la cinquième sphère, qui touche les quatre sphères A, B, C, D.

(1) Les lignes relatives au systême des trois sphères A, B, C, sont ponctuées sur le dessin en points ronds; et celles qui sont relatives au systême des trois sphères A, B, D, sont ponctuées d'un trait long

Le cercle du diamètre A B C est coupé par les deux cercles des diamètres A B Do‚ A B' D', en quatre points qui se projètent sur le plan des trois centres A, B, C, aux points 2, 3, 4. Nous allons construire sur une figure à part (Pl. D) les quatre points 1, 2, 3, 4, et on trouvera de la même manière les douze autres points.

D'après ce qui a été dit (art. 39 du Supplément ), on a : Cercle du diamètre ABC, coupé par les cer

Cercle du diamètre A'B'C',

Cercle du diamètre A'B'C,

Cercle du diamètre A'B'C',

cles des diamètres A'B'D',A*B¢Di;

Dans la figure (Planche D), nous ne considérerons que les points d'intersection du cercle dont le diamètre est AB C, et des cercles qui ont pour diamètres les droites A'B'D', AˆB'D'. Des douze droites lieux des sommets des cônes droits circonscrits aux quatre sphères données, nous ne rapporterons sur cette figure, que les trois droites S S' S", SR'R", S; et les trois sommets f,f,g' des trois cônes droits circonscrits à la sphère A, qui ont pour bases les diamètres

A B C, A Bo D', A Bo D'.

Nommant r,,,, les rayons des quatre sphères données, R le rayon de la sphère tangente, p, p, p, p, les distances du centre de la sphère tangente aux centres des sphères données, on a les quatre équations,(Correspondance, tom. 2, pag 63 )

Rr, R, R="=p", R="="",

qui fournissent seize combinaisons ; ce qui prouve qu'en général il y a seize sphères qui peuvent toucher quatre sphères données. En effet la première équation donne:

Les deux équations suivantes donnent quatre combinaisons; et pour chacune de ces combinaisons, on a :

ce qui élève le nombre de combinaisons possibles à huit. On a par la même raison huit combinaisons, lorsqu'on suppose dans

I

la première équation R+r=p; d'où il suit que quatre sphères données peuvent être touchées par une cinquième sphère de seize manières différentes.

Des seize sphères tangentes, cherchons celle dont le rayon R = p+r=p' + r2 = p" + "="+", c'est-à-dire, celle qui touche intérieurement les quatre sphères données. La construction qui détermine le centre de cette sphère, donne en même temps le centre et le rayon de la sphère qui touche intérieurement les quatre sphères données.

Ayant augmenté les rayons des trois sphères A, B, C, d'une quantité TT (pl.D)prise arbitrairement, on regardera les points A, B, C, comme les centres de trois nouvelles sphères qui se couperont en un point, centre d'une sphère T, tangente aux sphères A, B, C; par le point de contact de cette sphère T, et de la sphère A, on mènera un plan tangent à cette dernière sphère, et ce plan coupera la droite S S S au point f, sommet du cône droit circonscrit à la sphère A, et qui la touche suivant le cercle du diamètre A B C. Ce cercle contient les points de contact de la sphère et de toutes les sphères qui peuvent toucher les trois sphères A, B, C extérieurement.

Considérant les trois sphères A, B, D, on construira de la même manière un second cercle du diamètre A Bo Da, qui contient les points de contact de la sphère et de toutes les sphères qui peuvent toucher les trois sphères A, B, D extérieurement. L'intersection de ces deux petits cercles de la sphère détermine sur cette sphère le point de contact d'une cinquième sphère, qui la touche en même temps que les trois autres sphères B, C, D.

Les deux petits cercles des diamètres A'B'C', ABˆD', se coupant en deux points, dont les projections sur le plan des trois centres A, B, C, sont 1 et 2; le second point appartient à la sphère qui touche les quatre sphères données intérieurement. Si des points i et 2, on abaisse des perpendiculaires sur la droite AB, les points d'intersection 1', 2' de ces perpendiculaires et du diamètre A B Do, sont les projections des points communs aux deux petits cercles de la sphère 4, sur le plan des trois centres A, B, D.

Toutes les sphères qui touchent les sphères A et B extérieurement, et la sphère D intérieurement, touchent la sphère A, suivant un cercle du diamètre A B D. Pour déterminer ce diamètre, nommons r, r, les rayons des sphères A, B, D, et supposons qu'on ait augmenté les rayons r, d'une quantité arbitraire TT (pl. D); regardant les points A,B,D comme les centres de trois sphères qui ont pour rayons, la premièrer+T'T,

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