sa valeur tirée des équations (2), (3), on a

Nommant c la tangente menée par le point lumineux P au cercle du rayon CM, on a

ayant cinq équations entre les six quantités I, R, a, b, p, p', la valeur de l'une d'elles, de p' par exemple, sera déterminée lorsqu'on donnera la valeur de

p.

Les signes des rayons p et p', 'l'un incident, et l'autre réfracté, dépendent de leur position par rapport à la surface refringente. Lorsque ces rayons sont du même côté par rapport à cette surface, ils sont de signes différens, et ils sont de mêmes signes dans le cas contraire.

Examen de l'équation (4), dans quelques cas particuliers.

suppose a = b = r;

Dans cette hypothèse, l'extrémité de p'est le point conjugué du point d'où part le rayon p; l'équation (4) devient

2°. Le rayon incident se confond avec la tangente PM (fig. d)

menée par le point lumineux P.

Dans ce cas ao, et p' = b; c'est-à-dire que le point P milieu de la corde MS 26, appartient à la caustique. 3°. r est infini.

Substituant dans l'équatiou (4) pour a et b leurs valeurs rcos I, r cos R, et supposant r = ∞ elle donne

Les valeurs de p et p' étant nécessairement de signes différens on doit conclure que le point lumineux et la caustique sont du même côté de la surface réfringente.

4°. Pour avoir le point de rebroussement de la caustique, il faut supposer dans l'équation (6), I=o, et par conséquent R=0; on a alors p' = pl, c'est-à-dire, que les distances du point lumineux et du point de rebroussement de la caustique à la surface réfringente, sont dans le rapport de l à 1.

M. Hassenfratz a fait graver, pour l'usage de l'Ecole Polytechnique, deux planches de caustiques, d'après les dessins de M. Girard. La première planche contient six caustiques par réflexion, et la seconde douze caustiques par réfraction. Les points singuliers de ces courbes ont été déterminés par les constructions qui résultent de l'analyse précédente de M. Petit. H. C.

MÉCANIQUE.

Sur les Axes principaux, par M. LEFEBURE DE FOURCY répétiteur-adjoint de l'École Polytechnique.

L'on sait de quelle importance sont en mécanique les axes principaux des corps. La propriété d'être des axes naturels de rotation les caractérise de la manière la plus saillante. On les détermine encore lorsqu'on cherche les axes par rapport auxquels le moment d'inertie est un maximum ou un minimum. Enfin, l'on peut les considérer comme formant un systéme de coordonnées orthogonales par rapport auquel la somme des produits de chaque molécule par le rectangle de deux quelconques de ses coordonnées est égale à zéro. Cette propriété, qui sert immédiatement à simplifier les équations du mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe, va nous faire trouver les axes principaux, par un calcul qui réunit la symétrie à la simplicité.

Concevons par un point quelconque O d'un corps solide, trois

axes OX, OY, OZ, formant un systême de coordonnées rectangulaires; soient

x=az, y = b; x = az, y = b' z; x=all z, y = 6" z ;

les équations de trois droites OX', or', OZ' formant un nouveau systême d'axes rectangulaires, l'on aura

i+aa'+bb'=0,1+aa!!+bb"=0,1+a' a"+b'b"=0 (1). Pour que ces droites soient les axes principaux du corps, il faut, en désignant par x', y', z', les coordonnées d'une molécule quelconque relativement aux axes OX', OY', OZ', que l'on ait en

core

S. x'y' μ = o, f. x' z' μ = 0, f. y' z' μ = o..

l'intégration devant embrasser toute l'étendue du corps.

(a)

Pour développer ces équations, je nommerai x, y, z, les coor données de la molécule relativement aux axes OX, OY, OZ; D la droite qui joint cette molécule à l'origine, et par l'angle formé par cette ligne avec l'axe OX!, l'on aura

xD cos

l'on obtiendra cos en remarquant que la droite D fait avec OX,

D'après ces valeurs, si l'on pose, pour abréger,

ƒ•x3μ=ƒ‚ƒ•¥3μ—§‚ƒ• zaμ=1‚ƒ.xy u=ƒ'‚ f.xz u=g', f. y z μ=1',

les équations (a) deviendront

a al f+bb' g+h+ (a b' + a' b) f'+(a+a1) g'+(b+b' ) h' =o] a all f+bb" g+h+(a b'l + a" b) f' + (a + all) g' + (b +b") h'=0 (3) a all ƒ+bb" g+h+(a'b''+a'' b')ƒ'+(a' +all) g' + (b'+b'') h!=0)

Ces équations réunies aux équations (1), déterminent en gé néral les six quantités a, b, a', b', a", b. Pour arriver à l'équation finale en a, multiplions la premiere des équations (2) par a", la deuxième par a', et retranchons celle-ci de la precédente; multiplions-les ensuite par b" et b', et retranchons encore la deuxième de la première, il viendra

A......

B......

Sb (a' b'l — a1' b')ƒ + (a' — a") h + a (a' b'' — a" b')ƒ' (+ a (a' — a'') g' + b (a'— a'') h' + (a'.b"—'a'' b') l' —o

=

{a (a' b" — a" b') ƒ—(b — b") h + b (a' b' — a''b' )ƒ' — a (b1 — b'') g' + (a' b'' — a'' b') g' — b (b'—b") h—o · h=0

Les mêmes opérations faites sur les deux premières équations (1) donnent

A

...

B'..

a'

(a'—a") + b (aꞌ b' — aꞌꞌ b' ) = o

( bl — b" ) + a ( aꞌ b'' — aꞌꞌ b' ) = 0

Entre les équations A et A' éliminant a'-a" et a' b'a" b'; entre Bet B' éliminant pareillement b' - b'! et a' b'' — a" b', l'on trouve

bg-bh-af-abg'-bah'+h'o et af-ah+bf'—a»g'+g'—abh'o.

la dernière de ces équations donne

I'

b

a2 g' + a ( h—f) — g′.

f-ah

Cette valeur mise dans la première conduit à l'équation finale

F...—h' { a3 g'a (h-f)-g'} + {g—h—ag'}} =。

{arg'+a(h-f)-g'}+{af'+h'} {f'—ah1y=S

Cette équation paroît être du quatrième degré; mais il est facile de voir que le coefficient de 4 est nul: ainsi elle n'est que du troisième; donc elle donnera pour a au moins une valeur

réelle, et par suite une valeur réelle pour 6. En substituant ces valeurs de a et de 6 dans la première des équations (1) et (2), l'on aura pour a' et b' des valeurs réelles qui, substituées à leur tour dans la dernière des équations (1) et (2), feront trouver aussi des valeurs réelles pour a" et b". Donc pour chaque point d'un corps, il existe toujours un systême d'axes principaux.

Les équations (1) et (2) étant symétriques relativement aux inconnues, il s'ensuit que l'équation F doit donner les valeurs de a, a' et a''; mais elle n'est que du troisième degré; donc, en général, il n'y a qu'un systême d'axes principaux.

Cependant il y a des cas particuliers où il peut en exister plusieurs. La discussion de ce cas est facile, et peut se faire de plusieurs manières; nous ne nous y arrêterons pas.

Des Polygones et des Polyedres.

M. Cauchy, ancien élève de l'Ecole Polytechnique, ingénieur des Ponts et Chaussées, a présenté à l'Institut, en février 1811 et janvier 1812, deux beaux mémoires sur les polygones et les polyèdres; ils seront imprimés dans le seizième cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique de cette année. On connoîtra l'objet de ces deux mémoires, par les rapports suivans que la Classe de l'Institut a approuvés.

Rapport sur un Mémoire de M. CAUCHY, concernant les Polyėdres, par M. Malus (6 mai 1811 ).

La classe nous a chargés, M. Le Gendre et moi, de lui rendre compte d'un mémoire de M. Cauchy, renfermant différentes recherches sur les polyèdres.

Ce mémoire est divisé en deux parties. Dans la première M. Cauchy démontre qu'il n'existe pas d'autres polyèdres ré-guliers, que ceux dont le nombre des faces est 4, 6, 8, 12 ou 20.

M. Poinsot, dans un mémoire où il a donné la description de polygones et de polyèdres d'une espèce supérieure à celle qu'on a coutume de considérer, avoit déjà observé qu'on pouvoit former tous les polygones d'espèce supérieure, en prolongeant les côtés des polygones réguliers de première espèce. C'est en géné