SUR

L'ÉCOLE IMPÉRIALE POLYTECHNIQUE,

Rédigée par M. HACHETTE.

N°. 5. Janvier 1813. (2o. volume.)

S. Ier.

Tulle, le 15 septembre 1812.

GÉOMÉTRIE DE LA RÈGLE;

Par M. BRIANCHON, Officier d'artillerie.

PROBLEME.

I.

« Décrire une section conique assujettie à passer par n points " et à toucher 5 - n droites données. » (z ne peut avoir que l'une des six valeurs o, 1, 2, 3, 4, 5.)

Voici quelques-uns des cas pour lesquels ce problême peut être résolu avec la règle seule.

II.

no. On connoît cinq droites que la courbe doit toucher, c'est-à-dire qu'on veut inscrire une section conique à un pentagone donné. Les cinquième et huitième numéros du premier volume de la Correspondance contiennent une méthode pour déterminer, sans compas, non-seulement une infinité d'autres tangentes, mais encore les points de contact de chacune de ces tangentes. Les points où le pentagone donné est touché par la courbe, s'obtiennent aussi par des intersections de lignes droites.

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Pl. 1.

III.

1. On a pour conditions quatre droites tangentes 4B,BC, Fig. 1. CE, EA, et un point D de la courbe placé sur l'une CE de ces droites. Ce qui revient à inscrire une section dans un quadrilatère ABCE, dont un des côtés CE doit toucher la courbe en un point connu D. (Fig. 1, pl. 1.)

Fig. 2.

Fig. 3.

Construction.

Joignez, par une droite indéfinie, le point de contact D avec l'un des sommets opposés du quadrilatère donné, avec ▲ par exemple; puis, d'un point quelconque de AD, tirez aux sommets B, C, des droites prolongées suffisamment pour couper bet c, respectivement, les côtés, ou les prolongemens des côtés CE, EA: la ligne droite be sera tangente à la courbe cherchée, et on en déterminera le point de contact avec la règle seulement. (Cinquième cahier du premier volume, page 151.)

Scholie.

Si b se confond avec le sommet E, c sera le point de contact de EA. Donc on peut trouver les trois autres points de contingence du quadrilatère ABCE sans faire usage du compas.

n2. Trois tangentes BC, CE, EB sont données, ainsi que les points de contact D, A des deux dernières CE, EB, respec tivement.

1

Construction.

D'un point pris à volonté sur l'indéfinie AD, menez des droites aux sommets B, C, du triangle connu BCE, et prolongez-les, s'il le faut, pour qu'elles rencontrent en b et c, respectivement, les côtés opposés CE, EB; la droite be sera tangente à la section conique demandée, et on en obtiendra le point de contact, comme il a été dit précédemment (§. III, scholie). Le point où BC touche la courbe se trouve sur la droite qui joint le sommet E avec le point d'intersection de CA et BD.

V.

n3. Déterminer une section conique qui touche deux droites BI, DI, et passe par trois points B, D, C, dont les deux

premiers, B, D, sont situés, respectivement, l'un sur la première, l'autre sur la seconde droite.

Construction.

Soit I le point de concours des deux droites connues BI, DI. Ayant tiré les indéfinies CB, CD, on tracera arbitrairement une droite qui passe par I, et coupe en Het K, respectivement, les côtés CB, CD de l'angle BCD; et l'intersection F, des deux droites HD, KB, appartiendra à la courbe qu'on s'est proposé de construire.

Pour avoir maintenant la tangente en F, par H et par le point de jonction des deux diagonales du quadrilatère inscrit BCDF, menez une droite qui coupe en P et Q, respectivement, les deux droites BI, DI; PF et QC seront tangentes à la section conique en Fet C respectivement.

VI.

n4. On donne quatre points B, C, D, E, de la courbe, Fig. 4. et, de plus, une tangente BI passant par l'un, B, de ces points.

Construction.

Tracez les indéfinies BC, CD; et par le point I, où la tangente donnée est rencontrée par DE, menez à volonté une droite prolongée suffisamment pour couper en Het K, respectivement, les deux côtés BC, CD, de l'angle BCD. Joignez ensuite Het E, K et B par des droites dont le point de concours F sera un de ceux de la section conique.

Ayant ainsi cinq points B, C, D, E, F, de la courbe, la fig. 4 montre par quelle construction simple on détermine la tangente en l'un quelconque, B, de ces cinq points.

VII.

n5. Circonscrire une courbe du second ordre à un pentagone donné (1o volume de la Correspondance, no. 8, p. 310).

VIII.

Revenons sur l'hypothèse n=1. Ce cas peut être résolu avec Fig. 5. la règle, quand le point donné D se trouve sur l'une, BE, des deux diagonales du quadrilatère circonscrit ABCE.

Construction.

Par les extrémités, A, C, de l'autre diagonale, et par D,

Fig. 6.

menez les droites indéfinies AD, CD, qui coupent en a et c les côtés CE, AE, respectivement. Soit R le point de rencontre de AC et ac; la droite RD touchera la courbe en D, et ainsi la question est réduite à celle du §. III.

IX.

Dans l'hypothèse n 4, la construction s'effectue aussi sans compas, lorsque la tangente donnée IT passe par l'un, 1, des points de concours des côtés opposés du quadrilatère inscrit BCDE.

Construction.

Rétant le point de concours des deux autres côtés opposés, et O celui des deux diagonales du quadrilatère connu BCDE, tracez l'indéfinie RO qui, par son intersection avec IT, déterminera le point Toù cette tangente IT doit toucher la section conique. Le problême est donc ramené à ceux des §. VI et VII.

X.

Quelques-uns de ces problêmes sont traités spécialement dans les cours d'architecture. Consultez, à cet égard, un ouvrage de Blondel, iutitulé: Résolution des quatre principaux Problémes d'Architecture; au Louvre, 1673, in-folio.

XI.

Toutes les constructions précédentes se déduisent de la propriété bien connue des hexagones inscrits aux courbes du second degré. Il paroît que cette propriété a été découverte par Pascal, qui se contenta de l'indiquer dans son Essai sur les Coniques, publié en 1640. Elle a depuis été démontrée et reproduite sous d'autres formes par plusieurs géomètres; et cette diversité dans la manière d'énoncer une même proposition a beaucoup contribué à en faire connoître toute la fécondité. Tout porte à croire que ce théorême fondamental est le même que celui de l'hexagone mystique, sur lequel Pascal avoit établi tout un traité de sections coniques, qui ne nous est pas parvenu. (Voyez, dans les Œuvres de cet auteur, une lettre écrite par Leibnitz et placée à la fin du 5o. ou dernier volume de l'édition de 1779• )

XII.

L'hexagone de Pascal conduit à cet autre théorême général : « Si on construit une suite de triangles dont les sommets soient

respectivement sur les droites données, et dont les deux » premiers côtés, prolongés, s'il le faut, passent respectivement » par deux points donnés, tous les derniers côtés de ces triangles » toucheront une même courbe du second ordre dont les points » de contact pourront s'obtenir avec la règle seulement. »

Cette proposition est démontrée sous un autre énoncé, dans le 13°. cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique, pag. 3or, §. IX. La courbe enveloppée par les troisièmes côtés de ces triangles. variables se réduit à un point dans les deux cas suivans:

1°. Quand les trois droites fixes se croisent toutes en un même point (c'est le théorême du §. I. de la page 297 du 13°. cahier); 2o. Lorsque la droite qui joint les deux points donnés passe par le point de concours des deux droites fixes qui comprennent tous les derniers côtés des triangles mobiles. Ce cas particulier n'est autre que la cent trente-neuvième proposition de Pappus, qu'on retrouve dans le r. vol. de la Correspondance (8°. cahier, pag. 308), et dans le 10°. cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique, pag. 13.

Analyse de plusieurs Mémoires de Géométrie; lue à la première Classe de l'Institut, le 14 décembre 1812, par Ch. DUPIN, Capitaine en premier au Corps du Génie

maritime.

Vers la fin de 1805, au milieu d'un voyage que je dus faire pour me rendre de la Hollande en Italie où j'étais appelé, je commençai les recherches dont j'ai l'honneur de vous présenter les résultats.

Je les ai continuées pendant 1806 à Gênes, et pendant 1807 à Toulon, toujours dans les momens de loisir que me laissait mon

service.

Au commencement de 1808 j'obtins de suivre l'amiral Gantheaume dans les Iles Ioniennes, et d'y rester. Toujours aux extrémités de l'Empire, je me suis vu forcé, par des circonstances uniques peut-être, de me livrer à mes recherches mathématiques, je dirai presque sans secours, sans conseils, sans livres même. Il m'a fallu souvent épuiser mes forces pour retrouver des vérités déjà connues, ou les démontrer de nouveau. Enfin, sans cesse occupé par mille objets divers et commandé par les devoirs de mon état, c'est le travail d'un ingénieur que je vous présente, et non le fruit des méditations d'un savant. J'annonce ainsi que je me bornerai à des principes mathématiques qui ne seront pas d'une grande élévation, mais dont l'usage