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donné; ils sont des élémens secondaires de la courbure: cherchons donc la chaîne qui les rattache aux élémens mêmes de cette courbure des surfaces; et d'abord tous les systêmes de tangentes conjuguées, appartenant au même point d'une surface, doivent être liés entr'eux par une loi unique et constante; la

voici :

Quelle que soit la forme de la surface primitive, chacun de ses points peut être regardé comme le centre d'une certaine courbe du second degré, tracée sur le plan tangent, et telle, que chacun des systêmes de tangentes conjuguées correspondant à ce point, est un des systêmes de diamètres conjugués de cette courbe, que j'appelle indicatrice; parce qu'elle spécifie, parce qu'elle indique complètement la forme de la courbure des surfaces, à partir du point qui lui sert de centre.

Mais parmi tous les systêmes de diamètres conjugués, il en est un où les deux diamètres se coupent à angle droit, c'est celui des axes: le systême des tangentes conjuguées représenté par ces axes, sera celui des deux tangentes aux lignes de plus grande et de moindre courbure.

Je vais maintenant, en peu de mots, exposer quelques propriétés des tangentes conjuguées et de l'indicatrice.

Les rayons des sections normales de la surface sont directement proportionnels aux quarrés des diamètres de l'indicatrice. tangens à ces sections...... Il suit delà, que, si l'on fait deux sections normales dirigées suivant deux tangentes conjuguées, la somme des deux rayons de courbure de ces sections sera constante et égale à la somme des rayons de courbure de la surface elle-même: c'est une équation du premier degré entre ces rayons. Dans la partie analytique de notre théorie, nous faisons un trèsgrand usage de cette équation, qui simplifie et les considérations et les calculs.

Mais le plus grand avantage de l'indicatrice n'est pas de conduire à quelques propriétés plus ou moins remarquables, de la courbure des surfaces; c'est d'offrir pour tous les cas un moyen vraiment élémentaire de discuter et de déterminer cette courbure.

Suivant que l'indicatrice est une ellipse ou une hyperbole, les deux courbures de la surface sont dirigées dans le même sens ou en sens opposés ; et suivans ces deux cas, tous les rayons des sections normales sont dirigés dans le même sens, ou bien, une première série de rayons l'est dans un sens, et tous les rayons des sections conjuguées dans un sens opposé par conséquent les deux rayons de chaque systême de sections normales conjuguées, seront simultanément, dans tous les systêmes, de même signe ou de signe différent, et des-lors, ou leur somme ou leur différence constante et égale à la somme ou à la différence des

deux rayons de courbure de la surface, suivant que ces rayons principaux sont dirigés dans le même sens ou en sens contraire. Dans le premier cas, où, comme nous venons de le dire, l'indicatrice est une ellipse, si cette ellipse devient un cercle, le point qui correspond alors à l'indicatrice est un point singulier dont la considération est importante. Lorsque ces points, dont l'indicatrice est circulaire, sont isolés sur la surface, ils en sont ce qu'on appelle des ombilics; lorsqu'ils forment une courbe continue, c'est la ligne des courbures égales. Nous avons cherché à développer la théorie de ces points singuliers, par une analyse qui nous a conduit à des résultats que nous croyons nouveaux.

Passons maintenant au cas où l'indicatrice est une hyperbole; les asymptotes de cette indicatrice sont deux droites infiniment remarquables: chacune d'elles représente à elle seule un systême de deux tangentes conjuguées; chacune d'elles représente, en outre, toute une surface développable circonscrite à la surface donnée, et qui devroit la toucher tangentiellement à cette asymptote; enfin ces deux asymptotes ont pour caractère d'avoir, avec la surface donnée, non pas un simple attouchement comme les autres tangentes, mais un contact du second ordre. Les lignes asymptotiques, je veux dire les courbes par-tout tangentes à l'un des asymptotes de quelqu'indicatrice, ont avec les lignes de courbure des relations bien singulières: d'abord une des lignes de courbure divise en deux parties égales un des angles formés par les lignes asymptotiques; l'autre ligne de courbure divise en deux parties égales l'angle supplémentaire de celui-là. Par conséquent la connaissance des lignes asymptotiques conduit immédiatement, pour chaque point, à la connoissance de la direction des lignes de courbure.

Observous bien, d'ailleurs, que les lignes des deux courbures se coupent constamment à angle droit l'angle qu'elles forment n'indique aucune relation entre les deux courbures de la surface; mais il n'en est pas ainsi de la direction des lignes asymptotiques; var elle fait toujours connaître immédiatement le rapport des deux rayons de courbure de la surface.

Il est égal au cube de la tangente du demi angle formé par les lignes asymptotiques. Ce résultat peut être souvent utile dans la géométrie descriptive et ses applications aux arts.

Les surfaces du second degré, qui ont leurs courbures dirigées eu sens opposés, vont nous rendre sensibles ces généralités. Les surfaces de cette classe peuvent, comme on sait, être décrites de deux manières différentes par une ligne droite. Eh bien, ces deux droites génératrices qui passent ainsi par chaque point, sont les lignes asymptotiques mêmes, qui correspondent à ce point: ainsi les lignes de courbure des hyperboloides du second degré

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coupent, partout, en deux parties égales, les angles formés par les droites des deux générations de ces hyperboloides. Mais il a bien d'autres conséquences qu'on peut deduire de la considération des lignes asymptotiques, relativement à la courbure des surfaces gauches je me contenterai d'en indiquer une seule qui prendra quelqu'intérêt, parce qu'elle rappellera les recherches et le nom d'un illustre géomètre.

M. Delagrange a fait connaitre que les surfaces dont les deux courbures sont partout égales et dirigées en sens contraires, est toujours telle, que son aire entre une ou plusieurs courbes limites données, est un minimun. J'ajouterai maintenant que ces surfaces ont pour autre caractère geométrique, 1°. que les lignes asymptotiques forment constamment sur elles un systême de trajectoires orthogonales; 2°. qué partout leurs lignes de courbure font un angle de 50°. centigrades avec les lignes asymptotiques: je me contenterai d'observer que la surface gauche de la vis rectangulaire, ou celle de l'escalier à rampe circulaire, jouissent de ces diverses propriétés ; ce qui présente un moyen facile de tracer leurs lignes de courbure, qui, dans ce cas, offrent à l'architecture une décorarion aussi simple qu'élégante.

Jusqu'ici nous avons supposé que l'indicatrice dût être une ellipse ou une hyperbole; elle pourrait être une parabole. Alors la surface n'auroit au point donné ses deux courbures ni dans le même sens, ni en sens opposés; elle serait développable. Chaque arête rectiligne représenteroit à elle seule, pour chacun de ses points, toute une série complète de tangentes; et toute autre tangente de la surface, tracée à partir du même point, serait nécessairement conjuguée à cette droite : enfin l'on parviendrait, par ces considérations, à toutes les propriétés des surfaces développables.

En suivant cette route, j'ai ramené la discussion générale de la courbure des surfaces, au simple examen des formes diverses qu'affectent les lignes courbes du second degré ; et ces lignes sont si simples, si faciles à considérer, que, par leur moyen, la théorie de la courbure des surfaces semble devoir cesser d'appartenir à la géométrie transcendante, et rentrer dans la partie élémentaire de l'application de l'algèbre à la géométrie.

Après être parvenu aux divers résultats que je viens d'indiquer, par des considérations purement géométriques, il a fallu les exposer par l'analyse : c'est l'objet du deuxième et du troisième

mémoires.

Par des développemens tirés du théorême de Taylor, dans les fonctions à trois variables, je démontre les propriétés générales sur les contacts des surfaces dont les ordonnées éprouvent certaines variations déterminées, comme nous l'avons indiqué. Ensuite les

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équations des tangentes conjuguées, et les conditions d'obliquité ou d'orthogonalité de ces tangentes, m'ont donné d'abord leurs propriétés communes, en second lieu celles particulières aux lignes de courbures; et par quelques artifices d'analyse, je suis retombé sur les équations données par M. Monge; je l'ai fait, afin qu'on vît l'identité de ses conséquences avec les miennes, et que celles-ci, de la sorte, acquissent une confiance si méritée par les belles recherches de ce géomètre, dont je m'honorerai toujours d'avoir été et d'être encore l'élève.

Je ne puis entrer dans le détail des opérations analytiques nécessaires pour arriver aux principes que nous avons exposés jusqu'ici. Nous avons cherché, autant que nous avons pù, à suivre, quoique de loin, la marche que les mathématiciens modernes nous ont tracée, et qui donne à leurs productions un caractère de facilité et d'élégance qui fera vivre leurs méthodes autant que les grandes vérités qu'elles nous ont fait connaître.

Je me contenterai de dire qu'après avoir déterminé les caractères analytiques propres à chaque genre de courbure des surfaces, à partir d'un point donné, je suis parvenu aux équations mêmes des familles des surfaces qui, dans chacun de leurs points, présentent une courbure douée d'un seul et même caractère.

Tels sont les objets traités dans les trois premiers mémoires de l'ouvrage que j'ai l'honneur de soumettre à l'examen de la Classe. Si cet examen ne lui laisse point à penser que la suite de mes recherches ne mérite pas de lui être présentée, enhardi par cette indulgence, je produirai la suite des résultats auxquels je crois être parvenu, et les applications que j'ai tenté d'en faire aux méthodes de la Géométrie descriptive, à la stabilité des vaisseaux, aux déblais et remblais, et à l'optique.

Ces applications, si je ne me trompe, feront entrevoir que les géneralités qui les précèdent, ne sont pas seulement des spéculations oiseuses; mais qu'elles pourroient devenir d'un intérêt immédiat, si, saisies par des mains plus exercées, leurs conséquences étoient portées dans les objets d'une utilité générale.

Conformément aux conclusions du rapport de MM. Carnot, Monge, et de M. Poisson rapporteur, ces mémoires ont été jugés dignes de l'approbation de la première Classe de l'Institut. Nous proposerions, disent les commissaires de la classe dans leur rapport, d'insérer ces mémoires dans le Recueil des Savans étrangers, si l'auteur ne les avoit destinés à un autre usage.

Ils composent la première section d'un ouvrage ayant pour titre : Développemens de Géométrie, etc., qui s'imprime actuellement. Il paroîtra en mai 1813, 1 vol. in-4°.

GNOMONIQUE ANALYTIQUE,

Par M. PUISSANT.

Définitions.

Si on conçoit une tige de fer droite, dirigée parallèlement à l'axe du monde, et scellée dans un mur, du côté où l'une de ses faces planes est éclairée par le soleil, l'ombre de la tige entière représentera sur ce mur la trace d'un méridien celeste passant par le centre du soleil; et l'ombre de l'extré mité antérieure de la tige parcourra, dans le même jour, une courbe qui sera la trace d'un cône droit, dont la génératrice fait avec la tige un angle égal au complément de la déclinaison de l'astre. L'objet de la gnomonique est d'indiquer l'heure et le jour de ces deux phénomènes.

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Vu l'énorme distance à laquelle le soleil se trouve de nous il est permis de supposer que la tige ou l'axe du cadran solaire se confond avec celui de rotation de la terre; et à cause de la lenteur du mouvement de l'astre dans l'écliptique, il est permis en outre de supposer sa déclinaison constante pendant sa présence sur l'horizon.

Le centre du cadran est le point où son axe, réduit par la pensée à une ligne mathématique, le rencontre. Ce point peut être pris en même temps pour le centre de la terre.

La trace du méridien du lieu sur le cadran se nomme la méridienne, parce que c'est sur cette ligne que tombe précisément l'ombre de l'axe à midi vrai.

La projection de l'axe ou du style sur le cadran s'appelle la soustylaire; cette ligne est donc la trace même d'un méridien perpendiculaire au plan du cadran. En général, la trace d'un méridien se nomme une ligne horaire.

On dit qu'un cadran vertical décline, lorsqu'il n'est point perpendiculaire au méridien du lieu.

Quoique toutes les questions de gnomonique se résolvent facilement et avec élégance par les procédés de la géométrie des

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