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coupent, partout, en deux parties égales , les angles formés par les droites des deux générations de ces hyperboloïdes. Mais il y a bien d'autres conséquences qu'on peut deduire de la considération des lignes asymptotiques, relativement à la courbure des surfaces gauches : je me contenterai d'en indiquer une seule qui prendra quelqu'intérêt, parce qu'elle rappellera les recherches et le nom d'un illustre géomèire.

M. Delagrange a fait connaitre que les surfaces dont les deux courbures sont partout égales et dirigées en sens contraires, est toujours telle , que son aire entre une ou plusieurs courbes limites données, est un minimun. J'ajouterai maintenant que ces surfaces ont pour autre caractère geométrique, 1°. que les lignes asymptotiques forment constamment sur elles un système de trajectoires orthogonales ; 2°. que partout leurs lignes de courbure font un angle de 50°.centigrades avec les lignes asymptotiques: je me contenterai d'observer que la surface gauche de la vis rectangulaire, ou celle de l'escalier à rampe circulaire, jouissent de ces diverses propriétés ; ce qui présente un moyen facile de trạcer leurs lignes de courbure, qui, dans ce cas, offrent à l'architecture une décorarion aussi simple qu'élégante.

Jusqu'ici nous avons supposé que l'indicatrice dût être une ellipse ou une hyperbole; elle pourrait être une parabole. Alors la surface n'auroit au point donné ses deux courbures ni dans le même sens, nien sens opposés; elle serait développable. Chaque arête rectiligne représenteroit à elle seule, pour chacun de ses points, toute une série complète de tangentes; et toute autre tangente de la surface, tracée à partir du même point, serait nécessairement conjuguée à cette droite : enfin l'on parviendrait, par ces considérations, à toutes les propriétés des surfaces développables.

En suivant cette route, j'ai ramené la discussion générale de la courbure des surfaces, au simple examen des formes diverses qu'affectent les lignes courbes du second degré; et ces lignes sont si simples, si faciles à considérer, que, par leur moyen, la théorie de la courbure des surfaces semble devoir cesser d'appartenir à la géométrie transcendante, et rentrer dans la partie élémentaire de l'application de l'algèbre à la géométrie.

Après être parvenu aux divers résultats que je viens d'indiquer, par des considérations purement géométriques, il a fallu les exposer par l'analyse : c'est l'objet du deuxième et du troisième mémoires.

Par des développemens tirés du théorême de Taylor, dans les fonctions à trois variables, je démontre les propriétés générales sur les contacts des surfaces dont les ordonnées éprouveni certaines variations déterminées, comme nous l'avons indiqué. Ensuite les

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équations des tangentes conjuguées , et les conditions d'obliquité ou d'orthogonalité de ces tangentes, m'ont donné d'abord leurs propriétés communes , en second lieu celles particulières aux Îignes de courbures ; et par quelques artifices d'analyse , je suis retombé sur les équations données par M. Monge ; je l'ai fait, afin qu'on vît l'identité de ses conséquences avec les miennes, et que celles-ci, de la sorte, acquissent une confiance si méritée par les belles recherches de ce géomètre, dont je m'honorerai toujours d'avoir été el d'être encore l'élève.

Je ne puis entrer dans le détail des opérations analytiques nécessaires

pour

arriver aux principes que nous avons exposés jusqu'ici. Nous avons cherché, autant que nous avons pů, à suivre, quoique de loin, la marche que les mathématiciens modernes nous ont tracée, et qui donne à leurs productions un caractère de facilité et d'élégance qui fera vivre leurs méthodes autant que les grandes vérités qu'elles nous ont fait connaître.

Je me contenterai de dire qu'après avoir déterminé les caractères analytiques propres à chaque genre de courbure des surfaces, à partir d'un point donné, je suis parvenu aux équations mêmes des familles des surfaces qui, dans chacun de leurs points, présentent une courbure douée d'un seul et même caractère.

Tels sont les objets traités dans les trois premiers mémoires de l'ouvrage que j'ai l'honneur de soumettre à l'examen de la Classe. Si cet examen ne lui laisse point à penser que la suite de mes recherches ne mérite pas de lui être présentée, enhardi par cette indulgence, je produirai la suite des résultats auxquels je crois être parvenu , et les applications que j'ai tenté d'en faire aux méthodes de la Géométrie descriptive, à la stabilité des vaisseaux, aux déblais et remblais, et à l'optique.

Ces applications, si je ne me trompe, feront entrevoir que les généralités qui les précèdent, ne sont pas seulement des spéculations oiseuses ; mais qu'elles pourroient devenir d'un intérêt immédiat, si, saisies par des mains plus exercées, leurs conséquences étoient portées dans les objets d'une utilité générale.

Conformément aux conclusions du rapport de MM. Carnot, Monge, et de M. Poisson rapporteur, ces mémoires ont été jugés dignes de l'approbation de la première Classe de l'Institut. Nous proposerions, disent les commissaires de la classe dans leur rapport , d'insérer ces mémoires dans le Recueil des Savans étrangers, si l'auteur né les avoit destinés à un autre usage.

Ils composent la première section d'un ouvrage ayant pour titre : Développenens de Géométrie, etc., qui s'imprime actuellement. Il paroîtra en mai 1813, 1 vol. in-4o.

GNOMONIQUE ANALYTIQUE,

Par M. PUISSANT.

Définitions.

Si on conçoit une tige de fer droite, dirigée parallèlement à l'axe du monde, et scellée dans un mur, du côté où l'une de ses faces planes est éclairée par le soleil, l'ombre de la tige entière représentera sur ce mur la trace d'un méridien céleste passant par le centre du soleil ; et l'ombre de l'extrém mité antérieure de la tige parcourra , dans le même jour, une courbe qui sera la trace d'un cône droit, dont la génératrice fait avec la tige un angle égal au complément de la déclinaison de l'astre. L'objet de la gnomonique est d'indiquer l'heure et le jour de ces deux phénomènes.

Vu l'énorme distance à laquelle le soleil se trouve de nous il est permis de supposer que la tige ou l'axe du cadran solaire se confond avec celui de rotation de la terre; et à cause de la lenteur du mouvement de l'astre dans l'écliptique, il est permis en outre de supposer sa déclinaison constante pendant sa présence sur l'horizon. Le centre du cadran est le point où son axe, réduit

par

la pensée à une ligne mathématique, le rencontre. Ce point peut être pris en même temps pour le centre de la terre.

La trace du méridien du lieu sur le cadran se nomme la méridienne, parce que c'est sur cette ligne que tombe précisément l'ombre de l'axe à midi vrai.

La projection de l'axe ou du style sur le cadran s'appelle la soustyluire ; cette ligne est donc la trace même d'un méridien perpendiculaire au plan du cadran. En général, la trace d'un méridien se nomme une ligne horaire.

On dit qu'un cadran vertical décline , lorsqu'il n'est point perpendiculaire au méridien du lieu.

Quoique toutes les questions de gnomonique se résolvent facilement et avec élégance par les procédés de la géométrie des

criptive, il est cependant nécessaire de faire usage du calcul, lorsqu'on veut tracer les lignes d'un cadran solaire avec toute la précision possible. J'ai seulement pour but, dans ce petit mémoire, de résoudre par l'analyse ce problême général :

Déterminer les lignes horaires et les courbes de déclinaison sur un cadran vertical déclinant, connaissant la longueur de l'axe, la méridienne et la déclinaison du cadran , ainsi que la latitude du lieu (1).

Détermination des lignes horaires.

Rapportons les points de l'espace à des coordonnées rectangles, et prenons à cet effet , pour axe des x, l'intersection du méridien du lieu avec l'horizon, pour axe des j

la trace du premier vertical sur ce dernier plan, et par conséquent pour axe des z la verticale du lieu du cadran.

L'origine des coordonnées pouvant être considérée comme le centre de la terre ou de la sphère céleste , "la droite qui joint ce point et le pôle du monde sera toute entière dans le plan des xz, et fera , avec l'axe des x, un angle a égal à la latitude du lieu ou à la hauteur du pôle; de sorte que dans l'équation

ZA+ By, qui est celle du plan d'un méridien quelconque, on aura

A=tang.no Quant au coefficient B, il dépend visiblement de l'angle que ce méridien fait avec le plan des xx, c'est-à-dire de l'angle horaire p réduit en degrés, à raison de 1 heure pour 15°. Or, on sait que B

Ba cos p

donc
cosa p =

seca + Ba? VitA' + B*

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(1) Voyez, pour la détermination de ces élémens, les traités de Gnomonique, et le' Journal de l'École Polytechnique , tom. IV, pag. 261.

Il suit de là que l'équation du plan d'un cercle horaire est

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cas,

En faisant successivement s et z nulles, on aura les traces verticales et horizontales de ces cercles ; et si on prend positivement l'angle horaire p après midi, les lignes horaires seront toutes dirigées vers l'est : le contraire aura lieu en considérant p comme négatif; et pour lors , dans l'un comme dans l'autre

les x positives se compteront du sud au nord, les y positives de l'ouest à l'est, et les positives de haut en bas.

Maintenant soit pris pour cadran le plan même des yx, c'est-à-dire , le plan vertical non déclinant : on aura pour l'équation des lignes horaires

cotp

(2)

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COS

et si H désigne l'angle qu'une de ces lignes fait avec l'axe des z ou la méridienne; on aura par conséquent

tang ” cosa tang P,

H=

ou, désignant par į l'inclinaison de l'axe ou du style sur le cadran, on aura , à cause de i=90°à,

tang H = sin i tang p; (3) équation qui a lieu pour le cadran horizontal comme pour le cadran vertical régulier; mais dans le cas du premièr cadran, on a nécessairement is

Pour résoudre le problème que nous avons principalement en 'vue , soit e la déclinaison du cadran, comptée de l'ouest au nord, à partir de l'axe des y ; et afin de prendre les coordonnées des points des lignes horaires dans le plan même du cadran, ce qui est beaucoup plus commode pour les constructions , employons les formules connues pour passer d'un système de coordonnées rectangles à un autre système de même nature, savoir,

Q =g' sino + c cos ,
y =g' cos e

x sine,

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