criptive, il est cependant nécessaire de faire usage du calcul, lorsqu'on veut tracer les lignes d'un cadran solaire avec toute la précision possible. J'ai seulement pour but, dans ce petit mémoire, de résoudre par l'analyse ce problême général:

Déterminer les lignes horaires et les courbes de déclinaison sur un cadran vertical declinant, connaissant la longueur de l'axe, la méridienne et la déclinaison du cadran, ainsi que la latitude du lieu (1).

Détermination des lignes horaires.

Rapportons les points de l'espace à des coordonnées rectangles, et prenons à cet effet, pour axe des x, l'intersection du méridien du lieu avec l'horizon, pour axe des y la trace du premier vertical sur ce dernier plan, et par conséquent pour axe des z la verticale du lieu du cadran.

L'origine des coordonnées pouvant être considérée comme le centre de la terre ou de la sphère céleste, la droite qui joint ce point et le pôle du monde sera toute entière dans le plan des xz, et fera, avec l'axe des x, un angle a égal à la latitude du lieu ou à la hauteur du pôle ; de sorte que dans l'équation

z=Ax+ By,

qui est celle du plan d'un méridien quelconque, on aura

Atang. λ.

Quant au coefficient B, il dépend visiblement de l'angle que ce méridien fait avec le plan des xz, c'est-à-dire de l'angle horaire p réduit en degrés, à raison de 1 heure pour 15°. Or, on sait que

(1) Voyez, pour la détermination de ces élémens, les traités de Gnomonique, et le Journal de l'École Polytechnique, tom. IV, pag. 261.

Il suit de là que l'équation du plan d'un cercle horaire est

En faisant successivement et z nulles, on aura les traces verticales et horizontales de ces cercles; et si on prend positivement l'angle horaire p après midi, les lignes horaires seront toutes dirigées vers l'est le contraire aura lieu en considérant p comme négatif; et pour lors, dans l'un comme dans l'autre cas, les x positives se compteront du sud au nord, les y positives de l'ouest à l'est, et les positives de haut en bas.

:

Maintenant soit pris pour cadran le plan même des yz, c'est-à-dire, le plan vertical non déclinant on aura pour l'équation des lignes horaires

et si H désigne l'angle qu'une de ces lignes fait avec l'axe des z ou la méridienne, on aura par conséquent

ou, désignant par l'inclinaison de l'axe ou du style sur la cadran, on aura, à cause de i — 90o — λ,

équation qui a lieu pour le cadran horizontal comme pour le cadran vertical régulier; mais dans le cas du premier cadran, on a nécessairement iλ.

Pour résoudre le problême que nous avons principalement en vue, soit la déclinaison du cadran, comptée de l'ouest au nord, à partir de l'axe des y; et afin de prendre les coordonnées des points des lignes horaires dans le plan même du cadran, ce qui est beaucoup plus commode pour les constructions, employons les formules connues pour passer d'un systême de coordonnées rectangles à un autre systême de même nature, savoir,

xy' sinx' cose,

alors l'équation (1), rapportée aux nouvelles coordonnées, deviendra

z cosλ=x' sin a cos+y' sin a sin
-x'cot p sin+y'cotp cos

} (4)

De là l'équation des lignes horaires, sur le plan vertical déclinant y' z', est

cosay (sin a sine+cot p cos ); (5)

ainsi appelant toujours H l'angle d'une de ces lignes avec la méridienne, on a

Cette formule, qui est une de celles de la trigonométrie sphérique, se calcule plus commodément par les logarithmes, en décomposant le second membre en facteurs; mais pour rendre cette décomposition possible, soit un angle auxiliaire 4, tel qu'on cot HK cos (

ait

·),

K étant de plus un coefficient inconnu dont on déterminera la valeur ainsi qu'il suit :

ensuite, si on égale terme à terme cette valeur de cot H avec la précédente, on aura

cot p COS A

K sintang λ,

K cos =

partant

K

tang a
sin

tang = sin a tangp (7)

La valeur de tango, qui est analogue à celle (3), fait voir, comme les considérations géométriques, que le cadran irrégulier et le cadran horizontal peuvent se déduire réciproquement l'un de l'autre.

Il est utile de connoître l'angle que la soustylaire fait avec la méridienne du plan du cadran, ainsi qu'on le verra bientôt

Pour trouver cet angle, soit celui qu'un cercle horaire fait en général avec le cadran ; on aura

en représentant généralement par 'Mx' + Ny', l'équation (4) du plan de ce cercle, et auquel cas

Mais pour particulariser le cercle que nous considérons, soit V90°, ou cos Vo; alors on aura

en désignant par p' la valeur actuelle de

Mo, d'où l'on tire,

P,

(9)

Telle est la relation qui doit exister entre les angles, à et p', pour que le cercle horaire faisant un angle p' avec le méridien du lieu, soit perpendiculaire au cadran. Mais, par ce qui précède, la tangente de l'angle d'une ligne horaire avec la méridienne du cadran, est, en général,

donc celle de l'angle H' de la soustylaire avec cette même méridienne sera, à cause de la relation précédente,

Cetangle H' est nécessairement nul en même-temps que; ainsi, lorsque le cadran est vertical non déclinant, la soustylaire et la méridienne se confondent; ce qui est d'ailleurs de toute évidence.

Supposons maintenant qu'un certain nombre de méridiens soient placés symétriquement de part et d'autre du plan déterminé par l'axe du cadran et sa projection ou la soustylaire: dans ce cas, leurs traces sur le cadran seront de même disposées symétriquement à droite et à gauche de cette soustylaire; si donc l'on prenoit pour axe des coordonnées, cette ligne et une droite qui fui fût perpendiculaire, et qui se trouvât toujours sur le cadran, les traces ou lignes horaires dont il est question, se

détermineroient par la même formule relative au cadran vertical non déclinant; seulement il faudroit substituer pour λ le complément de l'angle i que l'axe fait avec la soustylaire, et pour p l'inclinaison d'un cercle horaire sur le plan de l'axe et de la soustylaire, ce qui est assez évident. Or, l'heure à laquelle le centre du soleil se trouve dans ce plan est, par ce qui précède, sin a

donné par la formule cot p'=

tang puisque p' est l'angle horaire compté à partir du méridien du lieu.

Désignant donc par P un autre angle horaire supposé plus grand que p', on aura ☎ =P— p'; et l'équation (3) en y changeant H en h, afin d'indiquer que l'angle h se compte maintenant de la soustylaire, deviendra alors,

ou

tang sin i tang = sin i tang (P—p')

tang (H-H')=sin i tang (P— p').

"}

(11)

Ce dernier procédé, qui pourra être employé pour déterminer les directions des lignes horaires sur le cadran vertical déclinant, sera plus simple que celui qui dérive de l'emploi de la valeur ci-dessus de cot H.

Si on vouloit avoir l'angle i en fonction de la déclinaison du cadran et de la hauteur à du pôle, cela seroit très facile : en effet, on remarquera que l'équation du plan y'z' du cadran, par rapport aux coordonnées primitives, est

sont les équations d'une droite, et que

Ax+By+Cz+D=0

est celle d'un plan, le sinus de l'angle i de cette droite avecc