On en conclura pour le cas actuel, et à cause de résultat qui se déduit d'ailleurs immédiatement de la trigonométrie sphérique, ainsi que tous ceux qui précèdent. On trouveroit de la même manière l'inclinaison de l'axe sur une ligne horaire, supposant que l'on connût les angles i et h; et il pas difficile de voir que l'on auroit n'est cos &= cos i cos h=cos i cos (H—H' ) Détermination des Courbes diurnes. (13) L'équation d'une courbe diurne, c'est-à-dire, de celle que trace sur le cadran l'ombre de l'extrémité de l'axe, ou un faisceau de lumière passant par une petite ouverture circulaire pratiquée au milieu d'une plaque qui tient souvent lieu d'axe, se détermine comme il suit : Soit r la longueur de l'axe, prise en même temps pour celle du rayon d'une sphère concentrique à la sphère céleste; et supposons pour un moment que le centre de cette petite sphère soit l'extrémité antérieure de cet axe. Supposons, de plus, que la déclinaison du soleil soit boréale, ou, ce qui est de même que la latitude du parallèle décrit par cet astre en vingtquatre heures, soit +. Comme le plan de ce parallèle est perpendiculaire à celui des xz, son équation sera généralement z= A'x+D', et à cause que A' est, dans ce cas, la tangente de l'angle qu'il fait avec le plan des xy, on a A'cot &; D'ailleurs, la plus courte distance de l'origine des coordonnées au plan de ce même parallèle, étant égale d'une part à r sin d, et Actuellement, il s'agit de trouver l'équation de la surface conique engendrée par le rayon lumineux qui décrit la courbe de déclinaison sur le plan. Or, les projections verticales de ce rayon sont en général x=mz, y=nz l'équation de la sphère est x2+ y2+s2=r et celle du plan d'un parallèle à l'équateur, z = A'x + D'; par conséquent, si on suppose que ces quatre équations aient lieu en même temps, on trouvera, en les combinant entr'elles, que l'équation de la surface conique cherchée est et si on fait x constante et égale à «, l'équation résultante 1 sera celle de la trace du cône sur un plan vertical parallèle à l'axe des y, et par conséquent non déclinant. Substituant pour A' et D' leurs valeurs précédentes, et faisant attention que a=r cos λ, on aura, après les opérations nécessaires, et avoir fait z négative, afin de se conformer à l'hypothèse faite sur la déclinaison & du soleil, 2*(sin’♪—sin’a)+2rzcos2asina+y'sin❜d—r2cos2a(cos❜a—sin’♪}. Cette équation devient plus simple, quand on place l'origine des z à la racine même de l'axe du cadran, comme on l'a fait précédemment, et alors on a z = z' — r sin a; par suite (cos3i—sin3d)—2rz'cosicos'♪—yasin'd+r2cos2d=0, à cause de i 9ɔo — a. (15) Il suit de là que la courbe diurne ou de déclinaison est une hyperbole ou une ellipse, selon que le complément de l'inch naison de l'axe sur le cadran est plus grand ou plus petit que la déclinaison du soleil; elle est, au contraire, une parabole, si cos i sin ♪. Lorsqueo, l'équation précédente se réduit à ce qui signifie que l'équinoxiale du cadran est une droite perpendiculaire à la soustylaire; et en effet, le plan de l'équateur dans lequel se trouve alors le soleil, étant perpendiculaire à l'axe du monde, la trace de ce plan sur le cadran doit être aussi perpendiculaire à la projection de l'axe. Il est remarquable que l'équation ci-dessus de la courbe diurne, et même celles (11) et (13), conviennent parfaitement à un cadran situé d'une manière quelconque, à l'égard des plans coordonnés primitifs; pourvu que, sans changer l'origine des coordonnées, l'on prenne pour axe des z' la soustylaire, et pour axe des y' une perpendiculaire à cette ligne, située dans le plan du cadran. Dionis-du-Séjour, en résolvant les mêmes questions à la fin du premier volume de son Traite analytique du Mouvement apparent des Corps célestes, mais par une analyse toute différente de celle qui précède, n'a pas manqué de choisir ce systême de coordonnées, parce que les formules pour calculer les parties d'un cadran solaire sont, par ce moyen, aussi simples qu'il est possible de le désirer. Pour compléter la théorie actuelle, j'observerai que l'on détermine très-facilement les points où les courbes de déclinaison coupent les lignes horaires, en calculant les distances de ces. points au centre du cadran, à l'aide des angles, %, et de la longueur r de l'axe ; car soit une de ces distances, on aura, par la propriété du triangle rectiligne, dans la supposition que la déclinaison du soleil est boréale on écriroit au dénominateur, cos (—) au lieu de cos ( § +d`),‚... si la déclinaison étoit australe. Les points de la méridienne du temps moyen se déterminent par la même méthode; on cherche la ligne horaire correspondante à midi moyen pour un jour proposé, puis l'on obtient par la formule (17) la valeur de r', en faisant usage de la déclinaison. du soleil pour ce jour-là. Exemple numérique. Le cadran solaire exécuté au Dépôt général de la guerre, dont la latitude a = 48°51′37′′, décline vers l'ouest d'une quantité angulaire 29°23', et la longueur de l'axe r=1",4915; trouver la ligne horaire de 1 heure, et le point où la courbe de déclinaison du soleil coupe cette ligne, lorsque cette déclinaison est boréale et égale à ♪ 14° 29' 20". p' H' 36°.47′50′′. D'abord l'angle horaire.............. Poup = 15o. Celle (11)............. 23°.12'25". i= 34°.58'30". .... H—H'—— 12°.54′40′′. Ainsi l'angle de la ligne horaire de 1 heure avec la méridienne H = 10°.17′45′′. = 36°.59'40". 72,3189. Les quantités p', H', i étant constantes pour le même cadran, il ne s'agira par conséquent que de recourir aux formules (11), (13) et (17), pour déterminer tout autre point d'intersection. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE, Par M. PUISSANT. Problême. Soient quatre droites a, b, c, e, partant d'un même point S de l'espace, et supposons que les trois premières, a, b, c, forment un angle triedre; on demande la relation qui existe entre les angles que la quatrième droite ę fait avec chacune des trois autres. Solution. Si, par un point quelconque de la droite e, autre que S, on mène un plan perpendiculaire à cette droite, ce plan coupera les trois autres droites a, b, c, en des points A, B, C, qui pourront être considérés comme les sommets des angles de la base d'une pyramide triangulaire SABC; et, en vertu d'une propriété connue des polyèdres, le carré de la face ABC sera égal à la somme des carrés des trois autres faces, moins deux fois la somme des produits de ces autres faces multipliées deux à deux, et par le cosinus de l'angle dièdre qu'elles comprennent. (Voyez la Géométrie de position, ou mon Recueil de propositions de géométrie, pag. 225, 2°. édition) (*). (*) Théorême. Soient M, N, P, Q, les aires des quatre triangles, faces d'une pyramide triangulaire; m, n, p, les angles des faces de cette pyramide dans l'ordre suivant : m angle des faces Net P; n angle des deux faces Met P; p angle des deux faces Met N; soient enfin a, 6, y, les angles du plan de la face Q avec les plans des trois autres faces M, N, P, on aura l'équation suivante: (A) Q2=M2+N2+P2-2NPcosm-2PMcos n-2MNcos p. Une aire quelconque plane et sa projection sur un plau, sont dans le rapport du rayon au cosinus de l'angle formé par le plan de l'aire et par le plan sur lequel on la projette. D'où il suit qu'en projetant trois quelconques des quatre faces M, N, P, Q, sur le plan de l'une d'elles, par exemple sur le plan de la face M, les trois projections seront Ncos p, P cos n, Qcos α. Or, la face M, est égale à la somme de ces trois projections; donc on a l'équation (1) MN cos p + P cos n + Q cos a. Projetant successivement la pyramide entière sur ses trois faces N, P, Q, on conclura : Substituant dans l'équation (4) pour cosa, cos B, cosy, leurs valeurs tirées des équations (1), (2), (3), on aura, en ajoutant les termes semblables, l'équation (4). Cette démonstration s'applique à un polyèdre quelconque dont on connoît les faces, et les angles de l'une quelconque de ces faces avec toutes les autres, ainsi que M. Carnot l'a fait voir dans sa Géométrie de position, pag. 310. H. C. f |