Dans le Mémoire sur la Théorie du Son, qui fait partie du quatorzième cahier du Journal de notre Ecole, j'ai donné (page 367), sous une forme différente et moins simple, des intégrales particulières de l'équation (1), qui reviennent à celles que nous venons de trouver. EXEMPLE II. Considérons l'équation (I (1 + q) r2p.q s. + (1 + p2) 8 = 0, (1) qui appartient à la surface dont les deux courbures en chaque point sont égales et tournées en sens contraires. En y faisant s = rf'p, t=r('p)", elle devient [1+q2 — 2pq. f' p + (1 + p2) {ƒ'p)']r = 0 ; si l'on supprime le facteur r, et que l'on multiplie tous les termes par dp, on a cette équation différentielle, (1 + q3) dp2 — 2 pq dp dq + (1 + p') dq2 = 0. (2) Pour l'intégrer, je la différentie d'abord en prenant la différentielle dp constante, ce qui donne d'yo; on aura donc a et b étant deux constantes dont une seule doit rester arbitraire. En effet, en substituant ces valeurs de q et dq, dans l'équation (2), on trouve, toute réduction faite, et cette valeur de 9 satisfait à l'équation (1), comme intégrale particulière. ( L'équation (3) est facile à intégrer par les méthodes connues; désignant la fonction arbitraire, on trouve pour son intégrale, ¿ = q ( x + ay ) + yV—i—a*, (4) laquelle doit aussi satisfaire à l'équation (1), comme il est aisé de le vérifier. Cette intégrale contient l'équation du plan, comme cas parti culier; car si l'on prend 4(x+ay) = a ( x + ay) + 4, et que l'on fasse, pour abréger, aa + V—i—a2 = 6, 6, y, étant trois constantes arbitraires. Non-seulement le plan est compris dans l'équation (4), mais il est la seule surface réelle que l'on en puisse déduire: au moyen de la fonction arbitraire qu'elle contient, on peut bien assujettir la surface représentée par cette équation, à passer par une courbe donnée; mais alors cette surface se réduira à une courbe isolée, de la même manière que les courbes planes se réduisent quelquefois à des points qu'on appelle conjugués. Par exemple, si l'on trace sur le plan des z etx une courbe quelconque, parlaquelle on veut faire passer la surface en question, ii faut faire y = dans l'équation (4), ce qui la réduit à z = 4 x, équation qui doit coincider avec celle de la courbe donnée, ce qui détermine la forme de la fonction . Maintenant, pour savoir si la surface s'étend hors du plan des x et z, je donne à y une valeur que l'on pourra supposer aussi petite qu'on voudra; développant la valeur de z, suivant les puissances de y, on aura s = 4 x + y (a q'x + V — 1 — a3) + —_—_— a2 q11 x + elc. ; 2 or, il est évident qu'excepté le cas où 'x seroit une quantité constante, le cofficient de y sera imaginaire, et par conséquent aussi la valeur de z. Le cas d'exception, où q'x est une constante, est le cas dans lequel la courbe tracée sur le plan des x et z, est une droite, et où la surface demandée est un plan; donc le plan est la seule surface réelle qui soit comprise dans l'équation (4). Ĉe résultat étoit facile à prévoir, en observant que l'équation (1) est celle des surfaces dont les deux courbures en chaque point sont égales et contraires; d'ailleurs, l'équation (3) appartient à une surface développable, et même à un cylindre, dont la propriété est d'avoir en tous ses points une de ses courbures nulle; il faut donc, pour qu'une même surface satisfasse à-la-fois à ces deux équations, qu'elle ait ses deux courbures nulles, ou qu'elle soit plane dans toute son étendue. d'une surface quelconque du second degré, rapportée à son centre comme origine, trouver la grandeur R d'un de ses demi axes rectangulaires? Solution. Si l'on conçoit la sphère dont le rayon est R, et qui est concentrique à sa surface, l'équation de la surface de cette sphère, rapportée à la même origine et aux mêmes lignes des x, y, z, sera x2 + y2 + z2 = R2 (B) et ces deux surfaces se toucheront dans deux des sommets de la surface du second degré pour chacun desquels les quantités x, y, Z , p, q auront les mêmes valeurs. Si l'on différentie partiellement ces deux équations, la première donnera Ax + Fy + Ez + p (Ex + Dy + Cz) = 0 Fx + By + Dz+9( et la seconde, x + px = 0 y+9% = 0. Ces quatre dernières équations, par l'élimination des deux quantités p, q, donneront les deux nouvelles équations z (Ax+Fy + Ez) — x【Ex + Dy + Cz) = 0 (C) i z (Fx+By+Dz) — y ( )=0 (D) Et si entre les quatre équations (A), (B), (C), (D), on élimine les trois coordonnées x, y, z, il résultera l'équation qui donnera la valeur de R. Pour faciliter cette élimination, faisons Ax + Fy + Ez = L (E) Fx+By+Dz=M (F) Ex+Dy+CN (G) ce qui introduit les trois nouvelles indéterminées L, M, N. Les trois équations (A), (C), (D), deviendront et nous aurons les sept équations (A'),(B),(C'),(D'), (E),(F),(G), entre lesquelles il faudra éliminer les six quantités a‚y‚1⁄2‚L‚M‚Ñ. Or, les trois dernières équations (4'), (C'), (D'), donnent pour x,y,, les valeurs suivantes donc les valeurs de x, y, z, deviendront x=LR*, y=MR', z=NR'. Actuellement si l'on substitue les valeurs de x, y, z, dans les trois équations (E), (F), (G), elles deviendront L{AR'—1) + M ER' L FR + NER' +M(BR2-1)+ N DR2 :} (E') (F) +MDR' +N(CR-1)=0) (G') entre lesquelles il ne s'agit plus que d'éliminer les trois quantités L, M, N, ce qui est possible, puisque les seconds membres sont tous trois égaux à zéro, et donnent pour résultat ABC+2 DEFA'D' + B'E' + C'F' enfin, remettant par A', B', C', leurs valeurs, et ordonnant R° {ABC + 2 DEF — AD2 — BE1- CF"} + R2 {A + B + C} —D2 Equation qui donne les valeurs des six demi axes rectangulaires ; ces demi axes sont égaux deux à deux et de signes contraires, ce qui réduit l'équation au troisième degré. Autre Solution du même Probléme, Par M. HACHETTE. Soit l'équation générale de la surface du second degré, rapportée à trois droites rectangulaires passant par son centre: Ax2 + A'y2 + A"z2 + 2 Byz + 2 B'zx + 2 B''xy=H. |