Je suppose qu'on ait l'équation du plan tangent à cette surface en un point x', y', z' ;

On obtient cette équation en ménant par le point x', y', z', une droite qui coupe la surface en un point x", y", z". Les équations de cette droite sont de la forme

x — x' = 1 (z — z'), · y—y'=m (z — z').

Cette droite de sécante devient une tangente de la surface, lorsqu'on a

x' = x'', y' =y", z'z''.

De ces trois équations, on déduit la relation des deux constantes let m, pour que la droite soit une tangente. On substitue dans l'équation entre let m, pour 1,

Xx

x'

, pour m

et l'é

quation en x, y, z, qu'on obtient, appartient au plan qui touche la surface du second degré au point x', y', z'.

Nommant X, Y, Z, les coordonnées du pied de la perpendiculaire abaissée de l'origine des coordonnées sur le plan tangent Lx+My+NH, et R la longueur de cette perpendiculaire

Substituant dans ces trois équations pour L, M, N, les quantités qu'elles représentent, elles deviennent

R2 (Ax' +B''y' + B'z' ) - Hoo

R2 (B''x' + A'y' + Bz' ) — Hy'. =0

R2 (B'x' + By' + A'z') — Hz' = 0.

Les équations de la perpendiculaire à la surface du second degré, qui coïncide avec l'un des axes principaux de cette surface, sont

nommant à et μ les deux tangentes, qui déterminent la direction de cet axe, les trois équations précédentes deviendront

De ces trois équations, on éliminera successivement deux des

R2
H

trois inconnues , et, chaque équation finale sera du

troisième degré.

Paris, le 18 janvier 1813.

Pendant mon dernier séjour en Italie, ayant eu connoissance du savant rapport (*) de notre ami M. Poisson, sur une matière dont je m'étois occupé, j'écrivis, à ce sujet, le simple énoncé des résultats qui n'étoient pas encore sortis de ma mémoire.

J'adressai cet exposé succinct à M. Sané, Inspecteur général du Génie maritime, le priant de présenter ma notice à la Classe de l'Institut, dont il fait partie. Je désirerois que vous voulussiez insérer dans la Correspondance sur l'Ecole Polytechnique, cette même notice que je joins à ma lettre.

Signé Ch. DUPIN.

(*) Séance de l'Institut, 31 août 1812.

Mémoire sur la Sphère tangente à trois ou à quatre autres;

Un problême dont beaucoup de Géomètres se sont occupés, est celui de mener sur un plan un cercle tangent à trois autres cercles, et plus généralement, dans l'espace, une sphère tangente à quatre sphères données.

Si je ne me trompe, le premier géomètre qui l'ait complètement résolu, est Fermat (*). Depuis, Euler a repris la même question; mais tandis que Fermat s'étoit servi de la méthode des Anciens, Euler a employé l'analyse. M. Carnot, dans sa Géométrie de position, s'en est encore occupé. Enfin, plusieurs élèves de l'Ecole Polytechnique ont atteint le même but par les méthodes de la Géométrie descriptive. Parmi ces derniers, je citerai surtout l'infortuné Dupuis, qui par ses premiers succès sembloit promettre de beaux progrès à la géomé trie. Quelle est donc la fatalité qui nous a sitôt enlevé les trois hommes qui cultivoient plus particulièrement la science de l'étendue pour hériter de la gloire de nos premiers créateurs en ce genre? Nous avons vu disparoître, presque à-la-fois, Dupuis, Lancret et Malus!

On connoît quelques résultats de leurs travaux sur le sujet qui nous occupe; je crois d'ailleurs que la méthode qui les y a conduits n'a pas été transmise à l'Ecole Polytechnique, du moins je ne sache pas qu'aucun professeur l'ait fait connoître, ou seulement l'ait conservée; et leur démonstration, qu'on trouve dans la Correspondance Polytechnique, appartient à M. Hachette.

J'ai osé, il y a dix ans, reprendre un sujet traité si souvent, et jamais, ce me semble, avec la généralité qu'il comporte. J'eus l'honneur de soumettre mes solutions à M. Monge, et j'eus le bonheur d'obtenir, d'un tel géomètre, des encouragemens, trop indulgens, sans doute. M. Carnot, après avoir examiné les mêmes recherches, voulut bien m'engager à les compléter en y joignant la solution de quelques autres questions, parmi lesquelles

(*) Voyez cette solution dans le mémoire traduit par M. Hachette, septième et huitième cahiers du Journal de l'Ecole Polytechnique, publié par le

Conseil d'Instruction.

étoit celle-ci tracer sur la sphère un cercle tangent à trois autres. J'offris, le lendemain même, à cet illustre savant, la solution de cette question, mais généralisée, en déterminant soit par la géométrie, soit par l'analyse, la courbe plane tracée sur une surface du second degré tangentiellement à trois autres sections planes quelconques. De là j'eus occasion de déduire immédiatement, par les considérations de la géométrie aux trois dimensions, plusieurs des belles propriétés qu'on trouve dans la Géométrie de position, sur les polygones inscrits aux courbes du second degré, et les points de concours de leurs diagona'es ou de leurs côtés prolongés.

Il fut décidé que mon mémoire feroit partie de la collection des journaux de l'Ecole Polytechnique. L'impression de mon mémoire ayant été retardée, je le retirai pour le perfectionner; et, dans un voyage précipité que je dus faire en Belgique, je le perdis.

J'ai su depuis que M. Hachette a rendu compte de mes travaux au sujet des questions traitées dans ce mémoire, en donnant l'analyse d'une des solutions qu'il contenoit. Cette analyse est dans le second cahier de la Correspondance sur l'Ecole Polytechnique (premier volume).

Depuis cette époque, envoyé tour-à-tour en Hollande, en Italie, dans le midi de la France et dans les îles Ioniennes, je n'ai jamais refait mon mémoire. Cependant prêt à revoir ma patrie, j'apprends par un de mes amis que l'Institut a fait l'objet de son examen, d'un travail très-intéressant, où la question du contact des cercles et des sphères est généralement résolue, mais, à ce qu'il paroît, par des principes différens.

Encore convalescent, aux bains de Pise, je suis incapable. d'un travail suivi. Je me bornerai donc, pour l'instant, à présenter l'énoncé des principaux théorêmes que ma mémoire pourra me rappeler, me réservant, si je recouvre la santé, de rédiger de nouveau mes solutions, et d'en faire hommage à mes juges, si les résultats que je vais indiquer ont le bonheur de mériter leur indulgence.

I.

De la Sphère tangente à trois autres, et ensuite à quatre

autres.

Une infinité de sphères peuvent être tangentes à trois sphères invariables données; à chaque nouvelle sphère tangente aux trois primitives correspond, 1° un point de contact entr'elle et celles-ci; 2°. son propre centre: cela posé,

La suite des points de contact marqués sur chaque sphère primitive par les nouvelles sphères, forme une courbe continue plane, et par conséquent circulaire.

La suite des centres des nouvelles spheres forme pareillement une courbe plane et continue, mais d'une forme plus générale; c'est une courbe du second degré.

Ces deux beaux théorêmes sont dus à Dupuis, qui nécessairement a dû parvenir aussi à quelques-uns des résultats suivans', quoique je n'en aie pas eu connoissance.

Si l'on conçoit les trois (1) cônes circonscrits aux trois sphères primitives prises deux à deux, on sait que leurs sommets sont en ligne droite : cette droite est évidemment dans le plan, lieu des centres de ces trois sphères.

Maintenant le plan de la courbe, lieu des centres des nouvelles sphères, est toujours perpendiculaire à cette droite.

De plus, si l'on considère en particulier une des nouvelles sphères (tangentes aux trois primitives), que par le point de contact qu'elle a sur chacune des trois sphères primitives, on mène trois tangentes aux courbes de contact tracées sur celles-ci, d'abord ces tangentes se rencontreront, et elles se rencontreront toutes trois en un seul et même point.

Lorsque la nouvelle sphère variera, les tangentes prendront dans l'espace une autre direction; mais elles se couperont toutes trois encore en un même point, et la suite de tous ces points d'intersection formera une ligne droite.

Cette droite sera toujours perpendiculaire au plan des centres des trois sphères données. Il y a plus, elle sera placée sur le plan, lieu des centres de toutes les nouvelles sphères.

Enfin, la tangente à la courbe, lieu des centres, viendra constamment passer par cette droite, précisément par le point d'intersection des tangentes aux courbes de contact, et en formant le même angle avec ces trois dernières tangentes. Ainsi cette droite est à-la-fois l'intersection de quatre plans, savoir, celui de la courbe des centres et les trois plans des courbes de contact; or cette droite remarquable est telle, que les cônes circonscrits à-la-fois à deux des sphères cherchées, ont tous leurs centres sur elle..

Elle joue donc, par rapport aux nouvelles sphères, le même

(1) Il y en a six, et ce sont leurs combinaisons deux à deux qui produisent les diverses solutions de la question, mais elles sont indépendantes; et ce qui est vrai pour l'une est applicable à toutes les autres: dans cette notice nous n'en considérerons qu'une seule.