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Mémoire sur la Sphère tangente à trois ou à quatre antres;

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Un problême dont beaucoup de Géomètres se sont occupés, est celui de mener sur un plan un cercle tangent à trois autres cercles, et plus généralement, dans l'espace , une sphère tangente à quatre sphères données.

Si je ne me trompe, le premier géomètre qui l'ait complè tement résolu, est Fermat (*). Depuis, Euler a repris la même question; mais tandis que Permat s'étoit servi de la méthode des Anciens, Euler a employé l'analyse. M. Carnot, dans sa Géométrie de position, s'en est encore occupé. Enfin, plusieurs élèves de l'Ecole Polytechnique ont atteint le même but par

les méthodes de la Géométrie descriptive. Parmi ces derniers, je citerai surtout l'infortuné Dupuis, qui par ses premiers succès sembloit promettre de beaux progrès à la géomé. trie. Quelle est donc la fatalité qui nous a sitôt enlevé les trois hommes qui cultivoient plus particulièrement la science de l'étendue pour hériter de la gloire de nos premiers créateurs en ce genre ? Nous avons vu disparoître, presque à-la-fois, Dupuis , Lancret et Malus !

On connoît quelques résultats de leurs travaux sur le sujet qui nous occupe; je crois d'ailleurs que la méthode qui les y a conduits n'a pas éié transmise à l'Ecole Polytechnique, du moins je ne sache pas qu'aucun professeur l'ait fait connoître, ou seulement l'ait conservée; et leur démonstration, qu'on trouve dans la Correspondance Polytechnique, appartient à M. Hachette.

J'ai osé, il y a dix ans, reprendre un sujet traité si souvent, et jamais, ce me semble , avec la généralité qu'il comporte. J'eus l'honneur de soumettre mes solutions à M. Monge, et j'eus le bonheur d'obtenir, d'un tel géomètre, des encouragemens, trop indulgens, sans doute. M. Carnot, après avoir examiné les mêmes recherches, voulut bien m'engager à les compléter en y joignant la solution de quelques autres questions, parmi lesquelles

(*) Voyez cette solution dans le mémoire traduit par M. Hachette , septième et huitième cahiers du Journal de l'Ecole Polytechnique , publié par le Conscil d'Instruction,

étoit celle-ci : tracer sur la sphère un cercle tangent à trois autres. J'offris , le lendemain même, à cet illustre savant, la solution de cette question, mais généralisée, en déterminant soit par la géométrie , soit par l'analyse, la courbe plane tracée sur une surface du second degré tangentiellement à trois autres sections planes quelconques. De là j'eus occasion de déduire immédiatement, par les considérations de la géométrie aux trois dimensions, plusieurs des belles propriétés qu'on trouve dans la Géométrie de position , sur les polygones inscrits aux courbes du second degré, et les points de concours de leurs diagonales eu de leurs côtés prolonges.

Il fut décidé que mon mémoire feroit partie de la collection des journaux de l'Ecole Polytechnique. L'impression de mon mémoire ayant été retardée, je le retirai pour le perfectionner; et , dans un voyage précipité que je dus faire en Belgique , je le perdis.

J'ai su depuis que M. Hachette a rendu compte de mes tra-. vaux au sujet des questions traitées dans ce mémoire , en donnant l'analyse d'une des solutions qu'il coutenoit. Cette analyse est dans le second cahier de la Correspondance sur l'Ecole Polytechnique premier volume ).

Depuis cette époque, envoyé tour-a-tour en Hollande , en Italie, dans le midi de la France et dans les îles loniennes je n'ai jamais refait mon mémoire. Cependant prêt à revoir ma patrie, j'apprends par un de mes amis que l'Institut a fait l'objet de son examen , d'un travail très intéressant, où la question du contact des cercles et des sphères est généralement résolue,mais, à ce qu'il paroît, par des principes différens.

Encore convalescent, aux bains de Pise, je suis incapabled'un travail suivi. Je me bornerai donc, pour l'instant, à présenter l'énoncé des principaux théorêmes que ma mémoire pourra me rappeler, me réservant, si je recouvre la santé, de rédiger de nouveau mes solutions, et d'en faire hommage à mes juges, si les résultats que je vais indiquer ont le bonheur de meriter leur indulgence.

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I.

De la Sphère tangente à trois autres , et ensuite à quatre

autres.

Une infinité de sphères peuvent être tangentes à trois sphères invariables données; à chaque nouvelle sphère tangente aux trois primitives correspond, i un point de contact entr'elle et Selles-ci; 2°. son propre centre : cela posé,

La suite des points de contact marqués sur chaque sphère primitive par les nouvelles sphères , forme une courbe continue plane, et par conséquent circulaire.

La suite des centres des nouvelles sphères forme pareillement une courbe plane et continue, mais d'une forme plus générale; c'est une courbe du second degré.

Ces deux beaux théorêmes sont dus à Dupuis , qui nécessairement a dû parvenir aussi à quelques-uns des résultats suivaus, quoique je n'en aie pas eu connoissance.

Si l'on conçoit les trois (i) cônes circonscrits aux trois sphères primitives prises deux à deux, on sait que leurs sommets sont en ligne droite : cette droite est évidemment dans le plan, lieu des centres de ces trois sphères.

Maintenant le plan de la courbe, lieu des centres des nouvelles sphères , est toujours perpendiculaire à cette droite.

De plus, si l'on considère en particulier une des nouvelles sphères ( tangentes aux trois primitives.), que par le point de contact qu'elle a sur chacune des trois sphères primitives, on mène trois tangentes aux courbes de contact tracées sur celles-ci, d'abord ces tangentes se rencontreront, et elles se rencontreront toutes trois en un seul et même point.

Lorsque la nouvelle sphère variera , les tangentes prendront dans l'espace une autre direction ; mais elles se couperont toutes trois encore en un même point, et la suite de tous ces points d'intersection formera une ligne droite.

Cette droite sera toujours perpendiculaire au plan des centres des trois sphères données. Il y a plus, elle sera placée sur le plan, lieu des centres de toutes les nouvelles sphères.

Enfin, la tangente à la courbe, lieu des centres, viendra constamment passer par cette droite , précisément par le point d'intersection des tangentes aux courbes de contact, et en formant le même angle avec ces trois dernières tangentes. Ainsi cetle droite est à-la-fois l'intersection de quatre plans, savoir, celui de la courbe des centres et les trois plans des courbes de contact; or cette droite remarquable est telle, que les cônes circonscrits à-la-fois à deux des sphères cherchées, ont tous leurs centres sur elle..

Elle joue donc, par rapport aux nouvelles sphères, le même

(1) Il y en a six, et ce sont leurs combinaisons deux à deux qui produisent les diverses solutions de la question, mais elles sont indépendantes; et ce qui est vrai pour l'une est applicable à toutes les autres : dans cette volice nous u'en considérerons qu'une seule.

rôle que

la droite , lieu des centres des cônes circonscrits aux sphères primitives prises deux à deux, joue par rapport à ces premières sphères.

Lorsqu'une sphère nouvelle touche seulement deux des primitives, les plans menés tangentiellement à ces surfaces primitives

par leur point de contact avec l'autre, se coupent suivant une droite constamment placée dans un même plan, tant que les deux sphères primitives restent les mêmes.

En considérant ainsi deux à deux les trois sphères primitives, on trouvera trois plans remarquables; ils se couperont tous trois suivant une même droite, et cette droite, ce sera précisément le lieu des points de concours des tangentes aux trois courbes de contact et de la tangente à la courbe des centres, toutés quatre correspondant à une seule et même sphère nouvelle.

Dans le cas où l'on auroit quatre sphères primitives, auxquelles il faudroit trouver une sphère tangente, ou trouveroit ainsi six plans remarquables , dont chacun seroit le lieu des intersections des plans tangens à la sphère nouvelle et aux primitives prises deux à deux; ces plans seroient perpendiculaires aux six arêtes de la pyramide triangulaire ayant pour sommets les centres des sphères primitives, etc.

Ces plans se couperont trois à trois suivant une même droite : ils présenteront ainsi quatre droites , qui elles-mêmes se rencontreront en un seul et même point. Enfin ce point sera à-la-fois 1°. sur les plans des courbes des centres des sphères tangentes aux primitives prises trois à trois; 2°. sur les plans des courbes de contact de ces nouvelles sphères et des primitives.

De là résulte une méthode de géométrie descriptive, aussi simple que facile , pour résoudre tous les problèmes des sphères tangentes à trois ou à quatre autres, des cercles tangens à trois autres, etc. (1)

Passons à d'autres considérations, et demandons-nous maintenant de quelle nature est la surface enveloppe de l'espace parcouru par une sphère tangente à trois sphères invariables primitivement données.

II.

Surface engendrée par la Sphère qui s'appuie sur trois autres.

Cette surface jouit de la propriété constante, et elle en jouit

(1) On la fera connoître dans le prochain cahier de la Correspondance.

tives.

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seule, d'avoir, dans toute son étendue, des cercles pour ses deur lignes de courbures. Ainsi, après l'avoir déterminée généralement, si l'on prend trois des sphères mobiles génératrices, qu'on les regarde comme fixes et invariables, et qu'ensuite on se demande quelle surface enveloppera l'espace parcouru par une autre sphère variable et partout tangente à ces trois-ci, on retrouvera précisément l'enveloppe de l'espace parcouru par la sphère mobile et variable , toujours tangente aux trois primi

Le lieu des centres de courbure de cette enveloppe n'est point formé

par deux pappes de surface, mais par deux courbes distinctes. L'une d'élles est une ellipse, l'autre est une hyperbole. La première a pour sommets les foyers de la seconde , et pour foyers les sommets de celle-ci. Enfin, leurs plans sont perpendiculaires.

Cela posé, si l'on attache des fils, d'abord à tous les points de l'ellipse, qu'on les tende et les réunisse en un seul point, de manière à en former le faisceau des arêtes d'un cône de révolution ; lorsqu'ensuite on alongera , ou qu'on raccourcira tous les fils d'une égale quantité ; 2°. tous les fils ne cesseront pas d'être tendus ; 2°. ils formeront un cône, plus ou moins fermé, mais toujours de révolution; 3o. le sommet du cône décrira l'hyperbole, lieu des centres de l'autre courbure; 4o. enfin, la tangenle à cette hyperbole au sommet, ou, pour mieux dire, au centre de chaque cône, sera constamment l'axe de ce cône.

Et réciproquement, si l'on attachoit tous les fils aux divers points de l'hyperbole, qu'on les tendit, et qu'avec le point qui les réunit, on voulût parcourir l'ellipse, 1o. les fils s’alongeroient ou se raccourciroient toujours d'une égale quantité; 2°. le cône ne cesseroit pas d'être de révolution, etc.

Ainsi les courbes second degré ont une infinité de foyers; elles peuvent être décrites librement dans l'espace, et d'une infinité de manières différentes, par trois rayons vecteurs partis de trois foyers fixes et placés sur une autre courbe du second degré, etc.

Quand l'une des deux courbes est une parabole, l'autre l'est également: les deux paraboles sont égales, etc.

L'analyse de ces propriétés est aussi consignée dans la Correspondance Polytechnique, dans le précis d'un travail que j'ai fait sur la ihéorie des déblais et remblais, avec quelques applications à l'optique , tom. I, pag. 218.

Nous ne pousserons pas plus loin la discussion de la surface enveloppe dont les deux lignes de courbure sont des cercles, elle

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