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conduit à quelques propriétés remarquables, à celle-ci, par exemple :

Toutes les lignes d'une des courbures sont dans des plans qui passent à-la-fois par une première droite, placée sur le plan lieu des centres de l'autre courbure ; toutes les lignes de l'autre courbure sont dans des plans qui passent à-la-fois par une seconde droite , placée sur le plan lieu des centres de la première courbure ; et l'axe commun de l'ellipse et de l'hyperbole, lieux des centres , est dirigé sur la ligne qui mesure la plus courte distance de ces deux droites : enfin, les lignes d'une même courbure, prises deux à deux, sont toutes sur des cônes du second degré, par conséquent ils sont deux à deux sur une inême sphère, propriété remarquable ; et les sommets de ces cônes sont encore placés sur les droites qui dirigent la position de ces lignes de courbure.

De là suit cette propriété générale de la sphère : je prends sur la sphère une corde quelconque, je mène les deux plans tangens à la sphère, aux extrémités de cette corde, et je trace la droite intersection de ces deux plans; cela posé,

Je conçois toutes les sections planes, faites sur la sphère,

°. par la corde; 2°. par l'autre droite. Les circonférences de ces sections se couperont partout à angle droit. Cette propriété peut trouver son application dans la coupe des pierres.

THÉORÊME DE GÉOMÉTRIE.

Étant données trois sphères fixes, on suppose qu'une sphère dont le centre et le rayon varient, touche constamment les trois sphères données ; le lieu des points de contact de la sphère variable et de l'une quelconque des sphères fizes, est un petit cercle de cette dernière sphère, dont le plan est perpendiculaire à celui qui passe par les centres des trois sphères données. (Voyez le premier volume de la Correspondance, page 19.)

Démonstration analytique, par M. HACHETTE.

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En rapportant l'espace aux trois axes rectangulaires des des

z, je suppose que le plan mené par les centres des trois sphères données, soit le plan des xy, et que les centres de ces

des y,

Csphères soient, le premier à l'origine des coordonnées, le second sur l'axe des x, et le troisième en un point donné du plan xy.

Nommons r, r',!, p, les rayons des trois sphères données et de la sphère qui les touche; a' la distance du centre de la seconde sphère à l'origine des coordonnées ; a", 1", les coordonnées du centre de la troisième sphère ; «, B,r, les coordonnées du centre de la sphère du rayon po

Lorsque deux sphères se touchent, la distance de leurs centres est égale à la somme ou à la différence de leurs rayons. En appliquant ce principe à la distance des centres de la sphère du rayon p et de chacune des sphères qu'elle touche, on aura les trois équations suivantes :

ac + B2 + q* = (

pr). (1) fa- a') +62 +ga= (par!). (2) (

ca') + (6 — 61)+ g = spur!). (3) Ces trois équations représentent celles qu'on obtiendroit en prenant toutes les combinaisons des termes affectés du signe ; ces combinaisons , au nombre de huit, peuvent s'écrire ainsi

piti,, et

p+ ptr, ou par

pm,

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pt poll
pa

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La quantité ptr, ou par, peut se combiner avec chacune des deux autres placées sur une même horizontale de ce tableau ; ce qui donne évidemment huit combinaisons. Ne considérant que la première de ces combinaisons,

ptra pta, les équations (1), (2), (3), deviendront

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az + Bo to ga (tor) (4)

(a - a')2 + b2 tgo = (P+)* (B) (a-a!): +(B-!!) to go = (P + 1!)* (C) Retranchant successivement de l'équation (4), les équations (B)

7+"

(5)

et (C), on aura
2per-)= 2 a'd -a!? –(7- Muda)

(0) 2p(r-W')= 2 a'« +26"ß - al' - bllo —-(* -p!") (c) Eliminant p, qui est linéaire dans ces deux équations (6) et (c), (r->){2a". +261B a"— 6112_pot alla

=0. (D).

). -(r) {2 a'u - a" — .+ma}

Cette équation (D) étant linéaire en a, b, coordonnées du centre de la sphère qui touche les trois sphères données , et ne contenant ni la troisième coordonnéey de ce centre, ni le

rayon p de cette sphère, il suit que les centres de toutes les sphères tangentes aux trois sphères données, sont dans un plan perpendiculaire au plan desoxy, et qui passe par la droite , dont on aura l'équation en mettant dans l'équation (D), au lieu de a, b, les coordonnées x, y, d'un point quelconque de cette droite. Supposons qu'après cette substitution, elle devienne

(r->) (2 a' x + 2by-A)-(-) (2a'z-B), ou ( ro) (

-(

), A et B étant des constantes connues , qui ne changent pas, quel que soit le signe des rayons r, m, p". Cette équation (5) représente celles qui correspondent aux valeurs de retrdépendantes des signes des rayons r', -!!. Or, ces valeurs sont au nombre de quatre :

1° retr;

ram et rtrl!; 3.. it r! et repl;

4. rtm et roll. En changeant dans l'équation (5) les signes des rayons r, r,-", on changeroit seulement les signes de tous les termes de cette équation; ce qui prouve que l'équation (5) ne représente que quatre droites différentes. D'où il suit que les centres des sphères du rayon variable p, qui touchent les trois sphères données, sont contenues dans quatre plans, dont l'un correspondant aux différences - -T', replily a pour trace la droite de l'équation (5)

étant les coordonnées d'un point de cette droite). Concevons la droite menée par l'origine des coordonnées , centre de la première des sphères données, et par le point a,b,x,

{

)(rالح)- (

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centre de la sphère donnée p, qui les touche ; cette droite a pour
équation

gi
B

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Elle coupe la première sphère dont l'équation est xo+go+=r, en un point pour lequel on a

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Substituant cette valeur dans l'équation (6), cette équation donne

(a ( ? a'x-r(M)

9a=*[2" - (r=0))

2 ay

(E) et à cause de 2BS

2y =

C

((رح)

2 y=

fo{

{- مرونممم)

g (a! — (r->)') z(a" -(--
a'rrr)

a'r-rr-7) Mettant ces valeurs de 2 . et 2 B dans l'équation (D), et l'ordonnant par rapport à x et à y, on a

(a'—(r->')?) (a" (room) -a!(r

L! (rmx)(a"*+8"+pamolla) —a'(-->")(°)} (F)

+ böy (r->') (a!-(--)) --(~~)* (allo+811+r) (r-)(r) (a'+_*)) Equation linéaire en x et ry, et qui est satisfaite en changeant les signes des rayons r, I, M. Elle ne contient ni le rayon po ni les coordonnées a, b, y, du centre de la sphère mobile , qui touche les trois sphères données ; elle exprime la relation des coordonnées x, y, du point de contact de cette sphère mobile et de la sphère fixe xo + y + z =r. Donc le lieu de ces points de contact est un petit cercle de la sphère fixe , dont le plan est perpendiculaire à celui des æy, qui contient les centres des trois sphères données. Mettant successivement dans l'équation (F), pour les diffé

-plet rep", les quatre valeurs qui correspondent aux signes des rayons r,r,, on aura les équations des quatre petits

rences r

cercles de la première sphère, correspondans aux quatre séries des sphères qui peuvent toucher les trois sphères données.

Quoique nous n'ayons considéré que la sphère dont le centre est à l'origine des coordonnées, la démonstration précéden!e s'applique également aux deux autres sphères, puisque, sans changer leur position respective, on pourroit transporter l'origine des coordonnées au centre de l'une ou l'autre de ces deux sphères.

Rectification d'un arc d'ellipse par les séries ;

Par M. de STAINVILLE, Répétiteur-Adjoint à l'Ecole Poly

technique.

Supposons que l'arc dont il s'agit , ait son origine' à l'une des extrémités du petit axe, et que les abscisses soient comptées sur le grand axe à partir du centre. Si on désigne par a l'abscisse qui correspond à l'arc u , il est clair que l'expression de cet arc ne doit contenir que des termes multipliés par des puissances de x, puisqu'il s'évanouit lorsqu'on fait c = 0; et comme il change de signe avec x, sans changer de grandeur, il en résulte que le développement de l'arc exprimé par l'abscisse ne doit contenir que des puissances impaires de F. Ainsi on aura , pour toutes les valeurs de u,

u= Ax+B.c+ Cx5 + Dx7 + etc.

Si on différentie cette équation par rapport à x, on aura

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