rôle que la droite, lieu des centres des cônes circonscrits aux sphères primitives prises deux à deux, joue par rapport à ces premières sphères. Lorsqu'une sphère nouvelle touche seulement deux des primitives, les plans menés tangentiellement à ces surfaces primitives par leur point de contact avec l'autre, se coupent suivant une droite constamment placée dans un même plan, tant que les deux sphères primitives restent les mêmes. En considérant ainsi deux à deux les trois sphères primitives, on trouvera trois plans remarquables; ils se couperont tous trois suivant une même droite, et cette droite, ce sera précisément le lieu des points de concours des tangentes aux trois courbes de contact et de la tangente à la courbe des centres, toutes quatre correspondant à une seule et même sphère nouvelle. Dans le cas où l'on auroit quatre sphères primitives, auxquelles il faudroit trouver une sphère tangente, ou trouveroit ainsi six plans remarquables, dont chacun seroit le lieu des intersections des plans tangens à la sphère nouvelle et aux primitives prises deux à deux; ces plans seroient perpendiculaires aux six arêtes de la pyramide triangulaire ayant pour sommets les centres des sphères primitives, etc. Ces plans se couperont trois à trois suivant une même droite: ils présenteront ainsi quatre droites, qui elles-mêmes se rencontreront en un seul et même point. Enfin ce point sera à-la-fois 1o. sur les plans des courbes des centres des sphères tangentes aux primitives prises trois à trois; 2°. sur les plans des courbes de contact de ces nouvelles sphères et des primitives. De là résulte une méthode de géométrie descriptive, aussi simple que facile, pour résoudre tous les problêmes des sphères tangentes à trois ou à quatre autres, des cercles tangens à trois autres, etc. (1) Passons à d'autres considérations, et demandons-nous maintenant de quelle nature est la surface enveloppe de l'espace parcouru par une sphère tangente à trois sphères invariables primitivement données. II. Surface engendrée par la Sphère qui s'appuie sur trois autres. Cette surface jouit de la propriété constante, et elle en jouit (1) On la fera connoître dans le prochain cahier de la Correspondance. seule, d'avoir, dans toute son étendue, des cercles pour ses deux lignes de courbures. Ainsi, après l'avoir déterminée généralement, si l'on prend trois des sphères mobiles génératrices, qu'on les regarde comme fixes et invariables, et qu'ensuite on se demande quelle surface enveloppera l'espace parcouru par une autre sphère variable et partout tangente à ces trois-ci, on retrouvera précisément l'enveloppe de l'espace parcouru par la sphère mobile et variable, toujours tangente aux trois primi tives. Le lieu des centres de courbure de cette enveloppe n'est point formé par deux nappes de surface, mais par deux courbes distinctes. L'une d'elles est une ellipse, l'autre est une hyperbole. La première a pour sommets les foyers de la seconde, et pour foyers les sommets de celle-ci. Enfin, leurs plans sont perpendiculaires. Cela posé, si l'on attache des fils, d'abord à tous les points de l'ellipse, qu'on les tende et les réunisse en un seul point, de manière à en former le faisceau des arêtes d'un cône de révolution; lorsqu'ensuite on alongera, ou qu'on raccourcira tous les fils d'une égale quantité; 1°. tous les fils ne cesseront pas d'être tendus; 2°. ils formeront un cône, plus ou moins fermé, mais toujours de révolution; 3°. le sommet du cône décrira l'hyperbole, lieu des centres de l'autre courbure; 4°. enfin, la tangente à cette hyperbole au sommet, ou, pour mieux dire, au centre de chaque cône, sera constamment l'axe de ce cône. Et réciproquement, si l'on attachoit tous les fils aux divers points de l'hyperbole, qu'on les tendît, et qu'avec le point qui les réunit, on voulût parcourir l'ellipse, 1°. les fils s'alongeroient ou se raccourciroient toujours d'une égale quantité; 2°. le cône ne cesseroit pas d'être de révolution, etc. Ainsi les courbes du second degré ont une infinité de foyers; elles peuvent être décrites librement dans l'espace, et d'une infinité de manières différentes, par trois rayons vecteurs partis de trois foyers fixes et placés sur une autre courbe du second degré, etc. Quand l'une des deux courbes est une parabole, l'autre l'est également: les deux paraboles sont égales, etc. L'analyse de ces propriétés est aussi consignée dans la Correspondance Polytechnique, dans le précis d'un travail que j'ai fait sur la théorie des déblais et remblais, avec quelques applications à l'optique, tom. 1, pag. 218. Nous ne pousserons pas plus loin la discussion de la surface enveloppe dont les deux lignes de courbure sont des cercles, elle conduit à quelques propriétés remarquables, à celle-ci, par exemple : Toutes les lignes d'une des courbures sont dans des plans qui passent à-la-fois par une première droite, placée sur le plan lieu des centres de l'autre courbure; toutes les lignes de l'autre courbure sont dans des plans qui passent à-la-fois par une seconde droite, placée sur le plan lieu des centres de la première courbure; et l'axe commun de l'ellipse et de l'hyperbole, lieux des centres, est dirigé sur la ligne qui mesure la plus courte distance de ces deux droites : enfin, les lignes d'une même courbure, prises deux à deux, sont toutes sur des cônes du second degré, par conséquent ils sont deux à deux sur une même sphère, propriété remarquable; et les sommets de ces cônes sont encore placés sur les droites qui dirigent la position de ces lignes de courbure. De là suit cette propriété générale de la sphère: je prends sur la sphère une corde quelconque, je mène les deux plans tangens à la sphère, aux extrémités de cette corde, et je trace la droite intersection de ces deux plans; cela posé, Je conçois toutes les sections planes, faites sur la sphère, 1o. par la corde; 2°. par l'autre droite. Les circonférences de ces sections se couperont partout à angle droit. Cette propriété peut trouver son application dans la coupe des pierres. THÉORÊME DE GÉOMÉTRIE. Etant données trois sphères fixes, on suppose qu'une sphère dont le centre et le rayon varient, touche constamment les trois sphères données; le lieu des points de contact de la sphère variable et de l'une quelconque des sphères fixes, est un petit cercle de cette dernière sphère, dont le plan est perpendiculaire à celui qui passe par les centres des trois sphères données. (Voyez le premier volume de la Correspondance, page 19.) Démonstration analytique, par M. HACHETTE. En rapportant l'espace aux trois axes rectangulaires des x, des y, des z, je suppose que le plan mené par les centres des trois sphères données, soit le plan des xy, et que les centres de ces sphères soient, le premier à l'origine des coordonnées, le second sur l'axe des Ꮖ et le troisième en un point donné du plan xy. Nommons r, r,,, les rayons des trois sphères données et de la sphère qui les touche; a' la distance du centre de la seconde sphère à l'origine des coordonnées ; a", b", les coordonnées du centre de la troisième sphère; «, ß, v, les coordonnées du centre de la sphère du rayon p. Lorsque deux sphères se touchent, la distance de leurs centres est égale à la somme ou à la différence de leurs rayons. En appliquant ce principe à la distance des centres de la sphère du rayon et de chacune des sphères qu'elle touche, on aura les trois équations suivantes : (3) (œ — all)2 + (ß — 6'!)" + y2 = (p± ?~'')2. Ces trois équations représentent celles qu'on obtiendroit en prenant toutes les combinaisons des termes affectés du signe ; ces combinaisons, au nombre de huit, peuvent s'écrire ainsi La quantité p+r, ou p -r, peut se combiner avec chacune des deux autres placées sur une même horizontale de ce tableau; ce qui donne évidemment huit combinaisons. Ne considérant que la première de ces combinaisons, Retranchant successivement de l'équation (4), les équations (B) (b) 2 p (r) = 2 a" 'a + 2 b'ß — a'l2 — blla (1.37!!2) (c) Eliminant p, qui est linéaire dans ces deux équations (b) et (c), (r− r ) {2a"a + 2 6" B — all2 — b!!?_ — (1 ——11) { 2 a'a — a12 — r2. + pl2 } =0. (D) Cette équation (D) étant linéaire en a, 8, coordonnées du centre de la sphère qui touche les trois sphères données, et ne contenant ni la troisième coordonnée y de ce centre, ni le rayon de cette sphère, il suit que les centres de toutes les sphères tangentes aux trois sphères données, sont dans un plan perpendiculaire au plan des xy, et qui passe par la droite, dont on aura l'équation en mettant dans l'équation (D), au lieu de a, ß, les coordonnées x, y, d'un point quelconque de cette droite. Supposons qu'après cette substitution, elle devienne (5) { (r—r') (2 a''x + 2 b''y — ¿1) — (r—7'') (2a'x—B), ou (r'—r) ( · )—(7"!—7)(.), A et B étant des constantes connues, qui ne changent pas, 'quel que soit le signe des rayons, ',". Cette équation (5) représente celles qui correspondent aux valeurs de r-ret r-r, dépendantes des signes des rayons r', r. Or, ces valeurs sont au nombre de quatre : En changeant dans l'équation (5) les signes des rayons r,,, on changeroit seulement les signes de tous les termes de cette équation; ce qui prouve que l'équation (5) ne représente que quatre droites différentes. D'où il suit que les centres des sphères du rayon variable p, qui touchent les trois sphères données, sont contenues dans quatre plans, dont l'un correspondant aux diffé-, a pour trace la droite de l'équation (5) (x et y étant les coordonnées d'un point de cette droite). Concevons la droite menée par l'origine des coordonnées, centre de la première des sphères données, et par le point a,,, rences r |