centre de la sphère donnée, qui les touche; cette droite a pour équation Elle coupe la première sphère dont l'équation est x+y+s2=r', en un point pour lequel on a Substituant cette valeur dans l'équation (¿), cette équation donne (F)< Mettant ces valeurs de 2 et 2 ß dans l'équation (D), et l'ordonnant par rapport à ≈ et à y, on a Equation linéaire en x et y, et qui est satisfaite en changeant les signes des rayons r, r,. Elle ne contient ni le rayon, ni les coordonnées a,, y, du centre de la sphère mobile, qui touche les trois sphères données; elle exprime la relation des coordonnées x, y, du point de contact de cette sphère mobile et de la sphère fixe x + y2+z. Donc le lieu de ces points de contact est un petit cercle de la sphère fixe, dont le plan est perpendiculaire à celui des xy, qui contient les centres des trois sphères données. Mettant successivement dans l'équation (F), pour les différences ret r-r", les quatre valeurs qui correspondent aux signes des rayons r, r', r", on aura les équations des quatre petits 0 cercles de la première sphère, correspondans aux quatre séries des sphères qui peuvent toucher les trois sphères données. Quoique nous n'ayons considéré que la sphère dont le centre est à l'origine des coordonnées, la démonstration précédente s'applique également aux deux autres sphères, puisque, sans changer leur position respective. on pourroit transporter l'origine des coordonnées au centre de l'une ou l'autre de ces deux sphères. Rectification d'un arc d'ellipse par les séries ; Par M. de STAINVILLE, Répétiteur-Adjoint à l'Ecole Polytechnique. Supposons que l'arc dont il s'agit, ait son origine à l'une des extrémités du petit axe, et que les abscisses soient comptées sur le grand axe à partir du centre. Si on désigne par x l'abscisse qui correspond à l'arc u, il est clair que l'expression de cet arc ne doit contenir que des termes multipliés par des puissances de x, puisqu'il s'évanouit lorsqu'on fait x=0; et comme il change de signe avec x, sans changer de grandeur, il en résulteque le développement de l'arc exprimé par l'abscisse ne doit contenir que des puissances impaires de x. Ainsi on aura, pour toutes les valeurs de u, u=Ax+Bx3 + Сx3 + Dx2 + etc. Si on différentie cette équation par rapport à ≈, on aura du dx Si donc on représente pary, on aura, après avoir elevé les deux membres au carré et fait disparoître les dénominateurs, l'équation I — e2x2 — y2 (I· mom x2).' Différentiant cette nouvelle équation, par rapport à x, on en aura une autre qui se réduira au moyen de substitutions convenables à Divisant par y, et différentiant, on aura, après quelques réductions, une équation différentielle du second ordre, qui sera dy dx d'y (1 + 2 x2 — 3 e2 x4 ) = —— 23′ ( x − x3 — e3x3 + e3x3)• Si, pour abréger, on représente les coefficiens du développe du ment de ou de dx y par a, b, y........, on aura et de dans l'équation différen tielle du second ordre, on aura, en supprimant le premier terme de chaque membre, l'équation suivante +3.4B Comparant les coefficiens des termes affectés des mêmes puis 25+7.85 En général, si on désigne par x le coefficient de x2, on les coefficiens des deux termes qui pré aura, en appelant o et cèdent immédiatement ce dernier, seront tous déterminés, et on aura à cause des équations 2 B= a; 3 C = 8; 4D=y, etc, l'équation suivante, L'équation précédente se présente sous une forme plus élégante, Pour déterminera, B1, Y,, etc., on a les équations suivantes : Si dans ces équations on fait eo, les coefficiens prennent des valeurs qui, étant introduites dans la formule ce qui doit être, car l'hypothèse de eo faisant rentrer l'ellipse dans le cercle, l'expression d'un arc d'ellipse doit alors coïncider avec celle de l'arc correspondant du cercle: ce qui a lieu ici, puisque x est égal au sinus de l'arc u. Démonstration de la formule qui donne la tangente de la somme de plusieurs arcs en fonction des tangentes de ces Par M. de STAINVILLE. arcs; Pour arriver à cette formule de la manière la plus simple, nous considérerons le produit des facteurs cos a + sin a—1, cos b + sin b-1, cosc + sin c—1; ce produit, ainsi qu'on le sait, est égal à cos (a+b+c+.......) + sin (a+b+c+....) V — I. — Ainsi le coefficient de 1 dans le produit des facteurs dont |