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les deux membres au carré et fait disparoître les dénominateurs, l'équation

I-e'r=y°(1 - 2*).

Différentiant cette nouvelle équation, par rapport à x, on en aura une autre qui se réduira au moyen de substitutions convenables à

dy 1=x-)

.

dx

Divisant par y, et différentiant, on aura , après quelques réductions, une équation différentielle du second ordre , qui sera dy

d'y (1+23– 3'e°x4) = (2 - 2013 - e'x' + e'x'). dx

dx2 Si, pour abréger, on représente les coefficiens du développe

dil ment de

ou de y par«, B, X...., dx'

on aura

d'y

y =1+ + B có + x+.
dy

a 2 + 4 603 + 6 y 25 to...
da

2 6 * 3.4B 2 to 5. 6 y 84 + da2

dy Portant ces valeurs de et de droit dans l'équation différen

dx.

dx2 tielle du second ordre, on aura, en supprimant le premier termo de chaque membre, l'équation suivante

48 23 +62 25 + 8d 27 + etc.
+4
+86
+ 12

+ etc.
2.3 « eol -3.4b e'l etc.
+3.46 (3 + 5.6 25 to 7.30 27 + etc.

-3.48 -5.6 y
-2ae" -3.48e - 5.6 ye - etc.

+2ce + 3.4 Be' + etc.

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2 a

etc.

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Comparant les coefficiens des termes affectés des mêmes puis

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2

4,6° 23

sances de x, on aura

2. 4B=( 3+ e'). 2 a
4. 6y=(5+3 e“). 48 - 8. 1.& et
6. 8d=(7+ 5 e"). 67-8. 3. fe*
8. 101=( 9 + 7 e*). 8d-8. 6.ge'

10.12 =(n +9e').104- 8.10.de En général, si on désigne par x le coefficient de xf, on aura, en appelant o et y les coefficiens des deux termes qui précèdent immédiatement ce dernier,

(16--2)(x-1) (2/2)2Mx={2-1+(2463)e"}(2pr2) 4-8

p.e.

ca Pour déterminer « , il faut développer

jusqu'au second terme, et on aura &

, ou ce qui revient au même 69

.; portant cette valeur dans les autres coefficiens, ils seront tous déterminés , et on aura , à cause des équations 2 B=;3 C=B; 4 D=y, etc, l'équation suivante,

a bouto

+ 3

+ etc. 5

7 Si on fait

2. 48 =B, 2.4. 6y=0,39

2. 4. 6. 8 d=0,60 L'équation précédente se présente sous une forme plus élégante,

76x7

+ etc. 2.3

2.4.6.7

1

2

دنده

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et on a

+

B, 64.25
2.4.5

Pour déterminer&j, Big W, etc., on a les équations suivantes :

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Si dans ces équations on fait e=0, les coefficiens prennent des valeurs qui, étant introduites dans la formule

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ce qui doit être, car l'hypothèse de ero faisant rentrer l'ellipse dans le cercle, l'expression d'un arc d'ellipse doit alors coïncider avec celle de l'arc correspondant du cercle: ce qui a lieu ici, puisque x est égal au sinus de l'arc u.

Démonstration de la formule qui donne la tangente de la

somme de plusieurs arcs en fonction des tangentes de ces arcs ;

Par M. de STAINVILLE.

Pour arriver à cette formule de la manière la plus simple, nous considérerons le produit des facteurs

cos a + sin a V-i, cos b + sin b V -1, cosc + sin cV -1;

ce produit, ainsi qu'on le sait, est égal à

cos (a +6+c+....)+sin (a +6+c+....) V - 1.

Ainsi le coefficient de V - i dans le produit des facteurs dont

il s'agit, sera égal à sin (a + b + c...), et le terme indépendant de V -1, sera égal à cos (a + b + c...); par conséquent le coefficient de V -1, dans le produit des facteurs

(cos a tsin a V-1), (cos 6 + sin bV -1)....

divisé par la somme des termes indépendans de V -1, sera égal à

tang (a+b+c+d.....)

Pour montrer la loi des termes du produit des facteurs que l'on considère , nous diviserons chacun d'eux par son premier terme et nous multiplierons le produit de tous les facteurs ainsi divisés, par le produit de ces premiers termes; ce qui donnera cos(a +b+c+ d....) + sin (a + b +6+'d....) V-I

cos a cos i cos c cos d.... {1+tang a V-1}

{1+tang 6 V-1} {1 + tang c V -1}

Les termes réels et imaginaires du produit des facteurs binomes qui se trouvent dans le second membre de cette équation étant multipliés par cos a cos b cos c cos d.... ce facteur disparoîtra dans la division des premiers termes par les seconds , de sorte qu'en dernière analyse l'expression de tang (a+b+c+d....) sera égale à la somme des termes, qui, dans le produit de {1+tangav – 1} {1+tangbV-1} {1+tange V-1}... est multipliée par V - 1. divisée par la somme de ceux qui ne sont pas multipliés par V -1. Or, la somme des premiers est égale à la somme des tangentes , moins, tous les produits trois à trois de ces tangentes ; plus, tous les produits cinq à cinq, et ainsi de suite; et la somme des seconds est égale à l'unité, moins tous les produits deux à deux des tangentes; plus , tous les produits quaire à quatre, et ainsi de suite. Par conséquent la tangente de la somme de tant d'arcs qu'on voudra, sera égale à la somme des tangentes, moins tous les produits trois à trois de ces tangentes ; plus, tous les produits cinq à cinq, et ainsi de suite, divisés par l'unité, moins tous les produits deux à deux de ces tangentes; plus, tous les produits quatre à quatre, et ainsi de suite. On voit encore par ce qui précède, 1°. que le sinus de la

somme d'un nombre quelconque d'arcs est égale à la somme des produits de chaque sinus par le produit des cosinus des autres arcs , moins les produits trois à trois des sinus des arcs par les cosinus des autres arcs, plus tous les produits cinq à cinq de ces mêmes sinus multipliés respectivement par les cosinus des autres arcs, et ainsi de suite; 2*. que le cosinus de la somme d'un nombre quelconque d'arcs est égal au produit des cosinus de ces arcs, moins les produits deux à deux des sinus

par les produits des cosinus des autres ; plus, la somme des produits quatre à quatre des sinus de ces arcs par les produits des cosinus des autres arcs , et ainsi de suite. Si dans la première formule, ainsi que dans les deux autres, on suppose que tous les arcs soient égaux entr'eux et à a, on aura celles qui donnent les tangentes sinus et cosinus des arcs multiples, et coïncideront avec celles que Jean Bernoulli a données le premier.

Quadrature de la Parabole, de la Cycloïde et de la Logarith

mique , par la considération des infiniment petits;

Par M. de STAINVILLE.

Quadrature de la Parabole.(Pl. 2.)

Soit MAN un segment de parabole (fig. 1, pl.2):si par le point, milieu de MN, on mène la droite PA parallèle à l'axe, elle sera un diamètre et divisera toutes les droites parallèles à MN, et par conséquent l'aire du segment MAN en deux parties égales. Si

par le point Mon mène la tangente MT, on aura A T=AP. Si par tout autre point m de cette courbe on mène une ordonnée mp au diamètre AP, et une tangente mt à la même courbe, on aura At= Ap, ainsi Tt=Pp. Si on suppose que le point m soit infiniment près de point M, le triangle élémentaire MT. sera la moitié du parallelogramme élémentaire MPpm, puisque les bases et les hauteurs sont égales; par conséquent la somme des triangles élémentaires qui composent le triangle mixtiligne MAT, sera la inoitié de celle des parallelogrammes élémen. taires qui composent le demi-segment de parabole, dont il résulte que le demi-segment parabolique est les deux tiers du triangle MPT fait sur l'ordonnée et la soutangente; ou ce qui revient au

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