il s'agit, sera égal à sin (a + b + c...), et le terme indépendant

1, sera égal à cos (a+b+c...); par conséquent le -1, dans le produit des facteurs

coefficient de

(cos asin a—1),

(cos b+sin b—I)....

divisé par la somme des termes indépendans de V-1, sera égal à

tang (a+b+c+d.....)

Pour montrer la loi des termes du produit des facteurs que l'on considère, nous diviserons chacun d'eux par son premier terme et nous multiplierons le produit de tous les facteurs ainsi divisés, par le produit de ces premiers termes; ce qui donnera

cos (a+b+c+d......) + sin (a + b + c + d....) V— 1 — cos a cos è cos c cos d....

{1+tang bV-1}

{1+ tang a V—1}

{1+ tang c−1}

Les termes réels et imaginaires du produit des facteurs binomes qui se trouvent dans le second membre de cette équation étant multipliés par cos a cos b coś c cos d.... ce facteur disparoîtra dans la division des premiers termes par les seconds, de sorte qu'en dernière analyse l'expression de tang (a+b+c+d....) sera égale à la somme des termes, qui, dans le produit de

{{1+tanga-1} {1+tang¿V-1} {1+tange—1}...

est multipliée par — 1, divisée par la somme de ceux qui ne sont pas multipliés par 1. Or, la somme des premiers est égale à la somme des tangentes, moins tous les produits trois à trois de ces tangentes; plus, tous les produits cinq à cinq, et ainsi de suite; et la somme des seconds est égale à l'unité, moins tous les produits deux à deux des tangentes; plus, tous les produits quatre à quatre, et ainsi de suite. Par conséquent la tangente de la somme de tant d'arcs qu'on voudra, sera égale à la somme des tangentes, moins tous les produits trois à trois de ces tangentes; plus, tous les produits cinq à cinq, et ainsi de suite, divisés par l'unité, moins tous les produits deux à deux de ces tangentes; plus, tous les produits quatre à quatre, et ainsi de suite. On voit encore par ce qui précède, 1°. que le sinus de la

somme d'un nombre quelconque d'arcs est égale à la somme des produits de chaque sinus par le produit des cosinus des autres arcs, moins les produits trois à trois des sinus des arcs par les cosinus des autres arcs, plus tous les produits cinq à cinq de ces mêmes sinus multipliés respectivement par les cosinus des autres arcs, et ainsi de suite; 2°. que le cosinus de la somme d'un nombre quelconque d'arcs est égal au produit des cosinus de ces arcs, moins les produits deux à deux des sinus par les produits des cosinus des autres; plus, la somme des produits quatre à quatre des sinus de ces arcs par les produits des cosinus des autres arcs, et ainsi de suite. Si dans la première formule, ainsi que dans les deux autres, on suppose que tous les arcs soient égaux entr'eux et à a, on aura celles qui donnent les tangentes sinus et cosinus des arcs multiples, et coïncideront avec celles que Jean Bernoulli a données le premier.

Quadrature de la Parabole, de la Cycloïde et de la Logarithmique, par la considération des infiniment petits;

Par M. de STAINVILLE.

Quadrature de la Parabole. (Pl. 2.)

=

Soit MAN un segment de parabole (fig. 1, pl. 2): si par le point P, milieu de MN, on mène la droite PA parallèle à l'axe, elle sera un diamètre et divisera toutes les droites parallèles à MN, et par conséquent l'aire du segment MAN en deux parties égales. Si par le point Mon mène la tangente MT, on aura A TAP. Si par tout autre point m de cette courbe on mène une ordonnée mp au diamètre AP, et une tangente me à la même courbe, on aura At Ap, ainsi Tt Pp. Si on suppose que le point m soit infiniment près du point M, le triangle élémentaire MT: sera la moitié du parallelogramme élémentaire MPpm, puisque les bases et les hauteurs sont égales; par conséquent la somme des triangles élémentaires qui composent le triangle mixtiligne MAT, sera la moitié de celle des parallelogrammes élémentaires qui composent le demi-segment de parabole, dont il résulte que le demi-segment parabolique est les deux tiers du triangle MPT fait sur l'ordonnée et la soutangente; ou ce qui revient au

même, les deux tiers du parallelogramme fait sur l'abscisse et l'ordonnée: le demi-segment inférieur APN étant égal au supérieur APM, il s'ensuit que le segment total MAN est les deux tiers du parallelogramme circonscrit.

Quadrature de la Cycloïde.

Par le point le plus élevé de la cycloïde menons une parallèle à sa base, qui soit terminée par les perpendiculaires élevées aux extrémités de cette base, on aura un rectangle ACML (fig. 2) dont la base sera égale à la circonférence du cercle générateur, et dont la hauteur sera égale au diamètre de ce même cercle; par conséquent l'aire de ce rectangle sera quadruple de celle du cercle générateur. Cela posé, si par deux points Get H pris sur la cycloïde, on mène des tangentes à cette courbe, que par les mêmes points on mène des parallèles à la base jusqu'à la rencontre du cercle DEBD, et que l'on tire les cordes DE, DF, elles seront respectivement égales et parallèles à GK et HI; par conséquent si les points Get H sont infiniment près, le triangle élémentaire IHK est égal au secteur élémentaire EDF; ainsi la somme de tous les triangles élémentaires qui composent l'aire du triangle mixtiligne ALD sera égale à celle de tous les petits secteurs élémentaires qui composent le demi-cercle DEB. Le triangle mixtiligne DCM étant égal au demi-cercle DNB, il en résulte que les deux triangles mixtilignes ALD, CMD, équivalent au cercle DEBND; si on les retranche du rectangle A CML, qui est quadruple du cercle DEBND, il restera, pour l'aire de la cycloïde, le triple de l'aire du cercle générateur,

Quadrature de la Logarithmique.

Soient M et m (fig. 3) deux points de cette courbe que nous supposerons infiniment près l'un de l'autre ; si par l'un et l'autre. de ces points on mène des tangentes à la courbe et des ordonnées à l'axe PX qui en est l'asymptote, on aura, en vertu des propriétés de cette courbe PT pt; cela posé, les points Met m étant infiniment près, le petit arc Mm se confond avec la tangente au point m. Si par le point T on mène To parallèle à mt, et TK parallèle aux ordonnées, on aura un parallelogramme K ToM, qui sera divisé par la diagonale MT en deux, également; par conséquent le triangle MToest égal au triangle MTK, et comme celui-ci ne diffère de MTt que du triangle TeK qui est infiniment petit par rapport à MTt, on aura MTo = MTt. Si par un autre point m' infiniment près de m, on mène une tangente m'

à la courbe, et que par le point 7 on lui mène une parallèle To', on aura l'espace mit'm'm égal au triangle Too', et ainsi de suite; par conséquent l'espace total compris entre la courbe, l'asymptote et la tangente, est égal à la somme de tous les triangles élémentaires dont se compose le triangle MPT, c'est-à-dire au triangle lui-même ; si à cet espace on ajoute le triangle MPT, on aura pour l'espace total compris entre la courbe, une ordonnée et Pasymptote, un espace double de l'aire du triangle fait sur l'ordonnée et la soutangente, et par conséquent égale au parallélogramme fait sur la sous-tangente et l'ordonnée.

Si on veut avoir la portion de l'aire comprise entre la courbe, deux ordonnées quelconques et la partie de l'asymptote comprise entre ces deux ordonnées, il est facile de voir qu'on l'obtiendra en construisant un parallelogramme qui auroit pour côtés contigus, la soutangente et la différence des ordonnées.

Il est aussi facile de voir que la portion de l'aire terminée par une portion de la courbe, les tangentes menées à ses extrémités et l'asymptote est égale au triangle formé avec les tangentes menees aux extrémités de l'arc et dont l'angle compris seroit celui que ces deux tangentes font entr'elles.

Evaluation d'un segment de paraboloïde.

Par le point le plus éloigné. de la base du segment, concevons une droite parallèle à l'axe de révolution, et par un point de cette droite située dans l'intérieur de ce segment et à une distance infiniment petite de la base, concevons un plan qui lui soit parallèle: on aura une tranche infiniment mince, dont le volume se confondra avec le cylindre qui auroit pour base celle du segment, et pour hauteur l'épaisseur de la tranche; cela posé, si on conçoit un cône dont le sommet soit sur le diamètre AP de l'autre côté de l'origine, à une distance AT= AP (fig. 1), et qui ait même base que le segment de paraboloïde, il sera tangent à la surface de révolution, puisque les intersections du cône , par les plans conduits suivant le diamètre AP, sont tangentes aux paraboles qui sont les intersections de ce même plan avec la surface du påraboloïde. Si on prend ensuite At=Ap, le point sera le sommet d'un cône dont la surface sera le prolongement de la petite zône élémentaire, comprise entre les deux plans infiniment rapprochés, et la différence des cônes qui est partie du solide comprise entre les deux surfaces coniques, sera égale à la base commune multipliée par le tiers de la différence des hauteurs, et par conséquent sera égale au tiers du petit cylindre élémentaire MP, pm, qui lui correspond dans le

egment de paraboloïde; ainsi la somme des petits volumes élémentaires compris entre les surfaces coniques infiniment voisines et ayant leur centre sur le diamètre TP, est le tiers de la somme des cylindres élémentaires correspondant dans le segment de paraboloïde ; d'où il résulte que le solide extérieur au segment est contenu trois fois dans ce segment, et par suite quatre fois dans le cône circonscrit : le segment de paraboloïde est donc les trois quarts de ce cône; et comme ce cône est les deux tiers du cylindre circonscrit à ce segment, puisqu'il a même base et une hauteur double, il en résulte que ce segment de paraboloïde est les des du cylindre circonscrit, ou ce qui revient au même la moitié de ce même cylindre.

Si on vouloit avoir le centre de gravité d'un segment de paraboloïde, il faudroit le concevoir décomposé en tranches infiniment minces, d'égale épaisseur, et parallèles à la base : le centre de gravité de chacune d'elles se trouvant sur la droite menée par le sommet du segment parallèlement à l'axe de révolution, le centre de gravité du segment s'y trouvera aussi, et comme les intensités des forces appliquées aux différens points de cette droite varieront dans le rapport des carrés des ordonnées d'une section faite suivant le diamètre, et par conséquent dans le rapport, de leur distance au sommet, il s'ensuit que le centre de gravité se trouvera aux deux tiers du diametre à partir de l'origine, puisque le centre de gravité d'une droite aux différens points de laquelle on applique des forces proportionnelles aux distances de ces mêmes points, à l'une des extrémités, peut être considéré comme le centre de gravité d'un triangle dont la base seroit divisée par une des extrémités en deux parties égales, et dont le sommet seroit placé à l'autre extrémité.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

Problême.

Etant donnée une surface de révolution engendrée par une courbe quelconque, et un cône dont la trace sur le plan perpendiculaire à l'axe de rotation, soit aussi une courbe quelconque, trouver leur intersection en n'employant que la ligne droite et le cercle.

Solution, par M, OLIVIER, Elève.

On coupe les deux surfaces données par une suite de cônes auxiliaires, qui ont même sommet que le cêne donné, et qui