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même, les deux tiers du parallelogramme fait sur l'abscisse et l'ordonnée : le demi-segment inférieur APN étant égal au supérieur APM, il s'ensuit que le segment total MAN est les deux tiers du parallelogramme circonscrit.

Quadrature de la Cycloïde.

Par le point le plus élevé de la cycloïde menons une parallèle à sa base, qui soit terminée par les perpendiculaires élevées aux extrémités de cette base, on aura un rectangle ACML (fig. 2) dont la base sera égale à la circonference du cercle générateur, et dont la hauteur sera égale au diamètre de ce même cercle'; par conséquent l'aire de ce rectangle sera quadruple de celle du cercle générateur. Cela posé, si par deux points Get H pris sur la cycloide , on mène des tangentes à cette courbe, que par les mêmes points on mène des parallèles à la base jusqu'à la rencontre du cercle DEBD, et que l'on tire les cordes DE, DF, elles seront respectivement égales et parallèles à GK et HI; par conséquent si les points Get H sont infiniment près, le triangle élémentaire IHK est égal au secteur élémentaire EDF; ainsi la somme de tous les triangles élémentaires qui composent l'aire du triangle mixtiligne ALD sera égale à celle de tous les petits secteurs élémentaires qui composent le demi-cercle DEB. Le triangle mixtiligne DCM étant égal au demi-cercle DNB, il en résulte que les deux triangles mixtilignes ALD, CMD, équivalent au cercle DEBND; si on les retranche du rectangle À CML, qui est quadruple du cercle DEBND, il restera , pour l'aire de la cycloïde, le triple de l'aire du cercle générateur,

Quadratura de la Logarithmique.

Soient M et m (fig. 3) deux points de cette courbe que nous supposerons infiniment près l'un de l'autre ; si par l'un et l'autre. de ces points on mène des tangentes à la courbe et des ordonnées à l'axe PX qui en est l'asymptote, on aura, en vertu des propriétés de cette courbe PT=pt; cela posé, les points M et in étant infiniment près, le petit arc Mm se confond avec la tangente au point m. Si par le point T on mène To parallèle à mnt, et TK parallèle aux ordonnées, on aura un parallélogramme K TOM, qui sera divisé par la diagonale MT en deux , également; par conséquent le triangle MTo est égal au triangle MĪK , et comme celui-ci ne diffère de MTt que du triangle T'ck qui est infiniment petit par rapport à MTt, on aura MTO=MTt. Si par un autre point m' infiniment près de m, on mène une tangente mich à la courbe , et que par le point T on lui mène une parallèle To', on aura l'espace mitm'm égal au triangle Too', et ainsi de suile; par conséquent l'espace total compris entre la courbe, l'asymptote et la tangente, est égal à la somme de tous les triangles élémentaires dont se compose le triangle MPT, c'est-à-dire au triangle lui-même; si à cet espace on ajoute le triangle MPT, on aura pour l'espace total compris entre la courbe, une ordonnée et l'asymptote, un espace double de l'aire du triangle fait sur l'ordonnée et la soutangente , et par conséquent égale au parallelogramme fait sur la sous-tangente et l'ordonnée.

Si on veut avoir la portion de l'aire comprise entre la courbe, deux ordonnées quelconques et la partie de l'asymptote comprise entre ces deux ordonnées, il est facile de voir qu'on l'obtiendra en construisant un parallelogramme qui auroit pour côtés contigus, la soutangente et la différence des ordonnées.

Il est aussi facile de voir que la portion de l'aire terminée par une portion de la courbe, les tangentes menées à ses extrémités et l'asymptote est égale au triangle formé avec les tangentes menees aux extrémités de l'arc et dont l'angle compris seroit celui

que ces deux tangentes font entr'elles.

Evaluation d'un segment de paraboloide. Par le point le plus éloigné.de la base du segment, concevons une droite parallèle à l'axe de révolution , et par un point de cette droite située dans l'intérieur de ce segment et à une distance infiniment petite de la base, concevons un plan qui lui soit parallèle: on aura une tranche infiniment mince, dont le volume se confondra avec le cylindre qui auroit pour base celle du segment, et pour hauteur l'épaisseur de la tranche; cela posé , si on conçoit un cône dont le sommet soit sur le diamètre de l'autre côté de l'origine, à une distance AT=AP (fig. 1), et qui ait même base que le segment de paraboloïde, il sera tangent à la surface de révolution, puisque les intersections du cône , par les plans conduits suivant le diamètre AP, sont tangentes aux paraboles qui sont les intersections de ce même plan avec la surface du påraboloïde. Si on prend ensuite At= Ap, le point i sera le sommet d'un cône dont la surface sera le prolongement de la petite zône élémentaire , comprise entre les deux plans infiniment rapprochés, et la différence des cônes qui est la partie du solide comprise entre les deux surfaces coniques, sera égale à la base commune multipliée par le tiers de la différence des hauteurs , et par conséquent sera égale au tiers du petit cylindre élémentaire MP, pm, qui lui correspond dans le segment de paraboloïde; ainsi la somme des petits volumes élémentaires compris entre les surfaces coniques infiniment voisines et ayant leur centre sur le diamètre TP, est le tiers de la somme des cylindres élémentaires correspondant dans le segment de paraboloïde ; d'où il résulte que le solide extérieur au segment est contenu trois fois dans ce segment, et par

suite quatre fois dans le cône circonscrit : le segment de paraboloïde est donc les trois quarts de ce cône; et comme ce cône est les deux tiers du cylindre circonscrit à ce segment, puisqu'il a même base et une hauteur double, il en résulte

que ce segment

de

paraboloïde est les des du cylindre circonscrit, ou ce qui revient au même la moitié de ce même cylindre.

Si on vouloit avoir le centre de gravité d'un segment de paraboloïde, il faudroit le concevoir décomposé en tranches infiniment minces, d'égale épaisseur, et parallèles à la base : le centre de gravité de chacune d'elles se trouvant sur la droite menée par le sommet du segment parallèlement à l'axe de révolution, le centre de gravité du segment s'y trouvera aussi, et comme les intensités des forces appliquées aux différens points de cette droite varieront dans le rapport des carrés des ordonnées d'une section faite suivant le diamètre , et par conséquent dans le rapport de leur distance au sommet,

il s'ensuit que le centre de gravité se trouvera aux deux tiers du diametre à partir de l'origine, puisque le centre de gravité d'une droite aux différens points de laquelle on applique des forces proportionnelles aux distances de ces mêmes points, à l'une des extrémités, peut être considéré comme le centre de gravité d'un triangle dont la base seroit divisée par une des extrémités en deux parties égales, et dont le sommet seroit placé à l'autre extrémité.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

Probléme. Etant donnée une surface de révolution engendrée par une courbe quelconque, et un cône dont la trace sur le plan perpendiculaire à l'axe de rotation , soit aussi une courbe quelconque , trouver leur intersection en n'employant que la ligne droite et le cercle.

Solution, par M, OLIVIER, Elève. On coupe les deux surfaces données par une suite de cônes auxiliaires, qui ont même sommet que le cêne donné, et qui

ont pour bases des cercles de la surface de révolution. L'un de ces cônes auxiliaires, prolongé jusqu'au plan de la base du cônę donné, a pour trace, sur ce plan, un cercle. Les points d'intersection de ce cercle et de la base du cône donné deterininent des arêtes communes à ce dernier cône et au cône auxiliaire. Une quelconque de ces arêtes passe par un point du cercle qui est à-la-fois sur la surface de révolution, sur le cône auxiliaire , et sur le cône donné; d'où il suit que ce point est sur la courbe d'intersection des deux surfaces données.

Je me propose de déterminer les cônes auxiliaires limites, c'est-à-dire ceux qui passent par les cercles de la surface de révolution, entre lesquels sont comprises les différentes branches de la courbe d'intersection cherchée.

Si la trace du cône auxiliaire ne coupe pas celle de la surface conique donnée, il n'y aura aucun point de la courbe situé sur le cercle appartenant à-la-fois au cône auxiliaire et à la surface de révolution.

Si au contraire ces deux traces se coupent, il y aura sur ce cercle autant de points de la courbe qu'il y aura de points communs aux deux traces.

Les cercles limites seront donc ceux qui ne contiendront qu'un seul point de la courbe; ils seront évidemment placés sur les cônes auxiliaires dont les traces seront tangentes à celle de la surface conique donnée; et ces derniers seront les cônes limites.

Pour déterminer les centres des cercles, traces de ces cônes limites, nous emploierons la construction suivante :

(Pl. 2, fig. a et b.) Tous les cercles, bases des cônes auxiliaires, ont leurs centres sur la trace horizontale O'S' (fig. a), du plan vertical passant par le sommet S,S'. des cônes auxiliaires, et par l'axe 0', Ow de la surface de révolution. Si de tous les points de la courbe ABCD, trace de la surface conique donnée, on mène des normales à cette courbe, chacune des normales coupera la droite O'S' (fig. a) en un point qui est le centre d'un cercle , trace de l'un des cônes auxiliaires. Le rayon de ce cercle étant connu, on le portera sur la normale, à partir du point de la courbe par lequel on a élevé cette normale; l'extrémité de ce rayon appartient à une courbe mn,m'n' (fig. a) qui coupe la droite O'S' aux points F, G..., centres des cercles , qui touchent la trace ABCD du cône donné. Ces cercles sont évidemment les bases des cônes auxiliaires limites.

Ayant déterminé les cônes auxiliaires limites, il sera facile de trouver les cercles limites, situés sur la surface de révolution.

Ce problême ( proposé cette année 1812 , par M. Arago) étant résolu, on appliqueroit utilement cette solution à la détermination des ombres, dans le cas , par exemple, où l'on deman

deroit l'ombre portée par une courbe donnée sur une surface de révolution, les rayons lumineux partant d'un senl point.

Lorsque ces rayons sont parallèles entr'eux, l'ombre d'une courbe sur une surface de révolution est la ligne d'intersection de cette surface et d'un cylindre qui a pour base la courbe donnée, et dont les arêtes sont parallèles.

Pour trouver cette ligne on coupe les deux surfaces par une suite de cylindres qui ont pour bases des cercles de la surface de révolution, et pour arêtes des droites parallèles aux rayons de la lumière.

C'est ainsi que dans l'épure du vase (leçons de M. Hachette , sur les ombres ) on détermine l'ombre portée sur ce vase , par le cercle qui termine sa surface. Cette méthode n'est pas particulière aux surfaces de révolution ; elle s'appliqueroit avec les mêmes avantages dans le cas où il s'agiroit de trouver l'intersection d'un cône et d'une surface engendrée par une courbe plane , mobile, constante de forme, et dont le plani ne changeroit pas de direction.

QUESTIONS DE MATHÉMATIQUES

ET DE PHYSIQUE,

Proposées au Concours général des Lycées de Paris,

année 1812.

MM. Giorgini et Duchayla , élèves admis cette année à l'Ecole Polytechnique, ont remporté, l'un le premier prix de mathématiques , et l'autre le premier prix de physique.

Physique.
Exposer la théorie de la réfraction de la lumière.

Mathématiques. - Question de Géométrie. Etant donné un quadrilatère ABCD (fig. 1, pl. 3), dont les quatre côtés ne sont pas situés dans un même plan, on demande

1°. L'équation de la surface engendrée par le mouvement

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