ont pour bases des cercles de la surface de révolution. L'un de ces cônes auxiliaires, prolongé jusqu'au plan de la base du cône donné, a pour trace, sur ce plan, un cercle. Les points d'intersection de ce cercle et de la base du cône donné determinent des arêtes communes à ce dernier cône et au cône auxiliaire. Une quelconque de ces arêtes passe par un point du cercle qui est à-la-fois sur la surface de révolution, sur le cône auxiliaire, et sur le cône donné; d'où il suit que ce point est sur la courbe d'intersection des deux surfaces données.

Je me propose de déterminer les cônes auxiliaires limites, c'est-à-dire ceux qui passent par les cercles de la surface de révolution, entre lesquels sont comprises les différentes branches de la courbe d'intersection cherchée.

Si la trace du cône auxiliaire ne coupe pas celle de la surface conique donnée, il n'y aura aucun point de la courbe situé sur le cercle appartenant à-la-fois au cône auxiliaire et à la surface de révolution.

Si au contraire ces deux traces se coupent, il y aura sur ce cercle autant de points de la courbe qu'il y aura de points communs aux deux traces.

Les cercles limites seront donc ceux qui ne contiendront qu'un seul point de la courbe; ils seront évidemment placés sur les cônes auxiliaires dont les traces seront tangentes à celle de la surface conique donnée ; et ces derniers seront les cônes limites. Pour déterminer les centres des cercles, traces de ces cônes limites, nous emploierons la construction suivante :

(Pl. 2, fig. a et b.) Tous les cercles, bases des cônes auxiliaires, ont leurs centres sur la trace horizontale O'S' (fig. a), du plan vertical passant par le sommet S,S'. des cônes auxiliaires et par l'axe O',O de la surface de révolution. Si de tous les points de la courbe ABCD, trace de la surface conique donnée, on mène des normales à cette courbe, chacune des normales coupera la droite O'S' (fig. a) en un point qui est le centre d'un cercle, trace de l'un des cônes auxiliaires. Le rayon de ce cercle étant connu, on le portera sur la normale, à partir du point de la courbe par lequel on a élevé cette normale; l'extrémité de ce rayon appartient à une courbe mn,m'n' (fig. a) qui coupe la droite O'S' aux points F, G..., centres des cercles, qui touchent la trace ABCD du cône donné. Ces cercles sont évidemment les bases des cônes auxiliaires limites.

Ayant déterminé les cônes auxiliaires limites, il sera facile de trouver les cercles limites, situés sur la surface de révolution.

Ce problême (proposé cette année 1812, par M. Arago) étant résolu, on appliqueroit utilement cette solution à la détermination des ombres, dans le cas, par exemple, où l'on deman

deroit l'ombre portée par une courbe donnée sur une surface de révolution, les rayons lumineux partant d'un seul point.

Lorsque ces rayons sont parallèles entr'eux, l'ombre d'une courbe sur une surface de révolution est la ligne d'intersection de cette surface et d'un cylindre qui a pour base la courbe donnée, et dont les arêtes sont parallèles.

Pour trouver cette ligne on coupe les deux surfaces par une suite de cylindres qui ont pour bases des cercles de la surface de révolution, et pour arêtes des droites parallèles aux rayons de la lumière.

C'est ainsi que dans l'épure du vase (leçons de M. Hachette, sur les ombres) on détermine l'ombre portée sur ce vase, par le cercle qui termine sa surface. Cette méthode n'est pas particulière aux surfaces de révolution; elle s'appliqueroit avec les mêmes avantages dans le cas où il s'agiroit de trouver l'intersection d'un cône et d'une surface engendrée par une courbe plane, mobile, constante de forme, et dont le plan ne changeroit pas de direction.

QUESTIONS DE MATHÉMATIQUES ET DE PHYSIQUE,

Proposées au Concours général des Lycées de Paris, année 1812.

MM. Giorgini et Duchayla, élèves admis cette année à l'Ecole Polytechnique, ont remporté, l'un le premier prix de mathématiques, et l'autre le premier prix de physique.

Physique.

Exposer la théorie de la réfraction de la lumière.

Mathématiques.

Question de Géométrie.

Etant donné un quadrilatère ABCD (fig. 1, pl. 3), dont les quatre côtés ne sont pas situés dans un même plan, on demande 1o. L'équation de la surface engendrée par le mouvement

d'une droite MN, qui s'appuie sur les deux côtés CB, AD du quadrilatère, de manière que l'on ait la proportion DN: NA:: CM: MB.

2o. L'équation d'une seconde surface engendrée par une droite IK, qui s'appuie sur les deux côtés opposés AB, DC du quadrilatère avec la condition CK : KD :: BI : IÁ.

3o. On demande de plus si ces deux surfaces sont différentes ou si elles sont coïncidentes?

Solution de la question de Géométrie,
Par M. GIORGINI.

Première solution (analytique).

Suivant les côtés adjacens AB, AD (fig. 1, pl. 3), conduisez le plan des zy; par le côté AB, le plan des zx parallèle au côté opposé CD; enfin, par le côté AD, celui des y x, parallèle au côté opposé BC, et soient représentées par

z=y, y = 6, xe

les coordonnées du point C, on aura

et le cours des côtés du quadrilatère sera représenté par les équations

Cela posé, si nous supposons AN=y', les équations de la génératrice MN seront de la forme

x = B z

y = A z + y',

et si nous éliminons x, y, z, entre les équations de la géné

ratrice MN et celles du côté BC, nous aurons, pour exprimer que MN s'appuie constamment sur BC, l'équation de condition

=

(a). Byba (Ay+y').

De plus, par hypothèse, l'on a

au point C, y = 6, et au point M, ≈≈y, y=dy+y', nous aurons donc

d'où il résulte, puisque y n'est pas généralement nul, que A=0, et par conséquent que l'équation de condition (a) devient

By b = ay';

or, des équations de la génératrice, on tire Bet y'!= y; l'équation de la surface demandée sera donc

Nous avons ainsi satisfait à la première partie de la question; voici ce qui résout les deux secondes :

Pour avoir l'équation de la surface engendrée par la seconde droite IK, il est clair que les calculs seroient absolument les mêmes, considérant seulement, au lieu des côtés AD, BC, les côtés AB, CD, et par suite changeant 6 et y en y et, et réciproquement. Et pour avoir donc l'équation de la seconde surface, il suffira de faire ces changemens dans l'équation de la première; or, l'équation (1) est symétrique par rapport à 6 et y, et par rapport à y et cette équation est donc également celle des deux surfaces: ces deux surfaces n'en font donc qu'une, et sont coïncidentes.

Discussion.

Reprenons l'équation de la surface y xay, et cherchons les sections de cette surface par un plan, 1o. parallèle à celui des y, x; 2°. parallèle à celui des z, x. Le premier ayant

pour équation, nous donne pour section la droité

z=k, y6x=aky,

le second ayant pour équation y = k, la section qu'il fera sur la surface, sera la droite

y=k, y6x=akz.

D'où il résulte que notre surface peut être engendrée de deux manières différentes par une droite, qui se meut s'appuyant sur deux autres, et assujettie à être constamment parallèle à un même plan; nous sommes donc en droit de conclure que cette surface est un paraboloïde hyperbolique.

Quant aux sections de la surface par des plans parallèles à celui des y, z, c'est-à-dire à celui des deux côtés AB, AD, il est clair que l'équation de l'un de ces plans étant généralement xe, celles de la section seront

x = c, x y z =y6c,

d'où il résulte que ces sections sont des hyperboles rapportées à leurs asymptotes, et que, par conséquent, les plans des x, z, et celui des x, y, sont des plans asymptotiques de la surface; on aura donc un systême de plans asymptotiques, en conduisant, suivant deux côtés adjacens, des plans parallèles aux côtés qui leur sont respectivement opposés.

Supposons actuellement qu'au lieu de prendre le point «, 6, 7, pour l'un des sommets du quadrilatère, l'on prenne un autre point placé sur la surface d'une manière quelconque, c'est-àdire, tel que «', 6', ', étant ses cordonnées, l'on ait la relation

alors, considérant la surface engendrée d'après le même mode de génération, en faisant usage de ce second quadrilatère, son équation sera

76! I = a' yz,

et cette seconde surface aura, pour plans asymptotiques, ceux menés suivant les côtés du quadrilatère qui passent par le point a', 6', y', parallèlement aux côtés opposés, c'est-à-dire, aux plans des x, y et des x, or, puisque