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d'une droite MN, qui s'appuie sur les deux côtés CB, AD đu quadrilatère, de manière que l'on ait la proportion DN: NA:: CM: MB.

2o. L'équation d'une seconde surface engendrée par une droite. IK, qui s'appuie sur les deux côtés opposés AB, DC du quadrilatère avec la condition CK : KD :: BI : IX.

3o. On demande de plus si ces deux surfaces sont différentes ou si elles sont coïncidentes?

Solution de la question de Géométrie,

Par M. GIORGINI.

Première solution (analytique).

Suivant les côtés adjacens AB, AD (fig. 1, pl. 3), conduisez le plan des Zy; par le côté AB, le plan des zx parallèle au côté opposé CD; enfin , par le côté AD, celui des y x, parallèle au côié opposé BC, et soient représentées par

z = 4, y = 6, 3a les coordonnées du point C, on aura

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et le cours des côtés du quadrilatère sera représenté par les équations

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Cela posé, si nous supposons AN=y', les équations de la génératrice MN seront de la forme

X = Bz
y = A ; to g?,

et si nous éliminons x, y, z, entre les équations de la géné

ratrice MN et celles du côté BC, nous aurons, pour exprimer que MN s'appuie constamment sur BC, l'équation de condition

(a) .. By6=« (Ag + y!).
De plus, par hypothèse , l'on a
ND CM

AD в с
NA MB

AN

BM

ou bien

au point C, y = 6, et au point M,x=y, y = dy tyd, nous aurons donc

BC

6
AD

ou bien Ay=0, BM Arty! AN d'où il résulte, puisque y n'est pas généralement nul, que A=0, et par conséquent que l'équation de condition (a) devient

By 6= a g! ; or, des équations de la génératrice , on tire B=

=ety!=y; l'équation de la surface demandée sera donc

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Nous avons ainsi satisfait à la première partie de la question ; voici ce qui résout les deux secondes :

Pour avoir l'équation de la surface engendrée par la seconde droite IK, il est clair que les calculs seroient absolument les mêmes, considérant seulement, au lieu des côtés AD, BC, les côtés AB, CD, et par suite changeant 6 et y en y et , et réciproquement. Et pour avoir donc l'équation de la seconde surface, il suffira de faire ces changemens dans l'équation de la première; or, l'équation (1) est symétrique par rapport à 6 ety, et par rapport à y et z: cette équation est donc également celle des deux surfaces : ces deux surfaces n'en font donc qu'une, et sont coïncidentes.

Discussion.

Reprenons l'équation de la surface y 6x=«y!, et cherchons les sections de cette surface par un plan, 1°. parallèle à celui des y, x; 2°. parallèle à celui des z, x. Le premier ayant

pour équation >=k, nous donne pour section la droité

z=k, g6x =« ky, le second ayant pour équation y=k, la section qu'il fera sur la surface, sera la droite

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D'où il résulte que notre surface peut être engendrée de deux manières différentes par une droite, qui se meut s'appuyant sur deux autres, et assujettie à être constamment parallèle à un même plan; nous sommes donc en droit de conclure que cette surface est un paraboloide hyperbolique.

Quant aux sections de la surface par des plans parallèles à celui des y, z, c'est-à-dire à celui des deux côtés AB, AD, il est clair que l'équation de l'un de ces plans étant généralement *=c, celles de la section seront

x=c, ay z=760, d'où il résulte que ces sections sont des hyperboles rapportées à leurs asymptotes , et que, par conséquent, les plans des x,%, et celui des x, y, sont des plans asymptotiques de la surface; on aura donc un système de plans asymptotiques, en conduisant, suivant deux côtés adjacens , des plans parallèles aux côtés qui leur sont respectivement opposés.

Supposons actuellement qu'au lieu de prendre le point ., 6, , pour l'un des sommets du quadrilatère, l'on prenne un autre point placé sur la surface d'une manière quelconque, c'est-àdire, tel que a',6', 1, étant ses cordonnées, l'on ait la relation

69.g' =y6o!; alors, considérant la surface engendrée d'après le même mode de génération , en faisant usage de ce second quadrilatère, son équation sera

W 6! = oyz, et cette seconde surface aura, pour plans asymptotiques, ceux menés suivant les côtés du quadrilatère qui passent par le point a', 6', u', parallèlement aux côtés opposés, c'est-à-dire, aux plans des , y et des x, %: or, puisque

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l'équation de la seconde surface devient

* $ = = = = =;

vänt :

c'est-à-dire, que cette seconde surface est la même que la première, et que, par suite, tous les systêmes de plans menés suivant deux génératrices de la surface parallèlement aux deux côtés opposés du quadrilatère, seront un systême de plans asymptotiques.

Nous avons démontré que la génération de notre surface étoit la même que la génération du paraboloïde hyperbolique ; il s'ensuit donc de nos dernières considérations le théorême sui

Que tout paraboloïde hyperbolique admet une infinité de plans asymptotiques, qui rencontrent chacun la surface suivant l'une de ses génératrices, et sont respectivement parallèles aux plans directeurs auxquels chaque génératrice est parallèle.

Deuxième solution (géométrique). Tous les résultats obtenus précédemment par l'analyse peuvent également se démontrer par de simples considérations de triangles, comme nous allons le faire voir.

Concevons pour cela que, conservant la même disposition d'axes que précédemment, on conduise , suivant les deux côtés CB, CD (fig. 2), un plan, dont DR, BR soient les traces sur les deux plans des y, x et des 5, x; le plan des y, étant parallèle au côté CB, la trace DR séra parallèle à ce côté ; par la même raison, BR sera parallèle à CD, et la figure CDRB sera un parallelogramme. Si donc on mène dans le plan de ce parallelogramme, la ligne ME parallèle à BR, on aura CM=DE, MB = ER, et par conséquent DN:NA:: DE: ER, D'où il résulte que la ligne NE est parallèle à AR, et le plan MEN parallèle au plan BRA ou à celui des x, x; la génératrice MN, située dans le plan MEN, sera donc constamment parallèle au plan des 2,3; d'où il résulte d'abord

que

la surface demandée est un paraboloïde hyperbolique.

Cherchons actuellement l'équation de la surface, et, pour cela, considérons un point quelconque G (fig. 2), situé sur la génératrice MN; soients, x, y, les trois coordonnées GP, PN, NA de ce point; CS, SD, DA, celles du point C; ML, LN, NA, celles du point M, nous aurons ML LN

LN LN NA
ou bien
GP PN'

SD DA

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pour l'équation de la surface demandée : ce résultat est conforme à celui que nous avions obtenu précédemment.

La coïncidence des deux surfaces peut également se démontrer sans faire

usage
d'aucune

équation. En effet, conservons la même construction que précédem. ment, et de plus, conduisons dans le plan du parallelogramme, KF parallèle à CB, IF sera parallèle à AR, par la même raison que NE est parallèle à AR; les deux plans KFI, MEN, respectivement parallèles à ceux des y, x et des , x , se couperont suivant une certaine droite GH, parallèle à IF, NE et AR. Si donc nous parvenons à démontrer que le point où GH rencontre la génératrice MN, est le même que celui où GH rencontre Ki, il sera démontré que les génératrices KI et MN se rencontrent en un même point, et que, par conséquent, une génératrice quelconque de l'une des deux surfaces rencontre toutes celles de la seconde surface, y est située, et que les deux surfaces sont coïncidentes.

Or, si nous regardons le point G comme celui où GH rencontre MN, les triangles MGH, MNE semblables , donneront

NE X MH
GHE

ME

or, MH= CK, ME=CD, et les triangles DNE, DAR semblables, donnent

DN X AR
NE =

;
DA

nous aurons.donc

DN. CK. AR
GH =

CD. DA

Supposons actuellement que le point G soit celui d'intersection de la droite GH avec KI, nous aurons dans les triangles KGH, KIF semblables.

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