construirous ces courbes par la considération du paraboloïde hyperbolique tangent à la surface du filet. Quant aux autres lignes, qu'on trouve par l'application des méthodes connues, on se contentera d'indiquer, dans la légende, les surfaces dont elles sont les intersections.

Explication de l'Epure A (pl. 4).

Les données de cette Epure sont. 1°. un cercle (fig. 1) du rayon AB, projection horizontale du noyau de la vis qu'on suppose vertical; 2°. un cercle du rayon AC, base du cylindre qui contient l'hélice commune aux surfaces supérieure et inférieure des filets; 3°. un cercle du rayon AD, projection horizontale de la tête de la vis, dont la hauteur est aß, ou yo (fig. 2); 4°. la droite génératrice CB (fig. 1), cb (fig. 2) de la surface supérieure des filets de la vis. Cette droite prolongée coupe l'axe du noyau de la vis au point (fig. 1), a (fig. 2), et fait avec cet axe un angle constant caa'. La droite génératrice de la surface inférieure des filets, menée par le point c (fig. 2), feroit avec l'axe vertical aa', un angle égal au premier caa'; le sommet de cet angle seroit au-dessous de l'horizontale ca', et à une distance de celte horizontale égale à la verticale aa'; 5°. enfin l'écrou compris entre les deux plans horizontaux e, 40.

D'après ces données, on demande d'abord le contour de la projection verticale des filets de la vis. Un plan vertical tel que AB (fig. 1), parallèle au plan vertical de projection (fig. 2), couperoit les filets de la vis suivant un systême de lignes droites parallèles aux génératrices de ces filets; mais les projections verticales de ces droites ne forment pas le contour de la projection verticale des filets. Pour obtenir la ligne limite de cette projection, il faut concevoir les surfaces supérieure et inférieure des filets de la vis, enveloppées par deux cylindres dont les arêtes sont perpendiculaires au plan de projection. L'intersection de ces cylindres, par le plan vertical de projection, est la ligne demandée. Si l'on observe que cette ligne doit être tangente aux projections verticales de toutes les hélices, on en conclura qu'elle est nécessairement courbe; car, si elle étoit droite, elle couperoit l'axe du noyau de la vis; ce qui est impossible, puisqu'elle doit toucher cet axe qui peut être considéré comme une hélice de la surface de la vis, tracée sur un cylindre dont la base est réduite à zéro.

Pour tracer la courbe limite de la projection verticale des filets de la vis, reprenons la planche 2 du premier cahier de ce volume, qu'on a réimprimée pour ce 5o. cahier. Soient AB',ab' (planche 2, cahiers 2°. et 5.), les projections horizontale et verticale de la génératrice de la surface supérieure du filet,

Nous avons démontré (supplément de la géométrie descriptive, art. 61, pag. 62), 1°. que cette surface étoit l'enveloppe de l'espace que parcourt une paraboloide hyperbolique de forme constante; 2°. que la droite génératrice de ce paraboloïde avoit pour directrices les tangentes à trois hélices, parallèles au plan vertical tel que B'N, perpendiculaire à la projection horizontale A B' de la droite commune à la surface du filet et au paraboloïde. Considérant l'axe A,A'a, comme l'un des tangentes directrices, soient B'N, a les projections horizontales des deux autres tangentes. Connoissant le pas de l'hélice décrite par un point quelconque de la génératrice A B', ab', on trouve facilement l'angle que les tangentes font avec le plan horizontal, et tout ce qui est relatif au premier mode de génération du paraboloïde, est bien connu. Déterminons maintenant le second mode de génération. Tout plan vertical, tel que AẞN, passant par l'axe A,A'a, contiendra une droite du paraboloide, appartenant au premier mode de génération. Nommons cette droite D. La droite D passera par les deux points, dont N et ß, extrémités des droites B'N, aß, sont les projections horizontales; or, la différence des ordonnées verticales de ces deux points est égale à la différence des ordonnées verticales, qui correspondent aux deux points B', a; d'où il suit que la droite D, dont la projection horizontale est AN, se projettera sur le plan vertical, suivant une droite telle que nD, parallèle à b'a. Quelle que soit la position de la génératrice du paraboloïde, dans le premier mode de génération, pour lequel les trois directrices sont parallèles au plan vertical B'N, cette génératrice se projettera sur le plan vertical suivant une parallèle à la droite ab', et sur le plan horizontal, suivant une droite passant par le point 4; d'où il suit que dans le second mode de génération, la droite génératrice est constamment parallèle au plan vertical B'N, et les trois directrices sont parallèles à un plan qui auroit pour trace sur le plan vertical la droite ab', et qui seroit perpendiculaire à ce plan vertical. Les deux plans auxquels la génératrice du paraboloïde est parallèle dans les deux systêmes de génération, ayant pour intersection une droite horizontale, tout plan horizontal coupe ce paraboloïde suivant une parabole ( Supplément de la Géométrie descriptive, art. 83, pag. 73).

Connoissant la double génération du paraboloïde qui touche la surface du filet suivant une droite donnée, on trouvera, de la manière suivante, un point de la courbe qui termine la projection verticale de cette surface. On portera sur B'N, perpendiculaire à AB', le développement d'une portion de la circonférence du rayon AB', par exemple, moitié de cette circonférence, et on joindra les points Net A par une droite. Portant au-dessous

du point N une ordonnée verticale, égale à la moitié du pas de l'hélice décrite par le point (B', b'), l'extrémité de cette ordonnée sera un point de la droite qui touche l'hélice au point (B', b'). Prenant sur la verticale b'B', une droite b'n, égale à la moitié du pas de l'hélice, le point n sera la projection verticale du point N. Menant la parallèle nD à b'a, les droites nD, AN sont les projections verticale et horizontale d'une génératrice du paraboloide qui touche la surface du filet suivant la droite AB', ab' de cette surface.

Soient A,, les projections horizontale et verticale d'une droite quelconque de la surface du filet; concevons par cette droite un paraboloïde égal à celui qui touche la surface du filet suivant la droite AB', ab, et un plan perpendiculaire au plan vertical. Le point où ce plan, dont la trace horizontale est dd, touche le paraboloïde, appartient à la courbe cherchée. La droite A, et l'horizontale dd, qui se projette sur le plan vertical en , faisant entr'elles l'angle Add, supposons que ces droites tournent autour du point, et viennent coincider l'une avec AB', l'autre avec la droite B'e, qui coupe la ligne AN au point e. Par ce mouvement, l'horizontale d, ♪', prend la position d'une autre horizontale, qui se projette en B'e, b'e'. Le plan qui passe par cette dernière horizontale et par la droite AB, ab', touche le paraboloïde tangent à la surface du filet suivant cette même droite, en un point qu'il s'agit de déterminer. Pour construire ce point, observons que le plan vertical AN coupe la droite de la surface du filet au point A, a, et l'horizontale Ble, b'e', au point e, e'. Or, la droite ae' coupe la droite D au point a; donc la parallèle a o a' à b'n, ou à l'a, coupera les droites AB', ab', en des points a', o, qui seront les projections horizontale et verticale du point de contact cherché.

Décrivant du point A, comme centre, l'arc a'y, qui coupe la droite au pointy, et menant la verticale y qui rencontre la droite, au point, les points y et sont les projections horizontale et verticale d'un point de la courbe cherchée. On trouvera, de la même manière, tant de points qu'on voudra, de la ligne & ', qui termine la projection verticale de la surface du filet.

Le plan tangent à la surface du filet, qui a pour trace sur le plan vertical, la droite, étant perpendiculaire à ce plan vertical, il suit que cette droite touche la courbe μ au point ..

En considérant toutes les nappes de la surface du filet qui ont pour lignes de striction l'axe vertical A, A'a, la limite de la projection verticale de la portion de cette surface, qui corres pond à une révolution entière de la droite génératrice, est une

courbe composée de deux branches infinies μ, xμ'x', tangentes à la droite A'a aux points et '. La distance de ces deux points est égale à la moitié du pas de l'hélice, décrite par un point quelconque de la droite qui engendre la surface du filet. Elle a pour asymptote les deux droites b'a, b"a", projections verticales des génératrices du filet, dont les projections horizontales AB', AB sont contenues dans un plan vertical BB', parallèle au plan vertical de projection. D'où il suit que ces deux asymptotes coupent l'axe 'a en deux points a, a1, dont la distance aa est égale à pu.

Le cylindre dont les arêtes sont perpendiculaires au plan vertical BB', touche la surface du filet prolongée indéfiniment, suivant une infinité de courbes, qui se projettent sur le plan vertical suivant des lignes composées de deux branches égales aux courbes e μ'è', 'x', et toutes ces lignes de contact se projettent sur le plan horizontal, suivant une courbe unique, composée de deux branches FAH, LAK, qui se touchent au point A, et qui sont touchées par la droite AA', perpendiculaire au plan de la projection verticale. La branche FAH coupe le cercle du rayon AB' au point F. La verticale FF'coupe la projection verticale de l'hélice décrite par le point (B', b') en un point de la ligne Fu. La même branche FAH coupe au point 0, la tangente B'N du cercle dont le rayon est AB', et à ce point o correspond en projection verticale un point O' (au-dessous de F') de la courbe O'F''. Pour éviter la confusion qui résulte du voisinage des trois points b',F,O' (fig. 2, projection verticale), on a construit à part, sur une plus grande échelle, la fig. 3 qui montre la position respective de ces trois points; le premier b', sur la droite b'a; le second F, au contact de la projection verticale F de l'hélice et de la limite Fe de la projection verticale du filet; le troisième O', sur la courbe limite F', qui a pour asymptote la droite ab', prolongée indéfiniment.

Examinons maintenant quelle doit être, d'après les données de l'épure (pl. 4), la limite de la projection verticale (fig. 2) des surfaces supérieure et inférieure d'un filet, vers les angles (saillant et rentrant) des génératrices qui se croisent aux points o et c'. Vers l'angle saillant c (fig. 2 et 3), on distinguera les deux courbes ge, ge', touchées par la projection verticale dece'd' de l'hélice aux points e et e'. Ces deux courbes g'e, ge', se construisent comme la ligne Fu (fig. 2 et 3, pl. 2 des cahiers 1 et 5). Vers l'angle rentrant (fig. 2 et 4), les deux courbes "", gc, se croisent en un point c", situé sur l'horizontale c'c', à la droite du point c', intersection de l'horizontale c'c", et de la projection verticale dc'd de l'hélice arête des deux surfaces. d'un filet.

De la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur les filets de la vis triangulaire.

On peut construire cette ligne par les méthodes décrites pages 13 et 69 de ce volume; ou par la méthode plus simple, qu'on vient d'employer pour trouver (pl. 2, cahiers 2 et 5) la limite de la projection verticale du filet de la vis, et qui consiste à regarder la surface du filet comme l'enveloppe de l'espace que parcourt un paraboloïde du second degré, de forme constante.

le

Soient (pl. 4) CA, ca, les deux projections de la droite génératrice de la surface supérieure du filet; AE, «E', les deux projections d'une parallèle aux rayons de lumière, menée par point (4,a), où la droite génératrice coupe l'axe vertical ▲,a'a. Le plan vertical AEI touche la surface du filet en un point situé sur l'axe A,a'a, et v est la projection verticale de ce point. La distance av du point a au point, est à la hauteur totale du pas de la vis dans le rapport de l'arc CSI du rayon AC, à la circonférence entiere du même rayon. La droite mobile AC, ac, génératrice de la surface du filet, transportée dans le plan vertical EAI, coupe l'axe A, a'a au point Av. Continuant à tourner autour de cet axe, il revient dans le plan vertical AE, et coupe l'axe au point A, la distance du point au point est égale à un demi pas de la vis.

Considérant ensuite la génératrice dans une position quelconque, par cette génératrice et par une parallèle aux rayons de lumière, on menera un plan qui touchera le paraboloïde correspondant à la position donnée de la génératrice en un point, et ce point appartiendra à la ligne de séparation d'ombre et de lumière, dans l'hypothèse où les rayons de lumière sont parallèles entr'eux. La ligne qui est le lieu de tous ces points, a pour projection horizontale une courbe à deux branches STAOR, MNAOP. Ces deux branches sont touchées par la même droite EAL au point A, et elles ont pour diamètre commun la perpendiculaire à cette droite élevée par le même point A.

Les droites qui engendrent les deux surfaces du filet, élant également inclinées par rapport à l'axe de la vis, la surface inférieure peut être considérée comme le prolongement de la surface supérieure. D'où il suit que la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur la surface inférieure, a aussi pour projection horizontale la courbe des branches STAQR, MNAÒP. Les portions utiles de ces deux branches sont ST, MN, pour la surface supe. rieure, QR et OP pour la surface inférieure. Elles sont comprises entre les deux cercles des rayons AC, AB.