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du point N une ordonnée verticale, égale à la moitié du pas

de l'hélice décrite par le point (B', b'), l'extrémité de cette ordonnée sera un point de la droite qui touche l'hélice au point (B', b'). Prenant sur la verticale b'B', une droite b'n, égale à la moitié du pas de l'hélice, le point n sera la projection verticale du point N. Menant la parallèle nD à bla, les droites nD, AN sont les projections verticale et horizontale d'une génératrice du paraboloide qui touche la surface du filet suivant la droite AB', ab' de cette surface.

Soient Ad, on, les projections horizontale et verticale d'une droite quelconque de la surface du filet; concevons par cette droite un paraboloïde égal à celui qui touche la surface du filet suivant la droite AB', ab', et un plan perpendiculaire au plan vertical. Le point où ce plan, dont la trace horizontale est dd, touche le paraboloïde, appartient à la courbe cherchée. La droite Ad, et l'horizontale dd, qui se projette sur le plan vertical en' N, faisant entr'elles l'angle Add, supposons que ces droites tournent autour du point A, et viennent coincider l'une avec AB', l'autre avec la droite Ble, qui coupe la ligne AN au point e. Par ce mouvement, l'horizontale dd, d, prend la position d'une autre horizontale, qui se projette en Ble, ble's Le plan qui passe par cette dernière horizontale et par la droite AB', ab', touche le paraboloïde tangent à la surface du filet suivant cette même droite, en un point qu'il s'agit de déterminer. Pour construire ce point, observons que le plan vertical AN coupe la droite de la surface du filet au point A, a, et l'hori. zontale Ble, bel, au point e, el. Or, la droite ae' coupe la droite n D au point a ; donc la parallèle *ond b'n, ou a Ala, coupera les droites AB', ab', en des points a', o, qui seront les projections horizontale et verticale du point de contact cherché.

Décrivant du point 4, comme centre, l'arc a'y, qui coupe la droilę Ad au point , et menant la verticaley & qui rencontre la droite M., au points, les points wet e sont les projections horizontale et verticale d'un point de la courbe cherchée. On trouvera, de la même manière , tant de points qu'on voudra, de la ligne & pe t', qui termine la projection verticale de la surface du filet.

Le plan tangent à la surface du filet, qui a pour trace sur le plan vertical, la droite Net, étant perpendiculaire à ce plan vertical, il suit que cette droite touche la courbe free au points.

En considérant toutes les nappes de la surface du filet qui ont pour lignes de striction l'axe vertical A, Aa, la limite de la projection verticale de la portion de cette surface, qui correspond à une révolution entière de la droite génératrice, est une

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courbe composée de deux branches infinies e pet', as pe' ', tangentes à la droite A'a aux points u et pe'. La distance ripel de ces deux points est égale à la moitié du pas de l'hélice , décrite par un point quelconque de la droite qui engendre la surface du filet. Elle a pour asymptote les deux droites b'a , bha', projection's verticales des génératrices du filet , dont les projections horizontales AB', AB sont contenues dans un plan vertical BB', parallèle au plan vertical de projection. D'où il suit que ces deux asymptotes coupeat l'axe Ala en deux points a , a', dont la distance aa' est égale à pepe'.

Le cylindre dont les arêtes sont perpendiculaires au plan vertical BB', touche la surface du filet prolongée indéfiniment, suivant une infinité de courbes, qui se projettent sur le plan vertical suivant des lignes composées de deux branches égales aux courbes e pét', i pel s', et toutes ces lignes de contact se projettent sur le plan horizontal, suivant une courbe unique, composée de deux branches FAH, LAK , qui se touchent au point A , et qui sont touchées par la droite AA', perpendiculaire au plan de la projection verticale. La branche FAH coupe le cercle du rayon AB' au point F. La verticale FF coupe la projection verticale de l'hélice décrite par le point (B', b') en un point F de la ligne Fius'. La même branche FAH coupe au point 0, la tangente B'N du cercle dont le rayon est AB', et à ce point O correspond en projection verticale un point O' (au-dessous de F") de la courbe O'F'evet'. Pour éviter la confusion qui résulte du voisinage des trois points b!,F",0! (fig. 2, projection verticale), on a construit à part, sur une plus grande échelle , la fig. 3 qui montre la position respective de ces trois points; le premier bl, sur la droite b'a; le second F, au contact de la projection verticale FN de l'hélice et de la limite Fe de la projection verticale du filet; le troisième Ol, sur la courbe limite Fi, qui a pour asymptote la droite abi, prolongée indéfiniment. Examinons '

maintenant quelle doit être , d'après les données de l'épure A (pl. 4), la limite de la projection verticale (hig:2) des surfaces supérieure et inférieure d'un filet, vers les angles (saillant et rentrant) des génératrices qui se croisent aux points o et c'. Vers l'angle saillant c (fig. 2 et 3), on distinguera les deux courbes gie, ge', touchées par la projection verticale dece'd' de l'hélice aux points e ete'. Ces deux courbes gle, ge', se construisent comme la ligne Fispe (fig. 2 et 3, pl. 2 des cahiers 1 et 5).

Vers l'angle rentrant c' (fig. 2 et 4), les deux courbes gelcome, gic, se croisent en un pointc", situé sur l'horizontale c'c', à la droite du point c', intersection de l'horizontale c'e', et de la projection verticale d'W'd" de l'hélice arête des deux surfaces d'un filet.

De la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur les filets

de la vis triangulaire.

On peut construire cette ligne par les méthodes décrites pages 13 et 69 de ce volume; ou par la méthode plus simple, qu'on vient d'employer pour irouver (pl. 2, cahiers 2 et 5) la limite de la projection verticale du filet de la vis, et qui consiste à regarder la surface du filet comme l'enveloppe de l'espace que parcourt un paraboloïde du second degré, de forme constante.

Soient (pl. 4) CA, ca , les deux projections de la droite géné. ratrice de la surface supérieure du filet; AE, aE', les deux projections d'une parallèle aux rayons de lumière', menée par le point (A,a), où la droite génératrice coupe l'axe vertical A,a'a.

Le plan vertical A El touche la surface du filet en un point situé sur l'axe 4,a'a, et v est la projection verticale de ce point. La distance av du point a au points, est à la hauteur totale da pas de la vis dans le rapport de l'arc CSI du rayon AC, à la circon. férence entiere du même rayoir. La droite mobile AC, ac, génératrice de la surface du filet , transportée dans le plau vertical EAI, coupe l'axe A, a'a.au point Av. Continuant à tourner autour de cet axe, il revient dans le plan vertical AE, et coupe l'axe au point Age; la distance du point pe au point v est égale à un demi pas de la vis.

Considérant ensuite la génératrice dans une position quelconque, par celte génératrice et par une parallèle aux rayons de lumière, on nenera un plan qui touchera le paraboloïde correspondant à la position donnée de la génératrice en un point, et ce point appartieudra à la ligne de séparation d'ombré et de lumière, dans l'hypothèse où les rayons de lumière sont parallèles entr'eux. La ligne qui est le lieu de tous ces points, a pour projection horizoufale une courbe à ceux branches STAOR, MNAOP. Ces deux branches sont touchées par la même droite E AI au point A, et elles ont pour diamètre commun la perpendiculaire à cette droite élevée par le même point A.

Les droites qui engendrent les deux surfaces du filet, élant également inclinées par rapport à l'axe de la vis, la surface inférieure peut être considérée comme le prolongement de la surface supérieure. D'où il suit que la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur la surface inférieure , a aussi pour projection horizontale la courbe des branches STAQR, MNAOP. Les portions utiles de ces deux branches sont ST, MN, pour la surface supé. rieure, QR et OP pour la surface inférieure. Elles sont comprises entre les deux cercles des rayons AC, AB.

à la portion ST, correspond en projection verticale la portion st de la courbe scugr; à la projection horizontale de la courbe STAQR, correspondent autant de courbes telles que stvar en projection verticale , qu'il y a de tours de filets sur la vis.

Dans l'épure A, la courbe 'st a été tracée sur trois filets en st, s't',

La courbe mn, qui correspond à MN, a été transportée en m"n", et m'n'.

Les verticales Rr, q, comprennent les courbes égales qr, q'r', 9"x", qui ont pour projections horizontales la portion de courbe QR. De même les verticales 00, Pp, comprennent les courbes égales op, o'p', o'p', qui ont pour projections horizontales la portion de courbe OP. Ces dernières courbes , tant en projection horizontale qu'en projection verticale, appartiennent à la surface inférieure des filets.

Pour tracer exactement les portions ST, MN, RQ, PO, de la projection horizontale de la ligne de séparation d'ombre et de lumière, on déterminera la position de la génératrice sur laquelle se trouve le point de cette projection, située à l'infini. Pour trouver cette position, on menera par le point A,a, où la génératrice, dans sa première position Àc, uc, coupe l'axe de la vis, un parallèle au rayon de lumière, cette parallèle rencontre le plan horizontal ca' E' au point l'. Menant par ce point!' une tangente au cercle décrit du point A comme centre avec le rayon Äc, les droites menées du point A aux points de tangence seront les projections horizontales des génératrices de la surface du filet , sur lesquelles se trouvent les points de la ligne de séparation d'ombre et de lumière , situés à l'infini.

En effet, ces tangentes menées par le point I' au cercle du rayon AC, seront les traces des plans tangens aux paraboloïdes qui touchent les surfaces du filet; or, ces traces étant perpendiculaires aux projections horizontales des génératrices par lesquelles passent les paraboloïdes tangens (1), les plans tangens sont parallèles aux droites génératrices des paraboloïdes dans le second systême de génération; d'où il suit que les points de tangence seront situés à l'infini.

Après avoir construit les lignes de séparation d'ombre et de lumière, on tracera les contours des ombres portées par ces lignes ou par les parties qui composent une vis,'sur les filets de cette vis. La légende suivante indique les lignes données de l'épure A, les lignes à construire, et les courbes qui terminent les ombres portées sur les diverses parties de la vis.

(1) C'est ainsi que dans la fig. 2 , pl. 2, cabiers i et 5, la trace B*N est perpendiculaire à B'A.

Légende du dessin de la vis triangulaire, Epure A (pl. 4).

Lignes données,

Projection horizontale (fig. 1). Projection verticale (fig. 2).

AB , rayon du cercle qui sert a brd, tête de la vis.

de base au noyau de la vis. AC, rayon de la circonférence, este, écrou.

projection de l'hélice , arête

du filet. AD, rayon du cercle qui sert ax', intersection des plans hori

de base à la tête de la vis. zontal et vertical. ABC, projection de la droite abc, projection de la droite génératrice du flet.

génératrice du filet. E', projection du rayon de lu- E', projection du rayon de lumière.

mière.

Lignes à construire. 2o. Bpas, intersection du filet de la vis par le plan horizontal (3;

de l'écrou. 2° FG AHKL (fig. I), courbe de contact des surfaces supérieure

et inférieure d'un filet de la vis, et du cylindre dont les arêtes

sont perpendiculaires au plan vertical; 3o. La ligne de séparation d'ombre et de lumière sur les filets; 4o. Ombre portée par la surface inférieure d'uo filet sur la sur

face supérieure du filet immédiatement au-dessous; 5o. Ombre portée par l'hélice arête d'un premier filet sur les

surfaces supérieures des filets situés au-dessous du premier ; 6•. Ombres portées par les surfaces des filets, et par l'hélice

rsection de ces surfaces, sur le plan horizontal de l'écrou.

De ces six courbes, on connoît, d'après ce qui vient d'être dit, la manière de construire les trois prémières ; pour trouver les trois autres, il faut se rappeler qu'on obtient l'ombre que porte

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