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Il résulte de ce principe , que, si l'on demande la loi suivant laquelle l'électricité se distribue à la surface d'un sphéroide de forme donnée, la question se réduira à trouver quelle doit être l'épaisseur de la couche fluide en chaque point de cette surface , pour que l'action de la couche entière soit nulle dans l'in:érieur du corps électrisé, Ainsi, par exemple, on sait qu'un sphéroïde creux, terminé par deux surfaces elliptiques, semblables entre elles , n’exerce aucune action sur tous les points compris entre son centre et sa surface intérieure, en y comprenant les points mêmes de cette surface; on en conclut donc que, si le corps électrisé est un ellipsoïde quelconque, la surface intérieure de la couche électrique sera celle d'un autre ellipsoide concentrique et semblable à l’ellipsoïde donné, ce qui détermine son épaisseur en tel point qu'on voudra : cette épaisseur sera la plus grande au sommet du plus grand des trois axes, et la plus petite au sommet du plus petit; les épaisseurs de la couche, ou les quantités d'électricité , qui répondent à deux sommets différens, seront entre elles comme les longueurs des axes qui aboutissent à ces sommets.

M. Laplace a donné, dans le III°. livre de la Mécanique céleste (1), la condition qui doit être remplie pour que l'altraction d'une couche terminée par deux surfaces à-peu-près sphériques, soit egale à zéro, relativement à tous les points intérieurs; en supposant donc que l'épaisseur de cette couche devienne très-petite , on en concluera immédiatement la distribution de l'électricité à la surface d'un sphéroïde peu différent d'une sphere; mais ce cas et celui de l'ellipsoïde sont les seuls où l'on puisse assigner, dans l'état actuel de la science, l'épaisseur variable de la couche fluide qui recouvre un corps conducteur électrisé. I

Lorsque la figure de la couche électrique est déterminée, les formules de l'attraction des sphéroïdes font connoître son action sur un point pris en dehors ou à la surface du corps électrisé. En faisant usage de ces formules , j'ai trouvé qu'à la surface d'un sphéroïde peu différent d'une sphère, la force répulsive du fluide électrique est proportionnelle à son épaisseur en chaque point; il en est de même à la surface d'un ellipsoïde de révolution, quel que soit le rapport de ses deux axes; de sørte que sur ces deux espèces de corps, la répulsion électrique est la plus grande dans les points où l'électricité est accumulée en plus grande quantité. Il est naturel de penser que

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ce résultat est général, et qu'il a également lieu à la surface d'un corps conducteur de forme quelconque ; mais quoique cetle proposition paroisse très-simple, il seroit cependant très-difficile de la démontrer au moyen des formules de l'attraction des sphéroïdes; et c'est un de ces cas où l'on doit suppléer à l'imperfection de l'analyse par quelque considération directe. On trouvera , dans la suite de ce Mémoire, une démonstration purement synthétique, que M. Laplace a bien voulu me communiquer, et qui prouve qu'à la surface de tous les corps électrisés, la force répulsive du fluide est partout proportionnelle à son épaisseur.

La pression que le fluide exerce contre l'air qui le contient, est en raison composée de la force répulsive et de l'épaisseur de la couche; et puisque l'un de ces élémens est proportionnel à l'autre, il s'ensuit que la pression varie à la surface d'un corps électrisé, et qu'elle est proportionnelle au quarré de l'épaisseur ou de la quantité d'électricité accumulée en chaque point de cette surface. L'air imperméable à l'électricité doit être regardé comme un vase dont la forme est déterminée par celle du corps électrisé; le fluide que ce vase contient, exerce contre ses parois des pressions différentes en différens points, de telle sorte que la pression qui a lieu en certains points, est quelquefois très-grande et comme infinie , par rapport à celle que d'autres éprouvent. Dans les endroits où la pression du fluide vient à surpasser la résistance que l'air lui oppose , l'air cède , ou, si l'on veut, le vase crève , et le fluide s'écoule comme par une ouverture. C'est ce qui arrive à l'extrémité des pointes et sur les arêtes vives des corps anguleux ; car on peut démontrer qu'au sommet d'un cône, par exemple, la pression du fluide electrique deviendroit infinie si l'elec tricité pouvoit s'y accumuler. A la surface d'un ellipsoïde alongé, la pression ne devient infinie en aucun point; mais elle sera d'autant plus considérable aux deux pôles, que l'axer qui les joint sera plus grand par rapport au diamètre de l'équateur. D'après les théorêmes que je viens de citer, cette pression sera à celle qui a lieu à l'équateur du même corps, comme le quarré de l'axe des pôles est au quarré du diamètre de l'équateur ; de manière que si l'ellipsoide est très-allongé, la pression électrique pourra être très-foible à l'équateur , et surpasser la résistance de l'air aux pôles. Ainsi, lorsqu'on électrise une barre métallique qui a la forme d'un ellipsoïde très-alongé, le fluide électrique se porte principalement vers ses extrémites, et il s'échappe par. ces deux points, en vertu de son excès de pression sur la résistance que l'air lui oppose. En général, l'accroissement indéfini de la pression électrique, en certains

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points des corps électrisés, fournit une explication naturelle et précise de la faculté qu'ont les pointes de dissiper dans l'air non-conducteur le fluide électrique dont elles sont chargées.

Le principe dont je suis parti pour déterminer la distribution du fluide électrique à la surface d'un corps isolé, s'applique également au corps d'un nombre quelconque de corps conducteurs soumis à leur influence mutuelle : pour que tous ces corps demeurent ins un état électrique permanent, il est nécessaire et il sushi que la résultante des actions des couches fluides qui les recouvrent, sur un point quelconque pris dans l'intérieur de l'un de ces corps, soit égale à zéro : ceite condition remplie, le fluide électrique sera en équilibre à la surface de chacun de ces corps, et il n'exercera aucune décomposition du fluide qu'ils renferment dans leur intérieur , et qui s'y tiduve à l'état naturel. L'application de ce principe fournira, dans chaque cas, autant d'équations que l'on considérera de corps conducteurs, et ces équations serviront à déterminer l'épaisseur variable de la couche électrique sur ces différens corps. S'il se trouvoit, en outre , près de ceux-ci, d'autres corps qui fussent absolument non-conducteurs , il faudroit avoir égard jà leur action sur le fluide répandu à la surface des corps conducteurs; mais comme le fluide électrique ne peut prendre aucun mouvement dans l'intérieur des corps non-conducteurs, on n'auroit , par rapport aux corps de cette espèce , aucune conIdition à remplir, et le nombre des équations du problême ssera toujours égal à celui des corps conducteurs.

Je me suis borné dans ce Mémoire à donner ces équations pour le cas de deux sphères de différens rayons, formées d'une matière parfaitement conductrice, et placées à une distance quelconque l'une de l'autre. Les deux équations que j'ai trouvées sont aux différences finies , à deux variables indépendantes et à différences variables : on les réduit d'abord à deux autres équations à nne seule variable indépendante, et la solution du problème ne dépend plus que de leur intégration. Lorsque les deux sphères se touchent, ces équations s'intègrent sous une forme très-simple par des intégrales définies. C'est ce cas particulier que je me suis spécialement attaché à résoudre, et l'on trouvera , dans la suite de ce Mémoire , des formules au moyen desquelles on peut calculer l'épaisseur de la couche électrique en chaque point de chacune des deux sphères. Cette épaisseur est nulle au point de contact, c'est-à-dire que quand deux sphères dont les rayons ont entre eux un rapport quelconque, sont mises en contact et électrisées en commun, le calcul montre qu'il n'y a jamais d'électricité au point par lequel elles se touchent. Ce résultat remarquable est pleinement confirmé par l'expérience, ainsi qu'on peut le voir dans les Mémoires que Coulomb a publiés sur ce sujet (1).

Dans le voisinage du point de contact, et jusqu'à une assez grande distance de ce point , l'électricité est très-foible sur les deux sphères : lorsqu'elle commence à devenir sensible, elle est d'abord plus intense sur la plus grande des deux surfaces ; mais elle croît ensuite plus rapidement sur la plus petite; et au point diametralement opposé à celui du contact sur cette sphère, l'épaisseur de la couche électrique est toujours plus grande qu'elle ne l'est au même point sur l'autre sphère. Le rapport des épaisseurs de la couche électrique en ces deux points augmente à mesure que le rayon de la petite sphère diminue; mais cet accroissement n'est pas indefini; il tend au contraire vers une limite constante que le calcul détermine, et qui est exprimée par une transcendante numérique , égale à 4,2 à-peu-près. Coulomb a aussi conclu de ses expériences que ce même rapport s'approche continuellement d'être égal à quatre et une fraction, qu'il n'a pas assignée (2).

Lorsque l'on sépare deux sphères qui étoient primitivement en contact, chacune d'elles emporte la quantité totale d'électricité dont elle est recouverte ; et après qu'on les a soustraites à leur influence muluelle, cette électricité se distribue uniformément sur chaque sphère. Or, j'ai déduit de mon analyse le rapport des épaisseurs inoyeunes du fluide électrique sur les deux sphères, en fonction du rapport de leurs rayons; la formule à laquelle je suis parvenu renferme donc la solution de ce probleme de physique : Trouver suivant quel rapport lélectricité se para tage entre deux globes qui se touchent, et dont les rayons sont donnés ? La formule fait voir que ce rapport est toujours moindre que celui des surfaces; de sorte qu'après la séparation des deux globes, l'épaisseur de la couche électrique est toujours la plus grande sur le plus petit des deux. Le quotient de cette plus grande épaisseur , divisée par la plus petite, augmente à mesure que le plus petit rayon diminue ; mais ce quotient tend vers une limite constante que l'on trouve égale au quarré du rapport de la circonférence au diamètre, divisé par six , quantité dont la valeur est à-peu-près ž, ainsi, quand on pose sur une sphère électrisée une autre splière d'un diamètre très-petit relativement au diamètre de la première , l'électricité se partage entre ces deux corps, dans le rapport d'environ cinq fois la petite surface à trois lois

(1) Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris , année 1787. (3) Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris, année 1787, pag. 457.

la grande. Dans les diverses expériences que Coulomb a faites pour mesurer le rapport dont nous parlons, il a constamment trouvé qu'il est moindre que celui des surfaces, et toujours audessous du nombre 2; d'où il avoit conclu que 2 est la limite que ce rapport atteindroit , si le rayon de la petite sphère devenoit infiniment petit (1); mais quoique cette limite ne fût pas de nature à pouvoir se déterminer exactement par l'expérience, on voit que celle qu'il avoit soupçonnée ne différe que d'environ un cinquième de la véritable limite donnée par le calcul.

On ne verra sans doute pas sans intérêt l'accord remarquable qui existe entre le calcul et les expériences publiées il y a vingtcinq ans, par l'illustre physicien que j'ai déjà plusieurs tois cité. J'ai trouvé dans les Mémoires de Coulomb, les résultats numériques de quatorze expériences qui ont pour objet de déterminer le rapport des quantités totales d'électricité sur deux sphères en contact de différens rayons, et celui des épaisseurs de la couche électrique en différens points de leurs surfaces. La plupart de ces résultats sont des moyennes entre un grand nombre d'obser. vations faites avec le plus grand soin, au moyen de la balance électrique ; l'auteur a tenu compte de la perte du fluide électrique par l'air; les nombres qu'il a publiés sont corrigés de cette perte, et à-peu-près les mêmes que si l'air étoit absolument imperméable, comme la théorie le suppose ; ils sont donc comparables à ceux qui résultent de nos formules ; et, pour en faciliter la comparaison, j'ai calculé tous les rapports que Coulomb a mesurés : et j'en ai formé plusieurs tableaux que

l'on trouvera dans la suite de ce mémoire. La différence moyenne entre les résultats de ces quatorze observations et ceux du calcul, ne s'élève pas à un trentième de la chose que l'on veut déterminer.

Tant que l'on ne considère qu'un seul corps électrisé, ou plusieurs corps qui se touchent de manière que le fluide électrique puisse passer librement d'on corps sur un autre, on n'a jaunais qu'un seul des deux fluides répandu sur les surfaces de tous ces corps, que je suppose toujours parfaitement conducteurs; cependant j'ai voulu montrer par un exemple comment l'analyse s'appliqué également au cas où les deux fluides se trouvent à-la-fois sur une même surface : j'ai choisi , pour cela, le cas de deux sphères qui ne se touchent pas, et qui sont au contraire séparées par un intervalle très-grand par rapport à l'un des deux rayons. La considération de cette grande distance simplifie les formules et les résultats, et permet de discuter facilement tout ce

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