posée, appartient à une section conique, il faut les différencier deux fois de suite; ce qui donne : ( 1 + p2 )2 s = 3 q3 ( 1 + 5 p2 ) 1 + p2 )3 t = 15 p q4 ( 3 + 7 p2), et substituer dans l'équation du cinquième ordre (B) les valeurs de r, s, t. Or, par cette substitution l'équation (B) est satisfaite donc la proposée appartient à une section conique et a pour intégrale l'équation. (A) A y2 + 2 B x y + С x2 + 2 Dy + 2 Ex+1=0 qui contient deux constantes de trop; il faut donc trouver entre les cinq constantes deux relations. Pour cela il faut différencier trois fois consécutives l'équation (A); la première différenciation donne : p{Ay+B x + D) +By+ Cx + E = 0 qui, faisant pour abréger, et devient By + C x + E=N, A j + B x + D= M différenciant ensuite, on a: q=→ (AN2 — 2 B M N + C M2 ) M3 r— — 3 ( A N? — 2B NM+CM2) (AÑ—BM) M 5 Si l'on substitue les valeurs de p, q, r, dans la proposée (C), on a l'équation suivante, qui est composée de trois facteurs: M{AN2—2BMN+CM1} { B(M2—N2)+MN(C—A)}=0 Or, de ces trois facteurs, les deux premiers ne sont pas utiles; en effet, le premier, M, c'est-à-dire 4y+ Bx+D ne peut de venir nul par lui-même, à moins que l'on ait Ao, B=0, D=0, ce qui fait trois relations; tandis qu'il n'en faut que deux. Le second, AN2—2BMN+CM2 ne peut devenir nul, à moins que l'on aito, Bo, Co, ce qui fait également trois relations; et si dans le même facteur on faisoit M=0, N=o, il faudroit que toutes les constantes fussent nulles chacune en par ticulier. Il n'y a donc que le troisième facteur qui devient nul au moyen des deux-relations suivantes : B=> Ce sont les valeurs qu'il faut substituer dans l'intégrale gé nérale (4) pour avoir l'intégrale propre de la proposée; intégrale qui devient : A (y2+x2)+2 Dy +2 Ex+1=o' et qui appartient au cercle quelconque, ainsi qu'il est facile de le reconnoître, en faisant: ou : y2+x2 — 2(ay+bx)+a2+b2 — c2=o (y-a) + (c−b)=c GÉOMÉTRIE. Explication des Phénomènes d'optique, qui résultent du mouvement de la Terre; et Notions d'Astronomie sur lesquelles est fondée l'application de la Géométrie descriptive à l'Art de construire les Cadrans, Par M. HACHETTE. §. Ier. Du Soleil. (1) Le soleil est un corps lumineux, de forme sphérique; l'angle sous lequel on le voit de la terre, est variable; le plus grand est de 32 35", 5; le plus petit est de 32 of 3 (division sexagésimale); on nomme cet angle diamètre apparent du soleil; le diamètre réel est de 142083 myriamètres; le volume du soleil est 1384462 fois plus grand que celui de la terre. Le centre du soleil est fixe; il tourne autour d'un axe durée d'une révolution entière est d'environ 25 jours 1/2. et la De la Terre. (2) La terre est un corps opaque, dont la surface est irré-gulière, et dont la masse est d'une forme qu'on a comparée à celle de deux corps réguliers, la sphère, et l'ellipsoïde de révolution; la sphère terrestre a pour diamètre 1273 myriamètres ;. le grand axe de l'ellipsoïde terrestre est de 1275 myriamètres ; le petit axe est de 1271 myriamètres. (3) Le centre de la terre décrit une courbe autour du soleil, et on a d'abord supposé que cette courbe étoit un cercle, qu'on a nommé ecliptique; le rayon de l'écliptique est de 15287873 myriamètres ; la théorie et l'observation ont appris que le soleil est au foyer d'une ellipse qui diffère moins que le cercle de la courbe décrite par le centre de la terre; les distances du soleil aux extrémités du grand axe de cette ellipse sont exprimées en myria- · mètres par les nombres 15544709 et 15031037; elles diffèrent du rayon de l'écliptique en plus et en moins de la cent soixante-huit dix millième partie de la valeur de ce rayon. (4) La durée d'une révolution entière du centre de la terre est de 365 jours (moyens) 5 heures 48'51". On nomme cette période, l'année. (5) La terre a un mouvement de rotation autour d'un axe; cet axe ne change pas sensiblement de direction en une année; la révolution de la terre autour de son axe se fait en 23,9344 heures; on n'a encore observé aucune irrégularité dans ce mou-- vement. (6) Chaque point de la surface de la terre décrit une courbe; la force à laquelle il est soumis à chaque instant est la résultante de deux autres forces, l'une parallèle à l'équateur terrestre, et l'autre parallèle à l'écliptique; on nomme équateur terrestre le grand cercle de la terre dont le plan est perpendiculaire à l'axe de la terre; on appelle méridien d'un lieu le grand cercle qui passe par ce lieu et par l'axe de la terre. (7) Le plan de l'équateur solaire, ou du plan perpendiculaire à l'axe de rotation du soleil, fait avec le plan de l'écliptique un angle de 7° : (8) La lumière du soleil parcourt le rayon de l'écliptique en o heure 8′ 13′′, 3; dans le même temps, le centre de la terre parcourt sur l'écliptique un arc de 125 (division décimale) on 20", 25 (division sexagésimale ); d'où l'on conclut que la vitesse de la lumière est 10313 plus grande que celle du centre de la terre sur l'écliptique. Nous allons faire, pour l'explication des phénomènes d'optique dus au mouvement de la terre, trois hypothèses qui ne changent pas sensiblement ces phénomènes; nous supposerons 1. que la terre est une sphère parfaite, et que son centre décrit un cercle autour du soleil comme centre; 2°. que le soleil est à une assez grande distance de la terre, pour que, dans un instant donné, on puisse considérer tous les rayons de lumière qu'il envoie vers la terre, comme parallèles entre eux; 3°. entin, que le centre de la terre est fixe, tandis que cette planète tourne autour de son axe; on suppose qu'après chaque révolution, le centre de la terre parcourt instantanément l'arc de l'écliptique, qu'il a réellement parcouru pendant la révolution entiere; d'après cette derniere hypothèse, un point déterminé de la surface de la terre décrit toujours le même cercle autour de l'axe de la terre, tandis que cet axe est transporté parallèle-ment à lui-même, de manière que le point-milieu de cet axe parcourre l'écliptique. S. II. De l'inégalité du Jour et de la Nuit. (10) Le centre de la terre parcourt dans une année le cercle de l'écliptique, et l'axe de la terre décrit dans le même temps une surface cylindrique, dont ce cercle est la base. (11) Supposons l'axe de la terre projetté dans chacune de ses positions sur le plan de l'écliptique; toutes les droites projections de cet axe seront parallèles entre elles, et deux de ces droites seront tangentes au cercle de l'écliptique ; considérons d'abord le centre de la terre dans l'un ou l'autre des points où l'écliptique est touché par ces deux droites, le jour est alors pour tous les lieux de la terre de même durée que la nuit. En effet, la ligne de séparation du jour et de la nuit est un grand cercle de la sphère terrestre, dont le plan est perpendiculaire à la droite qui unit le centre de la terre et le centre du soleil ; or, le plan de ce grand cercle divise en deux parties égales l'équateur terrestre et tous ses parallèles donc, quelle que soit la latitude d'un lieu, ou le parallèle sur lequel il est placé, ce parallèle sera divisé en deux parties égales par la ligne de séparation du jour et de la nuit: donc, pour un lieu quelconque, le jour est de même durée que la nuit, les deux époques de l'année auxquelles cette égalité a lieu se nomment équinoxes. Le centre de la terre, à ces deux époques, est placé aux points extrêmes d'un diamètre de l'écliptique; ces points se nomment nouds, et le diamètre dont ils sont les extrémités, ligne des nœuds; l'intersection du plande l'écliptique et de l'équateur terrestre est constamment parallèle à cette ligne. (12) L'axe de la terre, considéré dans une position quelconque, autre que celle qui correspond aux équinoxes, se projette sur le plan de l'écliptique, suivant une corde de ce cercle; ce grand cercle de séparation du jour et de la nuit se projette sur le même plan de l'écliptique, suivant la tangente à l'écliptique me. née par le point milieu de l'axe de la terre, qui est le centre de cette planète; or, il est évident que le plan du grand cercle qui sépare le jour de la nuit, divise en parties égales l'équateur, et en parties inégales les parallèles à l'équateur; donc, pour tous les lieux situés sur l'équateur, le jour est constamment égal à la nuit, et pour les lieux situés sur un parallèle quelconque à l'équateur, le jour et la nuit sont inégaux; cette inégalité est à son maximum lorsque le centre de la terre arrive aux points de l'écliptique, pour lesquels la projection de l'axe de la terre sur l'écliptique se confond avec un diamètre de ce cercle; cette coïncidence a lieu deux fois dans l'année, à deux époques qu'on nomme solstices. PROBLÊ ME. Étant donnée la position de l'axe de la terre pour une époque déterminée de l'année, trouver le parallèle à l'équateur qui soit à cette époque la limite des parallèles en partie éclairés par le soleil et en partie dans l'ombre, en sorte qu'il soit lui-même tout entier dans l'ombre, ou tout entier dans le jour ? Solution. (13) Le parallèle demandé, et le grand cercle de séparation du jour et de la nuit correspondant à l'époque déterminée, doivent évidemment avoir pour tangente commune la droite intersection des plans des deux cercles; car, si les deux cercles se coupoient, une partie du parallèle seroit dans la nuit et l'autre dans le jour; s'ils ne se coupoient pas et qu'ils ne fussent pas tangents, le parallèle ne seroit pas une limite suivant la condition du problême; donc, les deux cercles ont une tangente commune d'où il suit qu'un cône droit qui a pour base le parallèle cherché et pour sommet le centre de la terre, est touché par le plan du cercle de séparation du jour et de la nuit; donc, si l'on fait tourner le plan de ce cercle autour de l'axe de la terre, l'enveloppe de l'espace parcouru par ce plan sera la surface d'un cône droit, qui a pour base le parallèle demandé ; donc, l'inter |