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En faisant la substitution successive de ces valeurs, on obtient, en observant qu'on n'a pas besoin d'ajouter des constantes à ces intégrales, qui disparaissent avec 4,

(cos

4-sin 4 cos

sin

+

(cos-mn)3

(coso-mn)2

1+tango.

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(a) · v=zmr3[a—sin

Cette intégrale devant être prise depuis 4o, jusqu'à 4 = «, pour avoir le volume total de l'onglet, ce volume devient

sina cosa ·sinα(cosα- -mn)+

COS α-mn 2

mn sint

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Lorsqu'on a no, le plan coupant devient parallèle à l'axe, et l'expression du volume se réduit à

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= mr3 { α-2 sin a cosa +cos3 a. Log. (45° + α) }·

Cette dernière expression donne la solution d'un problême de fortification souterraine, en fournissant le volume de la pénétration des entonnoirs de deux fourneaux de mines accołés. L'expression de ce volume n'avoit pas encore été donnée sous une forme finie.

Nous pourrions examiner ici les différentes modifications de signes que doit subir l'équation (a) selon les différentes inclinaisons du plan coupant, et selon que l'onglet comprend, ou non, le sommet du cône: mais cette recherche est trop facile pour mériter de trouver place dans cette solution. Nous observerons seulement que lorsqu'on a 1-m'n'=0, (ce qui donne les deux cas où la section est une parabole) la formule (a) est en défaut, et ne donne plus le volume de l'onglet. Dans ces

deux cas il faut substituer la valeur de mn, dans l'expression de dv, et l'intégrer; ce qui fournit les deux valeurs suivantes :

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La première a lieu pour le cas où l'onglet ne comprend pas le sommet du cône, et la seconde pour celui où il comprend ce

sommet.

Autre manière de déterminer la Ligne de séparation d'ombre et de lumière sur le Filet d'une Vis triangulaire. (Voyez la pag. 13 de ce vol. n°. 1.)

Par M. FRANÇAIS, Capitaine du Génie.

La solution de ce problême repose sur une propriété qu'ont les hélices qui composent le filet de la vis. La surface de ce filet peut être considérée comme composée d'une infinité d'hélices, ayant le même pas, et ayant pour projections sur un plan perpendiculaire à l'axe, des circonférences de cercles concentriques, dont les rayons augmentent depuis zéro jusqu'à celui de l'hélice extrême. Les tangentes des angles que ces hélices font avec une parallèle à l'axe sont proportionnelles à ces rayons. Il suffit donc de connoître le rapport de cette proportion (rapport qui est donné immédiatement, dans chaque cas particulier, par le pas de la vis et son rayon) et l'angle qu'une hélice fait avec une parallèle à l'axe, pour déterminer son rayon, et par conséquent sa position sur le filet de la vis.

Cela posé, cherchons le point de séparation d'ombre et de lumière sur la droite génératrice de la vis, dans une position donnée. Si par cette droite on mène un plan parallèle au rayon de lumière, il sera tangent au filet de la vis, au point de séparation d'ombre et de lumière de cette génératrice. Si l'on conçoit l'hélice passant par ce point, ainsi que le cylindre droit contenant cette hélice, et qu'on mène par ce point un plan tangent au cylindre, l'intersection de ce plan avec celui qui passe par la génératrice, et qui est parallèle au rayon de lumière, donnera la tangente à l'hélice au point de séparation d'ombre et de lumière, et par conséquent l'angle que l'hélice, passant par ce point, fait avec une parallèle à l'axe. Mais pour avoir cet angle, on n'a pas besoin de connoître la position de cette hélice, ce qui est la

chose en question; car les plans tangens à tous les cylindres aboutissant à une même génératrice, sont parallèles entr'eux, et perpendiculaires à la projection de la génératrice sur un plan perpendiculaire à l'axe. Leurs intersections avec le plan parallèle au rayon de lumière seront donc des droites paralleles, et également propres à déterminer l'angle en question. Menons donc par un point quelconque de la génératrice un plan perpendicu faire à la projection de cette génératrice sur un plan perpendiculaire à l'axe: l'intersection de ce plan avec celui parallèle au rayon de lumière mené par la génératrice, nous donnera une droite qui fera avec une parallèle à l'axe le même angle que l'hélice cherchée, fig. 2, planche I.

Connoissant cet angle, on a par la propriété que nous avons énoncée d'abord, la position de l'hélice et la solution du pro

blême.

La détermination de l'hélice, par la connoissance de l'angle u'elle fait avec une parallèle à l'axe, peut se faire par cette construction très simple.

Par A on mène deux perpendiculaires AB, AC; on fait AC égal au pas de la vis, et AB égal au développement de la circonférence de la projection de l'hélice extrême; CB sera le développement de cette hélice. On fera AD égal au rayon de la projection de l'hélice extrême; on abaissera la perpendiculaire DE, et on menera la parallèle GE. Cela posé, soit A Cm l'angle que l'hélice cherchée fait avec une parallèle à l'axe, on aura Gn égal au rayon du cylindre qui contient l'hélice cherchée. Je pense que cette construction est assez évidente, pour n'avoir pas besoin de démonstration.

N.B. La même méthode est applicable à la détermination du contour apparent. Il suffit de faire passer un plan par la génératrice donnée et par l'œil, au lieu de le faire parallèle au rayon

de lumière.

Proposition de Géométrie,

J'ai publié, dans le premier volume de la Correspondance, page 179, le théorême suivant : « Si entre deux droites fixes et qui se coupent, on fait mouvoir deux plans rectangulaires, la surface engendrée par la droite intersection des deux plans mobiles, est un cône qui a le même sommet que l'angle des deux droites fixes, et qui a pour base un cercle dont le plan est perpendiculaire à l'une où à l'autre de ces droites. >>

M. Binet (J.), répétiteur de géométrie descriptive, a trouvé une proposition plus générale, qu'on peut énoncer

ainsi :

«Si entre deux droites fixes, et situées d'une manière quelconque dans l'espace, on fait mouvoir deux plans rectangulaires, la surface engendrée par la droite intersection des deux plans mobiles est un hyperboloide à une nappe (Voyez pag. 32 du Traité des Surfaces du second Degré; par MM. Monge et Hachette).

Quelles que soient les deux droites fixes, on peut prendre les plans des coordonnées, de telle manière que les équations de ces droites soient

pour la première { y = ax,

pour la seconde {y=ax,

2 = c.

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Les équations des plans qui passent par ces droites sont :
Kax+ Ky+c.

z = K' a x + K'y—c

C.

K et K' étant deux indéterminées; or, si on suppose les deux plans rectangulaires, on aura l'équation de condition: KK'(-a) +1=0.

Substituant dans cette équation pour K et K' leurs valeurs tirées des équations des plans, l'équation de la surface engendrée par la droite intersection des deux plans rectangulaires sera :

(E)

(E)

a2x2 + z2 ( a2 — 1 ) — ya

=c(a1), ou :

ya + z2 ( I — a2 ) — a2x2 — c1 (I—aa). Lorsque a est plus grand que 1, la section principale elliptique est dans le plan des xz; lorsqu'il est plus petit que 1, cette section principale est dans le plan des y z.

En comparant l'équation (E) à l'équation générale de l'hyperboloïde à une nappe:

Lx2+MzNy'1

on voit que la surface de l'équation (E) est moins générale; car on a l'équation de condition:

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Démonstration d'un Théorême de M. HACHETTE, sur les Surfaces engendrées par une Ligne droite; Par M..... Élève de l'École Polytechnique.

Théorême.

Quelle que soit la surface engendrée par une droite, et dans quelle que position qu'on considère sa génératrice, elle pourra être touchée, le long de cette génératrice, par une infinité de surfaces du second degré, du genre de celles qu'on a nommées hyperboloides à une nappe.

Je prends une droite génératrice située d'une manière quelconque, ses équations seront:

x=az+¢(α), y=4(a)z+x(α).

Je vais faire voir que si l'on prend une droite arbitraire dans l'espace, l'on pourra toujours faire passer par cette droite une surface du second degré tangente à la surface donnée, le long de la génératrice que l'on considère.

Pour cela, soient x, y, z, les coordonnées d'un point pris sur cette génératrice; l'équation du plan tangent en ce point sera : z'—z= p(x' — x ) + q (y' —y);

Prenant pour axe des z la droite arbitraire, le plan tangent viendra la rencontrer en un point pour lequel on aura:

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Joignant ce point avec le point de contact, on aura une droite qui sera évidemment tangente à la surface donnée au point x, y, z, et qui s'appuyera sur la droite arbitraire; ses équations

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Si je puis entre ces deux équations et celles de la génératrice éliminer x, y, z, j'aurai une équation qui sera le lieu de toutes les droites tangentes à la surface donnée le long de sa génératrice, et qui s'appuyent sur la droite arbitraire; la surface qu'elle représentera sera par cela même tangente à la surface donnée le long de sa génératrice. Il s'agit de faire voir que cette surface est du deuxième degré.'

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