L'on a trouvé pour p et q (pag. 50 du cours d'analyse appliquée à la géométrie ), les valeurs suivantes : La deuxième équation de la tangente donne : х px+qy=~/ 7 (z2 — z + px + q y ) et en vertu des équations précédentes, et de celles de la génératrice, sur laquelle le point x, y, z, est situé, on a : En faisant, pour abréger : — x = 4, 4%' — q′ x =C, af! —↓=B,α x'— q' ↓=D; substituant ces valeurs, il vient : Bz?+(4+D)z+C— — ((B z'+4 )z +D¿'+C))=0 Mais l'équation y'=x donne : mettant pour z et leurs valeurs dans l'équation, il vient, en chassant le dénominateur : 2 B(x' π — y' q)2 + ( A + D) (x2 π ~g! ) ( α gtx-4) +C(«y'—x'4) '+(q¥—ar){(Bx'x—y'q)z'+D (ay! —— x' ↓ ) z ' ` +A (x' ñ—y' q)+C (a y'—x'4)} =0. Cette équation étant du deuxième degré et appartenant à une surface engendrée par une droite, il s'ensuit que cette surface est du genre de celles qu'on a nommées hyperboloides à une nappe, (Voyez le Traité des surfaces du deuxième degré, de MM. Monge et Hachette, pages 32 et 50 ). La droite sur laquelle nous avons fait mouvoir notre tangente étant arbitraire et indépendante de la position de la surface donnée, qui est située d'une manière quelconque dans l'espace, il s'en suit que si cette droite venoit à changer, l'on auroit un autre hyperboloide qui toucheroit cette surface suivant la même génératrice, et que par conséquent il y a une infinité d'hyperboloides qui jouissent de cette propriété. (Voyez des applications de ce théorême, deuxième volume de la Correspondance, page 13.) Sur les Surfaces courbes (1) Par M. J. BINET, Répetiteur à l'École Polytechnique. Si on imagine un systême de portions de lignes droites parallèles, déterminées par les points où elles rencontrent une surface courbe quelconque, tous leurs milieux se trouveront sur une surface courbe. En représentant par m le degré de l'équation algébrique de la première surface, le degré de l'équation de la surface qui contient tous les milieux sera m. m—. (2) On pour 2 roit appeler cette surface des milieux du systême des cordes parallèles, surface diametrale. Une courbe plane dont le degré de l'équation est m, a une courbe diametrale, dont le degré Les surfaces du deuxième ordre ont pour surfaces diamétrales des plans, puisque 2. 1. Les courbes du deuxième ordre 2-1 2 ont des droites pour lignes diamétrales. (1) Une partie de cette note ayant le même objet qu'une des Leçons du Cours d'Analyse appliquée à la Géométrie par MM. Monge et Hachette, c'est pour l'utilité des Élèves qu'on l'insère dans ce cahier de la Correspondance. Voyez ce Cours, 1. partie, pag. 46. ) (2) Voici comment on peut démontrer cette proposition : « La surface du degré m est coupée par une droite quelconque en m points qu'on peut désigner par les lettres a, b, c, d...; cette droite est divisée par la surface en autant de cordes qu'il y a de combinaisons différentes de ces lettres prises deux à deux; donc le nombre de ces cordes placées sur une droite quelconque sera m (m 2 et leurs milieux seront en même nombre, donc en regardant la droite comme une parallèle à l'un des axes auxquels on rapporte la surface qni contient tous les milieux des cordes parallèles, l'ordonnée de cette surface comptée sur la droite qui la coupe en m points, sera donnée par une équation m2(meme du 2 degré ». H. C. Pour déterminer les diamètres des courbes du deuxième ordre, on prendra leur équation rapportée à des axes rectangulaires Ax+By1+Cxy+Dx+Ęy+F=o; si on coupe cette courbe par une droite x=my+, on aura pour déterminer les ordonnées y de leur intersection, l'équation {4m2 +B+Cm} y2 + { ( 2 ▲ m+C) μ+Dm+E} y+ +Dμ+E=0. La demi-sómme des ordonnées de ces deux points est l'ordonnée y' du milieu de leur distance, ou du milieu de la corde qui a x = my' + pour équation de sa direction. La valeur de l'ordonnée de ce point milieu sera c'est-à-dire la motié du coefficient de la première puissance de y pris avec un signe contraire, divisée par le coefficient de ya. L'abcisse x' du même point est x = m y' + u; éliminant entre ces deux équations, on trouvera l'équation du lieu général de tous les milieux ou de la ligne qui divise en deux parties égales toutes les cordes parallèles à x' = my! + μ, et qui n'en diffèrent qu'à raison de la valeur de μ. Le résultat de cette élimination, ou l'équation du diamètre conjugué à ce systême de cordes, est (2 Am + C) x' + ( 2 B + Cm )y'+Dm+E=0. Il est visible que, si par un changement de coordonnées, on rapporte la courbe à deux axes, dont l'un; celui des nouveaux x, soit parallèle aux cordes y m x; l'autre, celui des nouveaux y, soit le diamètre conjugué à ces cordes, l'équation de la courbe prendra nécessairement la forme a x2 + by2+cy+d=0, puisque devant encore être du deuxième degré, elle doit fournir pour chaque valeur de y, deux valeurs égales et de signes contraires pour x. Transportant parallèlement à lui-même l'axe des x, et pour cela mettant y + à la place de y, l'équation deviendra a x 2 + by2 + ( 2 b w + c ) y + b w2 + c w + d±0. Tant que b ne sera pas nul, on pourra faire disparoître de cette équation le terme en y en prenant là transporter l'origine au centre de ainsi simplifiée est de la forme a x la = с 2 b ; et par courbe. L'équation 2.+by =λ. Elle 2 comprend les espèces de courbes nommées ellipse et hyperbole. Lorsque b sera nul, on pourra disposer de pour faire disparaître le terme ca+d, et l'équation deviendra Les nouveaux axes forment entr'eux un angle qui est celui que les cordes forment avec leur diamètre. Il a pour cosinus 1 + m2 V (2 Am + C)2 + ( 2 B + Cm)' Pour que cet angle soit droit, il faut que C—2 (A—B) m Cm2 = 0, équation qui donne à m deux valeurs réelles. L'équation des surfaces du deuxième ordre est Ax2+By2+ Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+K=0. On déterminera les ordonnées z des points de rencontre de cette surface et de la droite x = m z' + μ, y' = nz' + v, par l'équation o = {Am2 + B n2 + C + D m n + Em+Fn} z2 + {(2 Am+Dn+E) μ+(2Bn+Dm+F)»+Gm+Hn+1}+= + A μ3 +B‚2 + Dμv+Gμ+H»+K. La demi-somme (2Am+Dn+E)μ+(2Bn+Dm+F),+Gm+Hn+I de ces ordonnées des deux extrémités de la corde, est l'ordonnée z', du milieu de leur distance. Les coordonnées de ce point seront donc données par les équations x = m z' + μ, y' = nz' + v, (2Am+Dn+E) μ+(2Bn+Dm+F),+Gm+Hn+! 2 (Am2 + Bn2+C+Dmn+Em+rn) On obtiendra l'équation de la surface diametrale conjuguée au systême des cordes parèllèles à celle que j'ai choisie. par l'elinination des quantités μ, entre ces trois équations. L'equation résultante est (2Am+Dn+E) x'+(2Bn+Dm+F)y'+(2C+Em+Fn)z' + +Gm+Hn+ I = 0 Représentons-la pour abréger par Sx+Ty' + U z' + V = 0. On détermineroit facilement par les relations qui existent entre les coefficiens S, T, U et les quantités m, n, la direction du systême des cordes conjuguées à un plan parallèle à un plan donné, et l'équation du plan conjugué lui-même. Si l'on rapporte la surface à de nouveaux axes coordonnés, dont l'un, celui des x, soit parallèle au systême des cordes, les deux autres soient dans le plan diamétral conjugué à ce systême; il est évident que l'équation de la surface prendra nécessairement la forme ax2+by2+cz'+dyz+ey+fz+g=0. Toute intersection de la surface par un plan parallèle à celui des yz, a une projection sur ce plan qui lui est identique. L'équation de cette projection est by2 + cz2 + dyz+ey+fz + g' = o. On a prouvé qu'il existe une infinité de systêmes d'axes coordonnés par rapport auxquels l'équation de cette courbe peut prendre la forme plus simple l'équation de la surface rapportée toujours au même axe des x, et à des axes y et z choisis de cette manière, prendra donc la forme «x2 + by2+y z2 + d z + € = 0. On peut encore la símplifier, en déplaçant le plan des xy parallèlement à lui-même et pour cela mettre à la place de z dans cette équation, z+, on aura ax2+6y2+yz2 + ( 2 y $ + d) z+252 +♪8+. +18+1=0. Lorsque y n'est pas nul, on peut prendre (=— -et l'équation de la surface devient a α x2 + 6x2 + yz2 =λ. 22 Cette équation comprend trois espèces différentes de surfaces connues sous les noms d'ellipsoide, d'hyperboloïde à une nappe, d'hyperboloide à deux nappes. Si y est nul, on ne déterminera pas par cette valeur qui seroit infinie, mais on en disposera de manière à faire disparoître dans l'équatiou le terme +, indépendant des coordonnées x, y, z; et l'équation, deviendra ax2+by2+dzo. Elle renferme les deux espèces de surfaces dont le centre est à l'infini, et nommées paraboloïde elliptique, paraboloide hyperbolique. |