Parmi tous les systêmes d'axes qui peuvent faire prendre à l'équation d'une surface du deuxième ordre la forme ax2 + by2+ y22+dz+ε=0, α laquelle conduit aux deux autres encore plus simples que nous venons d'indiquer, il en est un d'axes rectangulaires important à connoître. D'abord, nous allons faire voir que l'on peut donner à l'axe des ou aux cordes conjuguées au plan diamétral y z une direction perpendiculaire à ce plan. Pour qu'une des cordes x = m z' +μ, y = nz soit perpendiculaire au plan diamétral Sx' + Ty'+Uz'+V=0, ou en mettant à la place de S, T, U leurs valeurs en m Em + Fmn+2( C· A 1) m- - Dn―E=0 Fn+Emn + 2 ( C → B ) n — Dm F= 0. Fn+2(CB) n — F et mettant cette valeur dans la première, on aura l'équation o=E(Fn2+2(C—B) n — F) 1 — ( F n3 +2(C—B) n—F)(Fn+ . · 2 ( C — A ) ) ( E n — D)— (Dn+ E) ( En — D)2 ou bien en développant les produits 3 {2 ( A — B) E F — (E'—F2) D}n3†' { 4 (B—A) (B — C) E-2(A+B — 2C) DF (n3) — · 2(A+C—2B) EF—(D2 + F1 — 2E2 ) D } n + a Cette équation du troisième degré fournit au moins une valeur réelle de n à laquelle en correspond une aussi réelle de m et par conséquent un systême de cordes parallèles, perpendiculaires à leur plan diametral conjugué. L'équation de la surface rapportée à un axe des x perpendiculaire au plan y z, pourra ainsi conserver la forme 2 ax2+6y2+ y22 + dz +ε = 0. On peut remarquer que le plan des x z et le conjugué diamétrał du systême des cordes parallèles à l'axe des y, de même que celui des y z l'est du systême des cordes parallèles à l'axe des x; comme d'ailleurs l'axe des y peut être pris perpendiculaire à celui des z et conséquemment au plan des x z, sans que l'équation change de forme; il s'ensuit que nous avons déjà reconnu l'existence de deux systêmes de cordes perpendiculaires à leurs plans diamétraux conjugués. Mais l'équation (n 3) a autant de racines réelles qu'il y a de ces systêmes; cette équation a donc deux racines réelles, et par conséquent ses trois racines le sont necessairement. La troisième de ces racines correspond à la direction de l'axe des z perpendiculaire aux deux premieres directions. On peut, à l'aide de ces considérations, établir bien simplement les théorêmes connus sur les diamètres conjugués des surfaces du deuxième ordre, en partant des théorèmes analogues démontrés sur les courbes du second degré. Ainsi on sait que pour une même courbe, si on a les deux équations 2 х 2 ax2+6y2=I, a'x'2+b' y ' 1 = 1, il existe entre les quantités «, ß, «', ß' cette relation 2 2 1 1 on peut conclure de cette propriété des courbes du deuxième degré cette autre qui convient aux surfaces, et qui lui est analogue: a x2 + by2+ y22=1, a'x12+b'y' 1+z'z'2=I étant deux équations d'une même surface rapportée à différens axes, ayant pour origine commune le centre de la surface, on a α Le plan des x'y' rencontre celui des x y en une droite qui est diametre de la courbe si nous nommons I ат 1 13 = le quarré de la demi-longueur de ce dia mètre et celui de son conjugué, l'équation de la courbe b! a'x' + 6'y''=I,' étant rapportée à ces nouveaux axes, sera et l'on aura, par le théorême que nons venons de citer, L'équation de la surface rapportée à ces nouveaux axes x,y' et à l'ancien des z' sera Si de la même manière on imagine le plan actuel des y' z'. prolongé jusqu'à son intersection avec celui des y x, en nommantle quarré de la demi-longueur du diamètre mesuré sur c' I I cette intersection, celui de son conjugué dans la courbe b'yl2 + y'zl2=1; 2 l'équation de cette même courbe rapportée à ces nouveaux dia mètres comme axes, sera 2 a2x12 + b'y' 2 + y2 z12 = 1 deviendra, en conservant le même axe des x', Mais l'axe des x' et celui des y' sont actuellement dans le plan des xy et ont par conséquent pour diamètre conjugué à leur plan l'axe des z; donc le nouvel axe des z' se confond avec celui des z On établiroit avec la même facilité en partant du théorême sur les parallelogrammes circonscrits aux courbes du deuxième degré, le théorême analogue des parallelipipèdes circonscrits aux surfaces du deuxième ordre. Application du Théorême de Taylor au développement des fonctions (1+x)", a*, Log (1+x), cos. x, et sin. x. 。(1) La méthode suivante suppose seulement que l'on sache différentier les produits et les puissances entières des variables, et que l'on connoisse la formule de Taylor, démontrée pag. 52 du premier volume de la Correspondance, savoir: et 1o. Soit (1+x)=(1+x)" ; par conséquent 4y =y", 4(y+xy)=(y+xy)m=ym(1+x)m Q(1+x) 93 = 4 (y + xy ). d'où l'on conclut ; Développant le second membre suivant les puissances de xy, et divisant par oy, il vient indépendans de y, puisque cette variable n'entre pas dans (+); faisant donc ; on aura, par une suite de différentiations fort simples, yo'y = c; фу on en concluera y ".q(") y — boy, et en différentiant (1) Cet article est extrait des Leçons d'Analyse de M. Garnier, imprimées en 1801, et dans lesquelles M. Poisson l'avoit fait insérer. H. C. nti.q (n+1)y_b.yo'y _ny " . q (") Y = b ( c — n ); donc ФУ ФУ ФУ résultat qui renferme la loi des coefficiens. La valeur de (1+x) devient donc $ (1 + x)=(1+x)TM=1+cx+ C.c 2 La quantité c est une fonction de l'exposant m; pour la déterminer, soit cfm; on aura, et m +n: relativement aux exposans m,1 (1 + x) m. =1+xfm.. ( 1 + x) n + m = 1 + xf ( n + m) +etc.; mais en multipliant l'un par l'autre, les deux premiers développemens, il vient ( 1 + x )". ( 1 + x) ^=(1+x) "+"=1+x(fm+fn) + etc. et comme ce second développement de ( 1 + x) m✦n doit être identique avec le premier, il faut que fm+fn=f(n+m). Développant le second membre suivant les puissances de m, et supprimant fn de part et d'autre, il reste fn,fn, etc. doivent être indépendans de n, puisque cette quantité n'entre pas dans fm; mais si l'on a f'n=a, toutes les autres dérivées f'n, fll!n, etc. seront nulles; donc fmam. Le coefficient a étant indépendant de m, on le détermine en observant que fm=1, quand m=1, ce qui donne a = 1; donc |